第18讲 平行线（11大核心考点）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第18讲 平行线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．在具体情境中进一步丰富对两条直线互相平行的认识，并会用符号表示两条直线互相平行； 2．会用直尺和三角尺、方格纸画平行线，并在操作、思考活动中探索平行线的基本性质； 3.掌握三种平行的判定，会正确识别图中的同位角、内错角，同旁内角，发展有条理的表达能力。 4.掌握平行的性质，并能运用平行线的性质进行简单地说理、计算，发展有条理的思考和表达能力。 平行线的定义 1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.回想小学的时候如何用直尺和三角尺画平行线？ （1）落（2）靠（3）移（4）画 3.平行线的基本性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 4.平行的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 几何语言： ∵a∥b，b∥c ∴a∥b 平行的判定 1.定义：两条直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角. 图中还有其它的同位角吗？ 平行判定1：两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 口诀： 同位角 相等，两直线平行． 几何语言： 因为 ∠1与∠2是直线a、b被直线截成的同位角 ， 且 ∠1=∠2 ． 所以 a 平行 b ． 2.如图1，直线AB CD 被直线EF所截，则： 内错角：像∠2与∠8，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. 同旁内角：像∠2和∠5都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 平行判定2：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 口诀：内错角相等，两直线平行． 几何语言： 因为∠1与∠2是直线a、b被直线c截成的内错角， 且 ∠1=∠2 ． 所以 a平行b ． 平行判定3：两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 口诀： 同旁内角互补，两直线平行． 几何语言： 因为∠1和∠3是直线a、b被直线c截成的同旁内角 ， 且 ∠1＋∠3=180°． 所以 a平行b ． 平行的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 注：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 考点一：平面内两直线的位置关系 例1．如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题考查了同一平面内两条直线的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 将直线m，n分别延长之后，会交于一点，即可判断． 【详解】解：由图可得：同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是相交， 故选：A． 【变式1-1】如图，已知，点为与之间一点，过点作9条不同的直线均与直线相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为对顶角的对数是（   ） A．63 B．90 C．99 D．126 【答案】D 【分析】本题考查的是对顶角的定义，规律探究，平行线的性质，先求解过点作9条直线，确定对顶角的对数是，再求解条不同的直线与直线、、相交，确定对顶角的对数是，从而可得答案． 【详解】解：过点作9条直线，确定对顶角的对数是， ∵，9条不同的直线与直线相交， 条不同的直线与直线和相交， 条不同的直线与直线、、相交，确定对顶角的对数是， 图中相交线形成的所有角中，互为对顶角的对数是． 故选：D． 【变式1-2】已知阿，是同一平面内的任意两条直线． （1）若直线，没有公共点，则直线，的位置关系是 ； （2）若直线，有且只有一个公共点，则直线，的位置关系是 ； （3）若直线，有两个以上的公共点，则直线，的位置关系是 ． 【答案】 平行 相交 重合 【分析】根据两直线平行，相交，重合的定义进行解答即可． 【详解】解：，是同一平面内的任意两条直线， （1）若直线，没有公共点则直线，的位置关系是平行； （2）若直线，有且只有一个公共点，则直线，的位置关系是相交； （3）若直线，有两个以上的公共点，则直线，的位置关系是重合． 故答案为：平行；相交；重合． 【点睛】本题考查了两直线的位置关系，熟练掌握两直线的位置关系是解答本题的关键． 【变式1-3】作图题：如图，在平面内有不共线的3个点A，B，C． （1）作射线BA，在BA延长线上取一点E，使AE=AB； （2）作线段BC并延长BC到点F，使CF=BC； （3）连接AC，EF； （4）度量线段AC和EF的长度，直接写出二者之间的数量关系_______，观察AC和FE的位置是 （填“平行”或“相交”）关系； （5）作BC的中点D，连接AD，猜想S三角形ABD S三角形ACD（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）AC=EF（或EF=2AC），平行；（5）= 【分析】（1）、（2）、（3）利用射线、线段的定义和几何语言画出对应的几何图形即可； （4）通过观察测量进行判断； （5）根据等底同高的两个三角形面积相等进行判断． 【详解】解：（1）（2）（3）如图所示： （4）通过测量观察，可知AC=EF（或EF=2AC），AC∥EF， 故答案为：AC=EF（或EF=2AC）；平行； （5）∵D为BC的中点，三角形ABD与三角形ACD等底同高， ∴S三角形ABD=S三角形ACD． 故答案为：=． 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 考点二：平行线作图 例2．如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查画平行线，解题的关键是掌握在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．平面内经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，据此即可得到答案． 【详解】解：经过直线外一点画的平行线，能画出1条平行线， 故选：B 【变式2-1】已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2-2】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 【变式2-3】请仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)如图1，在方格纸中作的余角． (2)如图2，在方格纸中过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图，掌握网格作图的特点以及正方形的性质是解题的关键． （1）根据题意，由格点的特征，取格点M，可得，连接即可； （2）根据题意，由格点的特征，取格点D，可得，连接即可． 【详解】（1）解： 如图1所示，为所求； （2）解：如图2所示，为所求． 考点三：平行公理的应用 例3. 下列说法不正确的是（  ） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．平行于同一直线的两直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键． 根据平行线的定义及平行公理进行判断． 【详解】解：A．若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，故本选项符合题意； B．同一平面内两条不相交的直线是平行线，说法正确，故本选项不符合题意； C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，说法正确，故本选项不符合题意； D．平行于同一直线的两直线平行，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式3-1】直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查两直线的位置关系．根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，以及平行公理及推论进行判断即可． 【详解】解：①如果，，则，故①说法正确； ②如果，，，则，故②说法正确； ③如果，，则，故③说法正确； ④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故④说法错误， ∴正确的有3个， 故选：C． 【变式3-2】下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三条直线两两相交，总有三个交点；③若，，则；④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．其中，错误的是 ．(填序号) 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的性质，平面内两直线的位置关系；根据平行线的性质与判定，以及平面内两直线的位置关系逐项分析判断，即可求解． 【详解】①在“一点”前缺少“直线外”的限制；故①错误 ②三条直线也可以交于一点；故②错误 ③若在同一平面内，，，则；若不在同一平面内，和有多种位置关系；故③错误 ④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．正确． 故答案为：①②③． 【变式3-3】如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据网格作图即可； （2）根据网格作图即可； （3）根据网格作图即可. 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图见（1） （3）如图： 故符合题意的点F有6个. 故答案为：6 【点睛】本题考查了直线、射线、线段及平行公理的应用，解题的关键是准确作出图形. 考点四：同位角、内错角、同旁内角 例4．下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的概念，熟记“三线八角”问题，找准截线与被截线是解题的关键． 根据“在截线的同一侧，被截线的同一方的两个角是同位角”即可判断． 【详解】解：A．与是内错角，故本选项不符合题意； B．与是同旁内角，故本选项不符合题意； C．与是同位角，故本选项符合题意； D．与的对顶角是同位角，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式4-1】下列判断正确的是（　　） A．图1中的与是同位角 B．图1中的与是同旁内角 C．图2中的与是邻补角 D．图2中的与是对顶角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角、同旁内角、对顶角和邻补角的概念，根据同位角、同旁内角、对顶角和邻补角的概念解答即可． 【详解】解：A、图1中的与不是同位角，不合题意； B、图1中的与不是同旁内角，不合题意； C、图2中的与是邻补角，符合题意； D、图2中的与是邻补角，不是对顶角，故不合题意； 故选：C． 【变式4-2】如图，的同位角是 ，的内错角 ，的同旁内角是 ． 【答案】 和 【分析】本题主要考查了三线八角，涉及同位角、内错角、同旁内角的定义有关知识，数形结合，根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可得到答案，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义，识别图形是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 的同位角是，的内错角是，的同旁内角是和， 故答案为：；；和． 【变式4-3】如图，按要求画图并回答问题： (1)过点A画点A到直线的垂线段，垂足为D； (2)过点D画直线，交的延长线于点E； (3)的内错角是　　　； (4)在线段中，最短的是　　　，理由为　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题考查了画垂线，画平行线，内错角的定义，点到直线的距离，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意画垂线段即可； （2）根据题意画平行线即可； （3）根据内错角的定义求解； （4）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求；    （3）解：的内错角是， 故答案为：； （4）解：在线段中，最短的是，理由为垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 考点五：同位角相等，两直线平行 例5．如图，我们借助三角板和直尺画平行线，其中的数学依据是（    ）    A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．以上结论都正确 【答案】A 【分析】由作图可得，再根据同位角相等，两直线平行可得答案． 【详解】解：由作图可得：，    ∴， ∴其依据是：同位角相等，两直线平行 故选A． 【变式5-1】如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是（   ）    A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的判定定理，即同位角相等，两直线平行．根据，由同位角相等，两直线平行，即可判定． 【详解】解：如图，   ， ． 故选：A 【变式5-2】如图，现给出下列条件∶①，②，③，④．能够得到的条件是(填序号) ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故本条件不符合要求； ②∵， ∴，故本条件符合要求； ③∵， ∴，故本条件符合要求； ④∵， ∴，故本条件符合要求． 故答案为：②③④． 【变式5-3】如图，直线与交于M，N两点，，且平分，平分，求证：直线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，只需要根据角平分线的定义和已知条件证明，即可证明． 【详解】证明：∵平分，平分，求， ∴， 又∵， ∴， ∴． 考点六：内错角相等，两直线平行 例6. 如图，下列条件中，能判定直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键，根据平行线的判定依次判断即可． 【详解】解：A、不能判定直线，不符合题意； B、不是同位角，不能判定直线，不符合题意； C、由内错角相等得，可判定，故符合题意； D、和是同位角，不一定判定，不符合题意． 故选：C． 【变式6-1】《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：C． 【变式6-2】如图所示，请你添加一个条件（图中不得添加另外标记） ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴添加的条件为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-3】如图，，平分，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，由平分得，进而得，即可求证，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点七：同旁内角互补，两直线平行 例7．如图，直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的三个判定方法是解题的关键；根据平行线的判定方法进行判定即可完成． 【详解】解：由，不能判定， 故A不符合题意； ， ∴， 故B不符合题意； ， ， 故C符合题意； ， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 【变式7-1】如图，下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故A不符合题意； B、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，故B符合题意； C、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故C不符合题意； D、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故D符合题意； 故选：B． 【变式7-2】如图，要使，只需添加一个条件，这个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行即可得到结论． 【详解】解：需要添加的条件是， ∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-3】如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 考点八：两直线平行，同位角相等 例8．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，先根据平角的定义，求得，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∵， ∴ 故选：D． 【变式8-1】如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线b相交，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算，再根据，得到，解答即可． 本题考查了平角的定义，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∵， ∴， 故选A． 【变式8-2】如图交于点，则 【答案】/46度 【分析】本题考查了平行线的性质，；邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据邻补角的定义得到，再根据两直线平行，同位角相等，即可得出． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-3】如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 根据得出，再根据，即可得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点九：两直线平行，内错角相等 例9. 如图，由可以得到的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．根据“两直线平行，内错角相等”，即可判断答案． 【详解】， ， 根据“两直线平行，内错角相等”，A、B、C三个选项均错误，只有D选项正确． 故选D． 【变式9-1】如图，，平分交于点D，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质以及角平分线的定义，利用性质及定义解决问题即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-2】如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的度数是 ． 【答案】/31度 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平分，，即可推出，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式9-3】如图，直线与直线相交，，与交于点O，平分，． (1)求证： (2)若，求、的度数 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义等： （1）根据对顶角相等可得，等量代换得，根据“同位角相等，两直线平行”可证； （2）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义求出，再结合垂直的定义，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点十：两直线平行，同旁内角互补 例10. 相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据对顶角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图， ，， ， 故选：B． 【变式10-1】如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质及对顶角相等，先由两直线平行，同旁内角互补得出，再由对顶角相等得出，求解即可． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式10-2】如图，，，，，，则，，三者的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 即：， 故答案为：． 【变式10-3】已知：如图，于M，于N，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质 （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 考点十一：平行的判定与性质综合 例11. 如图，，，平分，平分，关于下列结论：①，②，③平分，④，正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据，， ，可得，即可判断③正确；再证明，即可判断①正确；根据不一定是等腰直角三角形，可判断②错误；由①得：，即有，结合平分，即可得，问题得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分．故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； 若，则是等腰直角三角形， 而不一定是等腰直角三角形，故②错误； 由①得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴．故④正确． 故选：D． 【变式11-1】一副三角板和如图摆放，，，若，，则下列结论正确的有几个（    ）    ①平分        ②平分 ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度计算问题、平行线的判定与性质，根据三角形板各角的特点，结合平行线的判定和性质计算证明，逐个判定即可，熟练掌握平行性的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故①正确， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴平分错误，故②错误， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，结论正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【变式11-2】如图，已知，点E是上方一点，点M、N分别在直线上，连结平分交的反向延长线于点G，若，且，则度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论． 【详解】解：过点G作，设，， ，交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式11-3】如图，已知直线，且和、分别交于、两点，点在直线上． (1)、、之间的关系为 　　； (2)如果点在、两点之间运动时，、、之间的关系为 　　； (3)如果点（点和、不重合）在、两点外侧运动时，、、之间关系为 　　． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解本题的关键． （1）作，如图1，由于，则，根据平行线的性质得，，所以； （2）由（1）中的证明过程，可知、、之间的关系不发生变化； （3）根据题意，画出图形，分点P在延长线上和点P在延长线上两种情况；利用平行线的性质可推出、、之间的关系即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点作， （两直线平行，内错角相等）， ∵，，（已知）， ∴，（平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）； （2）解：、、之间的关系不发生变化；理由如下： 点在、两点之间运动，由（1）同理可得： ； （3）或． 解：过点P作， ∵， ∴； 当点P在延长线上时，如左图， 则，， ∴， 即； 当点P在延长线上时，如右图， ∵， ∴，， ∴， 即； 综上，或． 1．如图，同一平面内有两条直线和，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两直线的位置关系．掌握同一平面内两直线的位置关系是相交或平行是解题的关键． 根据图形直接判定即可． 【详解】解：由图可知，直线a与b的位置关系是相交． 故选：B． 2．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查对平行线和相交线的理解和掌握，根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键． 【详解】解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行和相交． 故选：C． 3．如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 【答案】D 【分析】根据三条直线是否有平行线分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线平行时，交点个数为0； 当三条直线相交于1点时，交点个数为1； 当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2； 当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3； 所以，它们的交点个数有4种情形． 故选：D． 【点睛】本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论． 4．如图，和不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角的定义，正确掌握同位角定义是解题关键．同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．根据“三线八角”中同位角的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和是同位角，故此选项不符合题意； C、和是同位角，故此选项不符合题意； D、和不是同位角，故此选项符合题意； 故选：D． 5．如图，点E、F分别在、上，连接、，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 6．一副三角尺按如图方式摆放，点D在直线上，且，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，关键是由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 7．下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行公理及推论，逐项判断即可，熟记平行线的定义、平行公理及推论是解题的关键． 【详解】解：∵（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，是平行的定义，故正确； （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条，是平行公理，故正确； （3）如果，，则，是平行公理推论，故正确； （4）两条不平行的射线，在同一平面内也不一定相交，例如“在同一平面内，点在点的正北方向，点向正西方向作射线，点向正南方向作射线”，两射线不平行也不相交，故原说法错误． ∴正确的是（1）（2）（3）共3个， 故选：C． 8．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作， 故选：D． 9．如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 【答案】棱，棱，棱． 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱， 故答案为：棱，棱，棱． 【点睛】本题主要考查平行线的定义，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键． 10．下列说法：①对顶角相等；②两点之间的线段是两点间的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，正确的有 ．（填序号） 【答案】①⑤ 【分析】根据对顶角、线段、直线、垂直的定义、平行线的性质及余补角的性质可直接进行求解． 【详解】解：①对顶角相等，原说法正确；②两点之间的线段长度是两点间的距离，原说法错误；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，原说法正确； 综上所述：正确的有①⑤； 故答案为①⑤． 【点睛】本题主要考查对顶角、线段、直线、垂直的定义、平行线的性质及余补角的性质，熟练掌握相关概念及性质是解题的关键． 11．设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题时利用了：在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行．根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答． 【详解】解：在同一平面内，，， ∴， 即与的位置关系是平行， 故答案为：． 12．若的两边分别与的两边平行，且比的2倍少，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，分两角相等和两角互补，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：解：如图1，当， ∴， ∴， 如图2，由平行线的性质可得： ， ∴， 设的度数为，则的度数为， 当时，即， 解得， ， 当时，即， 解得， ， 的度数为或． 故答案为：或． 13．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ．    【答案】或 【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可． 【详解】解：设运动x秒后，使得与平行， 此时转过了，转过了， 当与在的两侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当转了一圈，与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 14．如图，，、分别平分和，，与互补，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查平行线的性质、补角的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意延长交于点，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，即可求得的度数． 【详解】解：延长交于点，如图： ，分别平分和， ，， ， ， ，与互补， ，，， 设，则，，， ， 解得，， 即的度数为． 故答案为：． 15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画MN的垂线； (2)过点Q画MN的平行线； (3)若格点F使△PFM的面积等于4，则这样的点F共有______个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1)利用数形结合的思想画出图形即可； （2)利用平行线的判定，画出图形即可； （3)利用等高模型，画出符合题目的点F即可． 【详解】（1）解：如图 （2）如图 （3）满足条件的点F有6个． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 16．如图，已知直线被直线所截，平分，平方，，吗？为什么？ 解：因为平分，平方（已知）， 所以， ，（________） 所以________（等式性质）， 因为（已知）， 所以________， 所以________（________）． 【答案】角平分线的定义；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，由角平分线的定义推出，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明结论． 【详解】解：因为平分，平方（已知）， 所以， ，（角平分线的定义） 所以（等式性质）， 因为（已知）， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；；；；同旁内角互补，两直线平行． 17．如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到； （2）由垂直定义及直角三角形的性质求出，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 18．如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． (1)求的度数； (2)当点运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； (3)当点运动到某处时，，求此时的度数． 【答案】(1) (2)不变，比值2：1 (3) 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据角平分线的定义只要证明即可； （2）不变．可以证明，； （3）证明即可解决问题； 【详解】（1）， ， 又，分别平分和， ． （2）不变．理由如下： ， ，， 又平分， ，即． （3）， ， 又， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 平行线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．在具体情境中进一步丰富对两条直线互相平行的认识，并会用符号表示两条直线互相平行； 2．会用直尺和三角尺、方格纸画平行线，并在操作、思考活动中探索平行线的基本性质； 3.掌握三种平行的判定，会正确识别图中的同位角、内错角，同旁内角，发展有条理的表达能力。 4.掌握平行的性质，并能运用平行线的性质进行简单地说理、计算，发展有条理的思考和表达能力。 平行线的定义 1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做 。 2.回想小学的时候如何用直尺和三角尺画平行线？ （1） （2） （3） （4） 3.平行线的基本性质： 。 4.平行的传递性： 。 几何语言： ∵a∥b，b∥c ∴a∥b 平行的判定 1.定义：两条直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为 . 图中还有其它的同位角吗？ 平行判定1：两直线被 所截，如果 相等，那么这两条直线 ． 口诀： 相等，两直线平行． 几何语言： 因为 ∠1与∠2是直线a、b被直线截成的同位角 ， 且 ∠1=∠2 ． 所以 a 平行 b ． 2.如图1，直线AB CD 被直线EF所截，则： 内错角：像∠2与∠8，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做 . 同旁内角：像∠2和∠5都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做 . 平行判定2：两直线被 所截，如果 相等，那么这两条直线平行． 口诀： 相等，两直线平行． 几何语言： 因为∠1与∠2是直线a、b被直线c截成的内错角， 且 ∠1=∠2 ． 所以 a平行b ． 平行判定3：两直线被 所截，如果 互补，那么这两条直线平行． 口诀： 互补，两直线平行． 几何语言： 因为∠1和∠3是直线a、b被直线c截成的同旁内角 ， 且 ∠1＋∠3=180°． 所以 a平行b ． 平行的性质 性质1：两直线平行， ； 性质2：两直线平行， ； 性质3：两直线平行， . 注：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且 公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线 ． 考点一：平面内两直线的位置关系 例1．如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【变式1-1】如图，已知，点为与之间一点，过点作9条不同的直线均与直线相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为对顶角的对数是（   ） A．63 B．90 C．99 D．126 【变式1-2】已知阿，是同一平面内的任意两条直线． （1）若直线，没有公共点，则直线，的位置关系是 ； （2）若直线，有且只有一个公共点，则直线，的位置关系是 ； （3）若直线，有两个以上的公共点，则直线，的位置关系是 ． 【变式1-3】作图题：如图，在平面内有不共线的3个点A，B，C． （1）作射线BA，在BA延长线上取一点E，使AE=AB； （2）作线段BC并延长BC到点F，使CF=BC； （3）连接AC，EF； （4）度量线段AC和EF的长度，直接写出二者之间的数量关系_______，观察AC和FE的位置是 （填“平行”或“相交”）关系； （5）作BC的中点D，连接AD，猜想S三角形ABD S三角形ACD（填“＞”“＝”或“＜”）． 考点二：平行线作图 例2．如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【变式2-1】已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【变式2-3】请仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)如图1，在方格纸中作的余角． (2)如图2，在方格纸中过点作的平行线． 考点三：平行公理的应用 例3. 下列说法不正确的是（  ） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．平行于同一直线的两直线平行 【变式3-1】直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三条直线两两相交，总有三个交点；③若，，则；④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．其中，错误的是 ．(填序号) 【变式3-3】如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 考点四：同位角、内错角、同旁内角 例4．下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列判断正确的是（　　） A．图1中的与是同位角 B．图1中的与是同旁内角 C．图2中的与是邻补角 D．图2中的与是对顶角 【变式4-2】如图，的同位角是 ，的内错角 ，的同旁内角是 ． 【变式4-3】如图，按要求画图并回答问题： (1)过点A画点A到直线的垂线段，垂足为D； (2)过点D画直线，交的延长线于点E； (3)的内错角是　　　； (4)在线段中，最短的是　　　，理由为　　　． 考点五：同位角相等，两直线平行 例5．如图，我们借助三角板和直尺画平行线，其中的数学依据是（    ）    A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．以上结论都正确 【变式5-1】如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是（   ）    A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【变式5-2】如图，现给出下列条件∶①，②，③，④．能够得到的条件是(填序号) ． 【变式5-3】如图，直线与交于M，N两点，，且平分，平分，求证：直线． 考点六：内错角相等，两直线平行 例6. 如图，下列条件中，能判定直线的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【变式6-2】如图所示，请你添加一个条件（图中不得添加另外标记） ，使得． 【变式6-3】如图，，平分，求证：． 考点七：同旁内角互补，两直线平行 例7．如图，直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，要使，只需添加一个条件，这个条件是 ． 【变式7-3】如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 考点八：两直线平行，同位角相等 例8．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线b相交，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式8-2】如图交于点，则 【变式8-3】如图， 已知，，，试求的度数．    考点九：两直线平行，内错角相等 例9. 如图，由可以得到的结论是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，，平分交于点D，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的度数是 ． 【变式9-3】如图，直线与直线相交，，与交于点O，平分，． (1)求证： (2)若，求、的度数 考点十：两直线平行，同旁内角互补 例10. 相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，，，，，，则，，三者的数量关系为 ． 【变式10-3】已知：如图，于M，于N，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 考点十一：平行的判定与性质综合 例11. 如图，，，平分，平分，关于下列结论：①，②，③平分，④，正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式11-1】一副三角板和如图摆放，，，若，，则下列结论正确的有几个（    ）    ①平分        ②平分 ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-2】如图，已知，点E是上方一点，点M、N分别在直线上，连结平分交的反向延长线于点G，若，且，则度数为 ． 【变式11-3】如图，已知直线，且和、分别交于、两点，点在直线上． (1)、、之间的关系为 　　； (2)如果点在、两点之间运动时，、、之间的关系为 　　； (3)如果点（点和、不重合）在、两点外侧运动时，、、之间关系为 　　． 1．如图，同一平面内有两条直线和，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．都不是 2．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 3．如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 4．如图，和不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点E、F分别在、上，连接、，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．一副三角尺按如图方式摆放，点D在直线上，且，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 7．下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 10．下列说法：①对顶角相等；②两点之间的线段是两点间的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，正确的有 ．（填序号） 11．设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是 ． 12．若的两边分别与的两边平行，且比的2倍少，则 ． 13．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ．    14．如图，，、分别平分和，，与互补，则的度数为 ． 15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画MN的垂线； (2)过点Q画MN的平行线； (3)若格点F使△PFM的面积等于4，则这样的点F共有______个． 16．如图，已知直线被直线所截，平分，平方，，吗？为什么？ 解：因为平分，平方（已知）， 所以， ，（________） 所以________（等式性质）， 因为（已知）， 所以________， 所以________（________）． 17．如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 18．如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． (1)求的度数； (2)当点运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； (3)当点运动到某处时，，求此时的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$