专题09轴对称与中心对称 暑假预习讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题09轴对称与中心对称暑假预习讲义 1. 识记：分清两组核心概念，一是轴对称图形（单个图形）与两个图形成轴对称；二是中心对称图形（单个图形）与两个图形成中心对称；明确轴对称依托对称轴（直线）、中心对称依托对称中心（点）。 2. 辨析：区分两种对称变换方式，轴对称是沿直线翻折重合，中心对称是绕定点旋转180°重合；能快速判定常见几何图形属于轴对称、中心对称，或是兼具两种对称性。 3. 掌握：熟记轴对称核心性质，成轴对称图形对应线段、角相等，任意一组对应点连线被对称轴垂直平分；牢记中心对称性质，对应点连线全部经过对称中心，且被对称中心平分，对称前后图形全等。 4. 识图：在对称图形中精准定位对称轴、对称中心，快速找出对称点、对应线段与对应角；依据对称性质推导未知线段长度、角度大小。 5. 作图：依托方格纸，规范完成两类作图：①画出已知图形关于指定直线的轴对称图形；②画出图形关于某一定点的中心对称图形，熟练找点、描对称点、顺次连线全流程。 6. 判定：可自主画出轴对称图形所有对称轴；能在复杂组合图形里判断对称类型，排除平移、旋转等其他图形变换的干扰。 7. 应用：利用轴对称最短路径模型解决将军饮马类基础题型；借助中心对称拼接不规则图形，简化周长、面积计算问题。 8. 关联：结合上节课旋转知识，理解中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，构建图形变换知识体系。 9. 避错：规避高频易错点，混淆轴对称与中心对称判定依据、漏数多条对称轴、作对称点时距离对称轴/对称中心长度不相等、误判平行四边形为轴对称图形。 10. 素养：强化几何直观与图形变换思维，对比翻折、旋转、对称各类运动的共性与差异，为后续等腰三角形、平行四边形几何学习奠定基础。 预习必备 知识梳理 1.轴对称相关概念 2.轴对称图形和轴对称性质 3.轴对称图形与轴对称区别 4.常见图形的轴对称 5.中心对称相关概念 6.中心对称性质与作图步骤 常考题型 精讲精练 1.轴对称图形的识别 2.成轴对称两图形的识别 3.成轴对称图形的特征判断 4.成轴对称图形的特征求解 5.台球桌面上的轴对称问题 6.轴对称中的光线反射问题 7.折叠问题 8.画对称轴 9.求对称轴条数 10.镜面对称的应用 11.成中心对称 12.画已知图形关于某点对称图形 13.画两个图形的对称中心 14.由中心对称的性质求解 15.中心对称图形的识别 16.判断中心对称图形的对称中心 17.方格纸中补画中心对称图形 强化题型 解答题7题 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 知识点02：轴对称图形和轴对称的性质知识点03：轴对称图形与轴对称的区别与联系 知识点04:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点 05中心对称相关概念 1. 中心对称图形 一个图形绕某一个定点旋转180后，能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形，定点叫对称中心。 常见：线段、平行四边形、长方形、正方形、圆。 2. 两个图形成中心对称 一个图形绕某一定点旋转180，能与另一个图形重合，则两个图形关于这个点中心对称，定点为对称中心。 3. 概念区分对比表 名称 对象 旋转角度 中心对称图形 1 个图形 旋转180与自身重合 两图形成中心对称 2 个图形 旋转180互相重合 知识点06:中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点07:中心对称作图 “标准四步法”（规范不丢分） 场景 1：已知图形和对称中心，画中心对称图形 连：连接图形的关键点与对称中心。 延：延长这条线段，使延长部分与原线段长度相等。 定：得到关键点的对应点。 连：顺次连接所有对应点，得到中心对称图形。 场景 2：已知两个成中心对称的图形，找对称中心 方法：连接任意一组对应点，这条线段的中点就是对称中心。 进阶：连接两组对应点，两条线段的交点就是对称中心。 知识点08：高频易错点汇总 1.对称轴是直线，不能画成线段 2.分不清轴对称图形、成轴对称；分不清中心对称图形、成中心对称 3.对称图形一定全等，但全等图形不一定对称 4.作图时对称线段长度画得不一样，图形不对称 5.中心对称必须旋转 180°，其他角度不算 6.等腰三角形只有轴对称，平行四边形只有中心对称 7.坐标对称符号记混：x 轴对称变 y，y 轴对称变 x，原点对称全都变 8.轴对称对应连线垂直对称轴，中心对称连线过中点，两者易混 9.判断角平分线、垂直平分线漏限制条件 10.不会整体旋转 180° 检验，误判中心对称图形 题型1.轴对称图形的识别 【典例】下列图形，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】选项，是轴对称图形． 选项，不是轴对称图形． 选项，是轴对称图形． 选项，是轴对称图形． 【跟踪专练1】剪纸是中国民间艺术的重要组成部分之一，仅用一把剪刀，通过纸的折叠和剪切，就可以得到一幅幅漂亮的图案．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，下列剪纸图案中不是轴对称图形的是D． 【跟踪专练2】如图，由两个大小不同的等边三角形组成的图形中，能构成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 题型2.成轴对称两图形的识别 【典例】如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 【跟踪专练1】下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，网格中所有点都在格点上，将绕点B逆时针旋转后得到，则下列四个图形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转、折叠和平移的特点，图形位置变换特点，是解决问题的关键． 根据绕点B逆时针旋转后得到的特点，逐一判断．即得． 【详解】A、将绕过点B且垂直的直线折叠后得到，不正确； B、将绕点B逆时针旋转后得到，正确； C、将绕点B顺时针旋转后得到，不正确； D、将绕的垂直平分线折叠后向下平移2个单位长度得到，不正确． 故选：B． 题型3.成轴对称图形的特征判断 【典例】如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则_________是_________的垂直平分线．若，则_________，_________．    【答案】 直线 线段 3 90 【分析】根据轴对称的性质即可解答． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∵， ∴， 故答案为：直线，线段，3，90． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴垂直平等对应点连线． 【跟踪专练1】如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，即可进行判断． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，点C与点F是对应点， ∴直线l垂直平分线段、、， ∵C与D不是对应点， ∴线段不能被直线l垂直平分． 【跟踪专练2】以图①（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换，其中不能得到图②的是________．（填序号） ①只向右平移1个单位长度； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度； ③先绕着点O旋转，再向右平移1个单位长度； ④绕着的中点旋转． 【答案】① 【分析】本题考查旋转变换的性质、轴对称变换的性质、平移变换的性质，根据旋转变换的性质、轴对称变换的性质、平移变换的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：如图，将图1只向右平移1个单位长度不能得到图2，故①符合题意； 将图1先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度能得到图2，故②不符合题意； 将图1先绕着点O旋转，再向右平移1个单位长度能得到图2，故③不符合题意； 将图1绕着的中点旋转能得到图2，故④不符合题意； 故答案为：①． 【跟踪专练3】已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙． 题型4.成轴对称图形的特征求解 【典例】木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点，点和点为对称点，若，则的度数为_____度． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，关于直线对称的两个图形全等，对应角相等，由点A和点D为对称点可知与是对应角，从而得出，代入数值即可． 【详解】解：∵蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点， ∴与是对应角， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得出，，再得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 【跟踪专练2】如图，，点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则________． 【答案】 【详解】如图， ∵点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴． 【跟踪专练3】如图，四边形与四边形关于直线对称，交于点R，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形与四边形关于对称， 与是对应边， ，选项A正确； 与是对应角， ，选项B正确； 与是对应点，且对称轴是对应点连线的垂直平分线， 垂直平分，即，选项C正确； 与不一定平行，选项D错误． 题型5.台球桌面上的轴对称问题 【典例】如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 【跟踪专练1】如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 【跟踪专练3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 题型6.轴对称中的光线反射问题 【典例】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 【跟踪专练1】如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 【跟踪专练3】如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 题型7.折叠问题 【典例】．如图长方形沿折叠后如图所示，若，则_____． 【答案】/70度 【分析】根据图形翻折可知，结合，可求得，再根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：由图形翻折可知， ， ， 四边形是长方形， ， ． 【跟踪专练1】如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， ． 【跟踪专练2】如图，三角形纸片，沿折叠，使点落在边上的点处，已知的周长是8厘米，的周长为26厘米，则___________厘米． 【答案】 【分析】 由折叠得，，的周长为，的周长为，代入解得． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， 的周长为 的周长为， 把代入上式：得， 解得． 【跟踪专练3】如图，将长方形纸片分别沿，折叠，使，在同一直线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平角的定义求出的度数，再由折叠的性质和平角的定义求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型8.画对称轴 【典例】如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴． 【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线． 图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴； 直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 因此，对称轴可以是直线． 故答案为：． 【跟踪专练1】只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 【详解】解：如图所示： 故选：A． 【跟踪专练2】下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴画法及不同图形的性质，解题关键是明确用无刻度直尺画对称轴需利用图形自身的几何特征（如对角线、顶点连线等）来确定对称轴位置． 根据轴对称图形的性质，分析各图形能否用无刻度的直尺画出对称轴． 【详解】A、菱形的对称轴是对角线所在的直线，可以用直尺连接对角顶点直接画出； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高，但只用直尺无法准确找到底边中点或垂足，故不能画出； C、延长等腰梯形的两腰使其相交于一点，连接两条对角线使其相交于另一点，连接这两点的直线即为对称轴，故能用直尺画出； D、连接正五边形的一个顶点和不经过该顶点的两条对角线的交点，即可画出一条对称轴． 故选B． 【跟踪专练3】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【详解】 A选项图形有2条对称轴； B选项图形有2条对称轴； C选项图形有3条对称轴； D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 题型9.求对称轴条数 【典例】如图，正五边形的对称轴条数为______条． 【答案】 5 【分析】正五边形的对称轴为其顶点与该顶点对边中点的连线所在的直线． 【详解】解：如图所示，正五边形有5条对称轴． 【跟踪专练1】下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照对称轴的定义，针对每个选项的图形确定其对称轴的条数，最后选出对称轴条数最多的图形所对应的选项． 【详解】解：对于A选项：该图形有1条对称轴； 对于B选项：该图形有1条对称轴； 对于C选项：该图形有5条对称轴； 对于D选项：该图形有3条对称轴； 故图形对称轴条数最多的是5条，即C选项． 【跟踪专练2】下列图形的对称轴最少的是（    ） A．菱形 B．正方形 C．圆 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：菱形有条对称轴，正方形有条对称轴，圆有无数条对称轴，等边三角形有条对称轴， 对称轴最少的是菱形， 故答案为：A． 【跟踪专练3】中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 题型10.镜面对称的应用 【典例】从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 【跟踪专练1】墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 【跟踪专练2】从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，所以这时的时刻应是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称． 根据镜子的图像得到原图像，作答即可． 【详解】解：∵镜子对面电子钟示数为，镜面对称后为， ∴这时的时刻应是， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练4】虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题关键是结合轴对称的性质确定墙上时钟时间．根据轴对称的性质分别确定墙上时钟时间，比较即可获得答案． 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练5】有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 题型11.成中心对称 【典例】如图所示的图形绕着中心顺时针旋转一定的角度后能与自身完全重合，那么这个角度至少为________°．    【答案】90 【分析】分别考虑“正放的图形”和“斜放的图形”旋转多少度能与自身重合即可求解． 【详解】解：由图可知：“正放的图形”和“斜放的图形”旋转之后能与自身重合 故该图形绕着中心顺时针旋转后能与自身完全重合 故答案为： 【点睛】本题考查中心对称的概念．掌握相关内容是解题关键． 【跟踪专练1】下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用轴对称图形的概念即可即可解答． 【详解】解：A、团不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、结不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、互是中心对称图形，故此选项不合题意； D、助不是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称． 题型12.画已知图形关于某点对称图形 【典例】在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 【跟踪专练1】在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是___． 【答案】（0，0） 【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， 发现3次一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查图形规律及画中心对称图形，解题的关键是根据题意提取出图形规律． 题型13.画两个图形的对称中心 【典例】如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．   【答案】（1，1） 【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解． 【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)． 故答案为(1，1)． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可； 【跟踪专练2】如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 题型14.由中心对称的性质求解 【典例】如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质可知阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称图形，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 【跟踪专练1】已知和关于点O成中心对称，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．点的对应点是点 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握该知识点是解题的关键． 由中心对称的性质判断即可． 【详解】解：和关于点O成中心对称， 由中心对称的性质可得，，点A的对应点是点，， 所以D选项不正确． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【答案】21 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 【跟踪专练3】如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（　　） A． B．点B和点E关于点O对称 C． D．与关于点B成中心对称 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．绕点旋转得到，图形旋转后对应点关于对称中心对称，对应线段平行且相等，对应角相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：A：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，该选项正确； B：∵绕点旋转得到， ∴点和点关于点对称，该选项正确． C：由旋转性质可知，， ∴， 即，该选项正确． D：与是绕点旋转得到的， ∴是关于点成中心对称，而非点，该选项错误． 故选：D． 题型15.中心对称图形的识别 【典例】如图图形中，中心对称图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 【跟踪专练1】中国古代算学与诗词、工程的交融，藏着古人的智慧巧思．《九章算术》中记载了“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”等经典算题，它们的几何图形在建筑营造、器物设计中被广泛应用．下列分别是这四道古算题所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A. 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意． 【跟踪专练2】在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 题型16.判断中心对称图形的对称中心 【典例】如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识点，解题的关键是了解呈中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心． 连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心，即可解答. 【详解】解：如图所示： 可知：连线的交点为，故对称中心为 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 题型17.方格纸中补画中心对称图形 【典例】如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若从四个小正方形中再任意涂灰1个，使得新构成的灰色部分的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则应将小正方形______涂灰．(填编号) 【答案】① 【详解】解：如图， 当涂灰①时，图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 当涂灰②时，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 当涂灰③时，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 当涂灰④时，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 【跟踪专练1】图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【答案】C 【详解】解：把正方形添加在区域3处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】先找到网格的对称中心，也就是第2行第2列、第2行第3列、第3行第2列、第3行第3列这四个小正方形的公共顶点；再找原阴影中列的中点作为旋转中心．依次将每个白色小正方形作为涂黑候选，将涂黑后的整体图形绕对称中心旋转，判断旋转后的图形是否和原图形完全重合，统计符合条件的候选数量． 【详解】解：如图，再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，可选取小正方形①或选取小正方形②，这样的涂法共2种． 【跟踪专练3】如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 解答题 1．图中三角形4与图中哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？ 【答案】三角形4与图中三角形1、三角形3成轴对称，整个图形共有两条对称轴； 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义即可得到结果． 【详解】解：三角形4与图中三角形1、三角形3成轴对称，整个图形共有两条对称轴； 2．按下列要求画一个与已知四边形成中心对称的四边形； (1)以顶点A为对称中心 (2)以的中点O为对称中心． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了中心对称图形的画法，解题的关键是掌握中心对称的性质．对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分． （1）以为对称中心，分别延长至，使； （2）以为对称中心，与互为对称点，分别延长至, 使 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 作法：延长至，使；延长至，使；延长至，使；连接． （2）解：如图，四边形即为所求． 作法：连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将平移至，使得点的对应点的坐标为，请在图中直接画出平移后的； (2)将绕原点旋转后得到，直接在图中画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点________中心对称．（直接写出该点坐标） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点对应点，则三角形向左平移4个单位作图即可； （2）根据绕原点旋转，顺次连接即可得到； （3）连接对应点即可确定交点位置，由此可得坐标． 【详解】（1）解：由点对应点， 则向左平移4个单位得到，如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：连接，，，如图，可得交点， 则与关于点中心对称． 4．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【答案】(1)点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是 (2)直线垂直平分线段 (3)对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上 【分析】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是； （2）解：连接， 则直线垂直平分线段； （3）解：若延长与， 它们的交点在直线上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 5．如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程．那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质及两点之间线段最短，解题的关键是利用轴对称将折线路程转化为直线段路程． 作点关于河边的对称点，连接与河边所在直线l交于点；利用轴对称得，结合两点之间线段最短，知为最短路程． 【详解】解：作点关于河边所在直线l的对称点， 连接，与河边所在直线l交于点， 点与关于河边对称， ， ， 由两点之间线段最短，得为最短路径， 故点是使路程最短的饮马点． 6．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使得，折叠后的，落在同一条直线上，其中，为折痕． (1)和有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：，理由如下， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)的度数为． 【分析】本题主要考查了折叠问题，角度和与差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意可得，，又，所以，则，得，从而求解； （）由题意可得，，又，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 7．如图，和关于点成中心对称．    (1)找出它们的对称中心； (2)若，求的周长； 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】（1）连接，，其交点就是对称中心； （2）依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；    （2）解：和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 【点睛】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09轴对称与中心对称暑假预习讲义 1. 识记：分清两组核心概念，一是轴对称图形（单个图形）与两个图形成轴对称；二是中心对称图形（单个图形）与两个图形成中心对称；明确轴对称依托对称轴（直线）、中心对称依托对称中心（点）。 2. 辨析：区分两种对称变换方式，轴对称是沿直线翻折重合，中心对称是绕定点旋转180°重合；能快速判定常见几何图形属于轴对称、中心对称，或是兼具两种对称性。 3. 掌握：熟记轴对称核心性质，成轴对称图形对应线段、角相等，任意一组对应点连线被对称轴垂直平分；牢记中心对称性质，对应点连线全部经过对称中心，且被对称中心平分，对称前后图形全等。 4. 识图：在对称图形中精准定位对称轴、对称中心，快速找出对称点、对应线段与对应角；依据对称性质推导未知线段长度、角度大小。 5. 作图：依托方格纸，规范完成两类作图：①画出已知图形关于指定直线的轴对称图形；②画出图形关于某一定点的中心对称图形，熟练找点、描对称点、顺次连线全流程。 6. 判定：可自主画出轴对称图形所有对称轴；能在复杂组合图形里判断对称类型，排除平移、旋转等其他图形变换的干扰。 7. 应用：利用轴对称最短路径模型解决将军饮马类基础题型；借助中心对称拼接不规则图形，简化周长、面积计算问题。 8. 关联：结合上节课旋转知识，理解中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，构建图形变换知识体系。 9. 避错：规避高频易错点，混淆轴对称与中心对称判定依据、漏数多条对称轴、作对称点时距离对称轴/对称中心长度不相等、误判平行四边形为轴对称图形。 10. 素养：强化几何直观与图形变换思维，对比翻折、旋转、对称各类运动的共性与差异，为后续等腰三角形、平行四边形几何学习奠定基础。 预习必备 知识梳理 1.轴对称相关概念 2.轴对称图形和轴对称性质 3.轴对称图形与轴对称区别 4.常见图形的轴对称 5.中心对称相关概念 6.中心对称性质与作图步骤 常考题型 精讲精练 1.轴对称图形的识别 2.成轴对称两图形的识别 3.成轴对称图形的特征判断 4.成轴对称图形的特征求解 5.台球桌面上的轴对称问题 6.轴对称中的光线反射问题 7.折叠问题 8.画对称轴 9.求对称轴条数 10.镜面对称的应用 11.成中心对称 12.画已知图形关于某点对称图形 13.画两个图形的对称中心 14.由中心对称的性质求解 15.中心对称图形的识别 16.判断中心对称图形的对称中心 17.方格纸中补画中心对称图形 强化题型 解答题7题 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 知识点02：轴对称图形和轴对称的性质知识点03：轴对称图形与轴对称的区别与联系 知识点04:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点 05中心对称相关概念 1. 中心对称图形 一个图形绕某一个定点旋转180后，能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形，定点叫对称中心。 常见：线段、平行四边形、长方形、正方形、圆。 2. 两个图形成中心对称 一个图形绕某一定点旋转180，能与另一个图形重合，则两个图形关于这个点中心对称，定点为对称中心。 3. 概念区分对比表 名称 对象 旋转角度 中心对称图形 1 个图形 旋转180与自身重合 两图形成中心对称 2 个图形 旋转180互相重合 知识点06:中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点07:中心对称作图 “标准四步法”（规范不丢分） 场景 1：已知图形和对称中心，画中心对称图形 连：连接图形的关键点与对称中心。 延：延长这条线段，使延长部分与原线段长度相等。 定：得到关键点的对应点。 连：顺次连接所有对应点，得到中心对称图形。 场景 2：已知两个成中心对称的图形，找对称中心 方法：连接任意一组对应点，这条线段的中点就是对称中心。 进阶：连接两组对应点，两条线段的交点就是对称中心。 知识点08：高频易错点汇总 1.对称轴是直线，不能画成线段 2.分不清轴对称图形、成轴对称；分不清中心对称图形、成中心对称 3.对称图形一定全等，但全等图形不一定对称 4.作图时对称线段长度画得不一样，图形不对称 5.中心对称必须旋转 180°，其他角度不算 6.等腰三角形只有轴对称，平行四边形只有中心对称 7.坐标对称符号记混：x 轴对称变 y，y 轴对称变 x，原点对称全都变 8.轴对称对应连线垂直对称轴，中心对称连线过中点，两者易混 9.判断角平分线、垂直平分线漏限制条件 10.不会整体旋转 180° 检验，误判中心对称图形 题型1.轴对称图形的识别 【典例】下列图形，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】剪纸是中国民间艺术的重要组成部分之一，仅用一把剪刀，通过纸的折叠和剪切，就可以得到一幅幅漂亮的图案．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，由两个大小不同的等边三角形组成的图形中，能构成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型2.成轴对称两图形的识别 【典例】如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【跟踪专练1】下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，网格中所有点都在格点上，将绕点B逆时针旋转后得到，则下列四个图形正确的是（　　） A． B． C． D． 题型3.成轴对称图形的特征判断 【典例】如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则_________是_________的垂直平分线．若，则_________，_________．    【跟踪专练1】如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】以图①（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换，其中不能得到图②的是________．（填序号） ①只向右平移1个单位长度； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度； ③先绕着点O旋转，再向右平移1个单位长度； ④绕着的中点旋转． 【跟踪专练3】已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型4.成轴对称图形的特征求解 【典例】木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点，点和点为对称点，若，则的度数为_____度． 【跟踪专练1】如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【跟踪专练2】如图，，点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则________． 【跟踪专练3】如图，四边形与四边形关于直线对称，交于点R，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5.台球桌面上的轴对称问题 【典例】如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 【跟踪专练1】如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【跟踪专练2】如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【跟踪专练3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 题型6.轴对称中的光线反射问题 【典例】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    【跟踪专练1】如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【跟踪专练3】如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 题型7.折叠问题 【典例】．如图长方形沿折叠后如图所示，若，则_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，三角形纸片，沿折叠，使点落在边上的点处，已知的周长是8厘米，的周长为26厘米，则___________厘米． 【跟踪专练3】如图，将长方形纸片分别沿，折叠，使，在同一直线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型8.画对称轴 【典例】如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【跟踪专练1】只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪专练2】下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【跟踪专练3】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A．B． C． D． 题型9.求对称轴条数 【典例】如图，正五边形的对称轴条数为______条． 【跟踪专练1】下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列图形的对称轴最少的是（    ） A．菱形 B．正方形 C．圆 D．等边三角形 【跟踪专练3】中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 题型10.镜面对称的应用 【典例】从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 【跟踪专练1】墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【跟踪专练2】从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，所以这时的时刻应是_______________． 【跟踪专练3】下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练5】有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 题型11.成中心对称 【典例】如图所示的图形绕着中心顺时针旋转一定的角度后能与自身完全重合，那么这个角度至少为________°．    【跟踪专练1】下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型12.画已知图形关于某点对称图形 【典例】在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是___． 题型13.画两个图形的对称中心 【典例】如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．   【跟踪专练2】如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 题型14.由中心对称的性质求解 【典例】如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米． 【跟踪专练1】已知和关于点O成中心对称，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．点的对应点是点 D． 【跟踪专练2】如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【跟踪专练3】如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（　　） A． B．点B和点E关于点O对称 C． D．与关于点B成中心对称 题型15.中心对称图形的识别 【典例】如图图形中，中心对称图形是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】中国古代算学与诗词、工程的交融，藏着古人的智慧巧思．《九章算术》中记载了“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”等经典算题，它们的几何图形在建筑营造、器物设计中被广泛应用．下列分别是这四道古算题所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【跟踪专练2】在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型16.判断中心对称图形的对称中心 【典例】如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是______． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练2】如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 题型17.方格纸中补画中心对称图形 【典例】如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若从四个小正方形中再任意涂灰1个，使得新构成的灰色部分的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则应将小正方形______涂灰．(填编号) 【跟踪专练1】图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【跟踪专练3】如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 解答题 1．图中三角形4与图中哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？ 2．按下列要求画一个与已知四边形成中心对称的四边形； (1)以顶点A为对称中心 (2)以的中点O为对称中心． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将平移至，使得点的对应点的坐标为，请在图中直接画出平移后的； (2)将绕原点旋转后得到，直接在图中画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点________中心对称．（直接写出该点坐标） 4．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 5．如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程．那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 6．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使得，折叠后的，落在同一条直线上，其中，为折痕． (1)和有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 7．如图，和关于点成中心对称．    (1)找出它们的对称中心； (2)若，求的周长； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $