专题14相交线 暑假预习讲义 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

专题14相交线暑假预习讲义 1.识记：理解两条直线相交的概念，熟记对顶角、邻补角的定义，精准区分这两类角的位置与数量特征。 2.掌握：牢记核心性质：对顶角相等；邻补角之和等于180°，可依托性质完成基础角度计算。 3辨析：分清邻补角与补角的区别，邻补角兼具位置相邻、角度互补双重条件，补角仅要求度数之和为180°。 4认知：明确垂线定义，掌握两条直线互相垂直的符号表示，理解过一点有且只有一条直线与已知直线垂直这一基本事实。 5实操：会利用三角尺、量角器过直线上、直线外一点，规范画出已知直线的垂线。 6理解：吃透垂线段最短公理，分清垂线段与点到直线距离的概念，距离特指垂线段的长度。 7识图：在多条直线相交的图形中，快速找出所有对顶角、邻补角、垂线段，结合已知角度推导未知角。 8运算：综合运用对顶角、邻补角、垂线相关性质，解决相交线场景下的角度计算题。 9避错：规避高频易错点，混淆对顶角与邻补角、误将垂线段当作点到直线的距离、画垂线遗漏垂直符号。 10素养：建立直线相交的几何位置思维，夯实垂线相关几何基础，为后续平行线章节学习做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.相交线对顶角基础概念 2.对顶角.邻补角核心性质 3.垂线的定义与判定 4.垂直两条核心公理 5.垂线的画法及基本事实 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.相交线 2.垂线的定义理解 3.画垂线 4.垂线段最短 5.点到直线的距离 6.对顶角的定义 7.对顶角相等 8.邻补角的定义理解 9.找邻补角 10.利用邻补角互补求角度 强化题型 解答题5题 知识点 01 相交线、对顶角基础概念 1.相交线定义：如果两条直线只有一个公共点，就称这两条直线相交，这个公共点叫做交点。 2.对顶角定义：两条直线相交时，相对的两个角叫做对顶角。 判定特征：①拥有公共顶点；②两个角的两边互为反向延长线。 3.邻补角定义：两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角。 判定特征：①共顶点、共用一条边；②两角拼接组成平角，两角相加等于180。 知识点 02 对顶角、邻补角核心性质 1.邻补角性质：互为邻补角的两个角互补，和为180。 数学表达：若∠1与∠2互为邻补角，则∠1+∠2=180。 2.对顶角性质：对顶角相等。 简单推导：∠1+∠2=180，∠3+∠2=180，根据同角的补角相等，可得∠1=∠3。 拓展结论：两条直线相交，一共形成 2 对对顶角、4 对邻补角。 知识点 03 垂直的定义与判定 1.垂直定义：两条直线相交，若相交形成的夹角为直角（90），则称这两条直线互相垂直。 书写记作：直线(AB⊥CD)，两条直线的交点O叫做垂足。 2.垂直判定方法：两条直线相交，只要有一个夹角是直角，即可判定两条直线互相垂直。 3.等价转化关系： AB⊥ CD ∠AOC= ∠COB=∠ BOD=∠DOA=90 知识点 04 垂直两条核心公理（考试必考） 公理 1 过一点作垂线唯一性 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 补充说明：该点分为两种情况 —— 点在已知直线上、点在已知直线外，两种情况都只能画出 1 条垂线。 公理 2 垂线段最短 直线外一点与直线上所有点连接的线段中，垂线段最短。 垂线段定义：直线外一点向已知直线作垂线，该点与垂足之间的线段叫做垂线段； 点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 ⚠️ 高频易错区分：距离是长度（数值），垂线段是线段（几何图形），二者不能等同混淆。 知识点 05 垂线的画法及基本事实 垂线的画法：用三角尺画已知直线的垂线，步骤如下： 特别提醒 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上． (1) 用折纸法画已知直线的垂线，步骤如下： (2) 用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 知识点 06 高频易错点（课堂反复强调） 1.混淆 “垂线段” 和 “点到直线的距离”，误把线段当成距离； 2.忽略前提 “同一平面内”，空间中过一点垂线不止一条； 3.对顶角判定出错：无公共顶点、两边不互为反向延长线，错误判定为对顶角； 4.角度计算失误：邻补角求和忘记180，垂直相关计算忘记直角90； 5.作图不规范，垂足未标注直角符号，书写遗漏垂直符号⊥。 题型1.相交线 【典例】如图，用几何语言叙述图的含义是________________________________． 【跟踪专练1】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为__________． 【跟踪专练2】a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【跟踪专练3】平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型2.垂线的定义理解 【典例】如图，已知，垂足为点O，直线经过O点，若，则的度数为_____度． 【跟踪专练1】如图，直线，垂足为O，直线经过点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线，相交于点，于点，平分．若，则的度数为___________． 【跟踪专练3】如图，直线，相交于点，平分，，若，以下说法：①；②；③，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型3.画垂线 【典例】如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 【跟踪专练1】过点P向直线作垂线，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练3】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 题型4.垂线段最短 【典例】．如图，在河岸l的某段有一个饮用水水源保护区P，某市要在附近新建一个自来水厂A，将水引至工厂净化．施工人员的做法是：过点A作于点，将水泵房建在处，这样修建的引水管最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是____________________． 【跟踪专练1】如图，从村庄M到公路l共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离最近，其理由是______________________________． 【跟踪专练2】如图，点，在直线上，，的面积为2．若是直线上一点，连接，则线段的最小长度为________． 【跟踪专练3】点为直线外一点，点，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为（     ）． A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于 题型5.点到直线的距离 【典例】点A为直线l外一点，点B在直线l上，且，若，则点A到直线l的距离______3．（填“＞”“＜”或“＝”） 【跟踪专练1】如图，点P处有一个路灯，测得光线，光线，则点P到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，的面积为42，D为线段边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为_________． ．【跟踪专练3】直线上有，，三个点，直线外有一点，若，，，（单位：）表示点到直线的距离，则（     ） A． B． C． D． 题型6.对顶角的定义 【典例】两条相交直线所成的四个角中，有_______没有_______的两个角叫作对顶角． 【跟踪专练1】甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是___________． 【跟踪专练2】9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有______对． 【跟踪专练3】下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 题型7.对顶角相等 【典例】如图，两根木条，相交于一点，若，则的度数为________． 【跟踪专练1】如图为对顶角量角器，若指向的刻度是，则的度数为（     ）． A． B． C． D． ．【跟踪专练2】如图，直线、相交于点，射线在的内部，若，，则的度数为________°． 【跟踪专练3】下列四个图中，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 题型8，邻补角的定义理解 【典例】如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 【跟踪专练1】下列各图中，和互为邻补角的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列图形中，和是邻补角的为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是______． 题型9.找邻补角 【典例】如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是____． 【跟踪专练1】如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练2】如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为______． 【跟踪专练3】如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 题型10.利用邻补角互补求角度 【典例】如图，直线与相交于点，若，则________． 【跟踪专练1】如图，，，点B，O，D在同一条直线上，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分．若，则的度数为___________． 【跟踪专练3】如图，点、、在同一条直线上，是的平分线，是的平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 2．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 3．如图，直线相交于点，平分． (1)写出的对顶角：___________； (2)若，点在直线下方，求的度数． 4．如图，直线与相交于点，． (1)的对顶角是___________，的邻补角是___________； (2)若与互余，求的度数． 5．如图，直线，相交于点，射线平分． (1)则与互为补角的角是_____； (2)若，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14相交线暑假预习讲义 1.识记：理解两条直线相交的概念，熟记对顶角、邻补角的定义，精准区分这两类角的位置与数量特征。 2.掌握：牢记核心性质：对顶角相等；邻补角之和等于180°，可依托性质完成基础角度计算。 3辨析：分清邻补角与补角的区别，邻补角兼具位置相邻、角度互补双重条件，补角仅要求度数之和为180°。 4认知：明确垂线定义，掌握两条直线互相垂直的符号表示，理解过一点有且只有一条直线与已知直线垂直这一基本事实。 5实操：会利用三角尺、量角器过直线上、直线外一点，规范画出已知直线的垂线。 6理解：吃透垂线段最短公理，分清垂线段与点到直线距离的概念，距离特指垂线段的长度。 7识图：在多条直线相交的图形中，快速找出所有对顶角、邻补角、垂线段，结合已知角度推导未知角。 8运算：综合运用对顶角、邻补角、垂线相关性质，解决相交线场景下的角度计算题。 9避错：规避高频易错点，混淆对顶角与邻补角、误将垂线段当作点到直线的距离、画垂线遗漏垂直符号。 10素养：建立直线相交的几何位置思维，夯实垂线相关几何基础，为后续平行线章节学习做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.相交线对顶角基础概念 2.对顶角.邻补角核心性质 3.垂线的定义与判定 4.垂直两条核心公理 5.垂线的画法及基本事实 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.相交线 2.垂线的定义理解 3.画垂线 4.垂线段最短 5.点到直线的距离 6.对顶角的定义 7.对顶角相等 8.邻补角的定义理解 9.找邻补角 10.利用邻补角互补求角度 强化题型 解答题5题 知识点 01 相交线、对顶角基础概念 1.相交线定义：如果两条直线只有一个公共点，就称这两条直线相交，这个公共点叫做交点。 2.对顶角定义：两条直线相交时，相对的两个角叫做对顶角。 判定特征：①拥有公共顶点；②两个角的两边互为反向延长线。 3.邻补角定义：两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角。 判定特征：①共顶点、共用一条边；②两角拼接组成平角，两角相加等于180。 知识点 02 对顶角、邻补角核心性质 1.邻补角性质：互为邻补角的两个角互补，和为180。 数学表达：若∠1与∠2互为邻补角，则∠1+∠2=180。 2.对顶角性质：对顶角相等。 简单推导：∠1+∠2=180，∠3+∠2=180，根据同角的补角相等，可得∠1=∠3。 拓展结论：两条直线相交，一共形成 2 对对顶角、4 对邻补角。 知识点 03 垂直的定义与判定 1.垂直定义：两条直线相交，若相交形成的夹角为直角（90），则称这两条直线互相垂直。 书写记作：直线(AB⊥CD)，两条直线的交点O叫做垂足。 2.垂直判定方法：两条直线相交，只要有一个夹角是直角，即可判定两条直线互相垂直。 3.等价转化关系： AB⊥ CD ∠AOC= ∠COB=∠ BOD=∠DOA=90 知识点 04 垂直两条核心公理（考试必考） 公理 1 过一点作垂线唯一性 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 补充说明：该点分为两种情况 —— 点在已知直线上、点在已知直线外，两种情况都只能画出 1 条垂线。 公理 2 垂线段最短 直线外一点与直线上所有点连接的线段中，垂线段最短。 垂线段定义：直线外一点向已知直线作垂线，该点与垂足之间的线段叫做垂线段； 点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 ⚠️ 高频易错区分：距离是长度（数值），垂线段是线段（几何图形），二者不能等同混淆。 知识点 05 垂线的画法及基本事实 垂线的画法：用三角尺画已知直线的垂线，步骤如下： 特别提醒 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上． (1) 用折纸法画已知直线的垂线，步骤如下： (2) 用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 知识点 06 高频易错点（课堂反复强调） 1.混淆 “垂线段” 和 “点到直线的距离”，误把线段当成距离； 2.忽略前提 “同一平面内”，空间中过一点垂线不止一条； 3.对顶角判定出错：无公共顶点、两边不互为反向延长线，错误判定为对顶角； 4.角度计算失误：邻补角求和忘记180，垂直相关计算忘记直角90； 5.作图不规范，垂足未标注直角符号，书写遗漏垂直符号⊥。 题型1.相交线 【典例】如图，用几何语言叙述图的含义是________________________________． 【答案】线段AB和直线c相交于点P 【分析】本题主要考查了几何语言运用，掌握数学术语比较重要．利用几何语言叙述． 【详解】解：图中有线段，直线c,它们相交于点P；用几何语言叙述图的含义是：线段和直线c相交于点P． 故答案为：线段和直线c相交于点P． 【跟踪专练1】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为__________． 【答案】45 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 【跟踪专练2】a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 【跟踪专练3】平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 题型2.垂线的定义理解 【典例】如图，已知，垂足为点O，直线经过O点，若，则的度数为_____度． 【答案】145 【分析】先根据垂直定义可得 ，再根据余角定义可计算出 的度数，再根据邻补角定义可得答案． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】如图，直线，垂足为O，直线经过点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义可得，利用互余关系求出的度数，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 与是对顶角， ． 【跟踪专练2】如图，直线，相交于点，于点，平分．若，则的度数为___________． 【答案】/30度 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义等知识，先根据，求出的度数，根据垂直的定义，然后求出度数，最后根据角平分线求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即 ， ∵于点， ∴， ∵平分， ∴． 【跟踪专练3】如图，直线，相交于点，平分，，若，以下说法：①；②；③，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】先根据角平分线性质，得出，再根据对顶角、邻补角的性质，得出，然后推出各个角度之间的关系，进行转换，最后得出相应的角度大小即可． 【详解】解①：根据题意可知，，，（对顶角相等）， ， ． 说法①正确； ②：， 又 ．说法②正确； ③：点在一条直线上， ， 又， ．说法③正确； 题型3.画垂线 【典例】如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【跟踪专练1】过点P向直线作垂线，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作垂线的方法一一判断即可． 【详解】解：．过点P作的不是垂线，故该选项不符合题意； ．没有过点P，故该选项不符合题意； ．过点P向直线作垂线，故该选项符合题意； ．过点P向直线作垂线，应该为直线，不是线段，故该选项不符合题意； 【跟踪专练2】下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．过一点作已知线段的垂线，需满足两个条件：①直线经过该点；②直线与线段所在直线垂直．据此逐一判断即可． 【详解】解：图（1）：直线经过点，且与线段垂直，垂足在线段上，符合题意，故正确； 图（2）：直线经过点，但与线段不垂直，不符合题意，故错误； 图（3）：直线经过点，且与线段所在直线垂直，垂足在线段的延长线上，符合题意，故正确． 综上所述，做对了个． 【跟踪专练3】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 题型4.垂线段最短 【典例】．如图，在河岸l的某段有一个饮用水水源保护区P，某市要在附近新建一个自来水厂A，将水引至工厂净化．施工人员的做法是：过点A作于点，将水泵房建在处，这样修建的引水管最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是____________________． 【答案】垂线段最短 【详解】解：过点A作于点，将水泵房建在处．这样修建的引水管最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是垂线段最短． 【跟踪专练1】如图，从村庄M到公路l共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离最近，其理由是______________________________． 【答案】垂线段最短． 【分析】根据垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：居民选择路线到公路的距离最近，其理由是垂线段最短． 【跟踪专练2】如图，点，在直线上，，的面积为2．若是直线上一点，连接，则线段的最小长度为________． 【答案】2 【详解】解：如图，作交于D， ∵的面积为2， ∴， 解得：， 根据“垂线段最短”可知线段的最小长度为2． 【跟踪专练3】点为直线外一点，点，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为（     ）． A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于 【答案】D 【分析】掌握垂线段最短的性质，根据该性质判断点到直线的距离的范围即可． 【详解】∵ 点到直线的距离定义为点到直线的垂线段的长度，且垂线段是点到直线上所有点连线中最短的， 已知，，，是三条线段中最短的． 若垂直于直线，则点到直线的距离就是； 若不垂直于直线，则点到直线的垂线段长度小于，即小于， ∴ 点到直线的距离不大于． 题型5.点到直线的距离 【典例】点A为直线l外一点，点B在直线l上，且，若，则点A到直线l的距离______3．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】根据定义，直线外一点到已知直线的距离为该点到直线的垂线段的长度，据此即可得到结果. 【详解】解：根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 已知点是直线外一点，点在直线上，且， 因此点到直线的距离就是垂线段的长度，即点到直线的距离为 故点到直线的距离 【跟踪专练1】如图，点P处有一个路灯，测得光线，光线，则点P到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离作答即可． 【详解】解：∵点到直线的距离是垂线段长度，，， ∴点到直线的距离小于， ∴点到直线的距离可能为． 【跟踪专练2】如图，在中，，的面积为42，D为线段边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为_________． 【答案】36 【分析】根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点作于点， ， ，即， ， ∵为边上一动点，， ∴的最小值为的长6， ∴正方形的面积的最小值为． ．【跟踪专练3】直线上有，，三个点，直线外有一点，若，，，（单位：）表示点到直线的距离，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 是点到直线的距离， ∴ 为点到直线的垂线段的长度， ∴ ，，， ∵ ，，， ∴ ， ∵ 点在直线外， ∴ ， 即． 题型6.对顶角的定义 【典例】两条相交直线所成的四个角中，有_______没有_______的两个角叫作对顶角． 【答案】 公共顶点 公共边 【分析】本题考查对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角，即可． 【详解】解：∵对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角， ∴两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点，没有公共边的两个角叫作对顶角． 故答案为：公共顶点；公共边． 【跟踪专练1】甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是___________． 【答案】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等．根据对顶角相等解答即可求解． 【详解】解：根据题意得：与是对顶角， ∴（对顶角相等）， 即这个方案的依据是对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 【跟踪专练2】9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有______对． 【答案】72 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对； 即对顶角的对数为，2，6，12，20……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：  ； 根据n条直线相交于一点，构成对对顶角的规律可知， 当时，=（92-9）=72（对）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角． 【跟踪专练3】下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：与是对顶角的是． 题型7.对顶角相等 【典例】如图，两根木条，相交于一点，若，则的度数为________． 【答案】 /40度 【分析】观察图形可知与互为对顶角，根据对顶角相等的性质即可得出的度数； 【详解】解：由图可知，与是对顶角， 则， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图为对顶角量角器，若指向的刻度是，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先观察量角器，推出和是对顶角即可求解． 【详解】∵和是对顶角，指向的刻度是， ∴． ．【跟踪专练2】如图，直线、相交于点，射线在的内部，若，，则的度数为________°． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得． 【跟踪专练3】下列四个图中，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：D选项中与是对顶角，则一定成立， A、B、C三个选项中，根据现有条件无法得到． 题型8，邻补角的定义理解 【典例】如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 【答案】 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答即可． 【详解】解：根据邻补角的定义可知，是的邻补角． 【跟踪专练1】下列各图中，和互为邻补角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； B、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； C、和互为邻补角，故本选项符合题意； D、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； 【跟踪专练2】下列图形中，和是邻补角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了了邻补角的定义，根据邻补角的定义进行判断即可，掌握邻补角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、和是邻补角，故选项符合题意； B、和不是邻补角，故选项不符合题意； C、和不是邻补角，故选项不符合题意； D、和不是邻补角，故选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练3】如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查角的和差，角平分线，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 根据角的和差，角平分线，平角，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 不一定成立，反例：当旋转10秒时，，则，故②错误； 当旋转时间为2秒时，，则平分，故③正确； 如图，设旋转时间为t秒，当边与射线相交，则，有， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 题型9.找邻补角 【典例】如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是____． 【答案】和 【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴的邻补角是和， 故答案为：和． 【跟踪专练1】如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可． 【详解】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意； C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为______． 【答案】和 【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：的邻补角为和， 故答案为：和． 【跟踪专练3】如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 【详解】解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A 题型10.利用邻补角互补求角度 【典例】如图，直线与相交于点，若，则________． 【答案】/60度 【详解】解：直线与相交于点， 与互为邻补角， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，，，点B，O，D在同一条直线上，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，则可得的度数，再根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分．若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】由已知条件和观察图形，可求出的度数，利用角平分线的性质求出的度数，再求的度数； 【详解】解：点A，O，B在同一条直线上， ． ． 平分， ． ， ． 平分， ． 【跟踪专练3】如图，点、、在同一条直线上，是的平分线，是的平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据邻补角求得，根据角平分线的定义求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分，平分， ∴． ∴． 故选C． 解答题 1．如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，垂直的定义等知识，根据可得，问题随之得解． 【详解】位置关系：． 理由如下：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 2．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）①根据垂线的定义解题即可； ②根据垂线段最短解题即可． 【详解】（1）解：如图，、即为所求； （2）解：①线段的长度表示点P到直线的距离； ②因为垂线段最短，则． 3．如图，直线相交于点，平分． (1)写出的对顶角：___________； (2)若，点在直线下方，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对顶角的定义作答即可； （2）根据对顶角的定义及角平分线的定义求出，根据垂线的定义及三角形内角和计算即可． 【详解】（1）解：∵直线相交于点， ∴的对顶角为； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，直线与相交于点，． (1)的对顶角是___________，的邻补角是___________； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据对顶角和邻补角的定义解答即可； （）根据邻补角的性质求出，再根据互余的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点，， ∴的对顶角是，的邻补角是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴． 5．如图，直线，相交于点，射线平分． (1)则与互为补角的角是_____； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了垂线定义以及角平分线的定义，补角的定义； （1）根据补角的定义，结合图形，即可求解； （2）直接利用角平分线的性质得出，进而利用垂直的定义得出的度数． 【详解】（1）解：∵射线平分． ∴ ∵， ∴与互为补角的角是，； 故答案为：，． （2）解：平分，且， ． ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $