专题02整式的乘法暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固) 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题02整式的乘法暑假预习讲义 1. 识记：熟记同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方三条幂运算公式，分清三条运算法则的指数运算区别，会正向、逆向运用公式计算。 2. 掌握：吃透三类整式乘法法则：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，能用文字与符号语言完整表述运算步骤。 3. 运算：规范完成整式乘法基础计算，运算后主动合并同类项化简结果，熟练处理含负号、系数、多字母的混合运算。 4. 辨析：区分幂的三种基础运算，规避指数加减、相乘混淆，积的乘方漏乘常数、符号处理失误等典型错误。 5. 建模：借助图形面积列式，理解多项式乘法的几何意义，能用整式乘法表示长方形、组合图形面积。 6. 求值：掌握整式乘法化简求值题型，先展开、合并化简，再代入数字计算，简化运算量。 7. 拓展：看懂不含某一项类题型的解题思路，会根据乘积项系数建立方程求解参数。 8. 应用：结合实际情境列整式乘法关系式，解决简单数字规律、面积计算应用题。 9. 素养：体会转化思想，将多项式乘法转化为单项式运算，提升符号运算与逻辑推理能力，为后续乘法公式学习铺垫基础。 预习必备 知识梳理 1.幂的基本认识 2.三大核心幂运算公式 3.公式逆用运用 4.整式乘法三类运算 5.混合运算顺序 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.同底数幂相乘 2.同底数幂乘法的逆用 3.科学记数法表示数的乘法 4.幂的乘方运算 5.幂的乘方的逆用 6.积的乘方运算 7.积的乘方逆用 8.计算单项式乘单项式 9.单项式乘法求字母或代数式值 10.单项式乘多项式及求值 11.单项式乘多项式的应用 12.单项式乘多项式求字母的值 13.多项式乘多项式 14.(x+p)(x+q)型多项式乘法 15.多项式乘积不含某项求参数 16.多项式乘多项式--化简求值 17.多项式乘多项式与图形面积 18.多项式乘法中的规律性问题 19.整式乘法混合运算 强化题型 解答题10题 知识点01:幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02:三大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点03:公式逆向运用 七年级想拿高分，必须会逆用公式，所有难题全部来自逆向变形 正向公式 逆向公式 解题用途 am+n=aman aman=am+n 指数拆分、凑指数、求值 amn=(am)n amn=(an)m 高次幂改写、幂的大小比较 anbn=(ab)n anbn=(ab)n 同指数简便合并运算 知识点 04 整式乘法三类基础运算（核心三类） 1.单项式 × 单项式 · 运算步骤： ① 系数相乘；② 同底数幂分别相乘；③ 单独字母直接保留 · 公式示例：3x2y (-2xy3) = -6x3y4 · 口诀：系数乘系数，同底幂加指数，独有字母照抄 2.单项式 × 多项式 法则：用单项式去乘多项式每一项，再把积相加（乘法分配律） 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc（不漏项、符号准） 注意符号：同号得正，异号得负 结果要合并同类项 3.多项式 × 多项式 法则：先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再合并同类项 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（不重不漏） 步骤 逐项相乘→确定符号→合并同类项→化为最简 三类整式乘法对比表 乘法类型 核心依据 运算关键 单 × 单 同底数幂、积的乘方 系数、字母分开算 单 × 多 乘法分配律 不漏乘多项式任意一项 多 × 多 多次分配律 逐项相乘，最后合并同类项 知识点 05 混合运算顺序 1.先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2.再乘除（整式乘法） 3.最后加减，有括号先算括号内 知识点 06 高频易错汇总表 错误情形 错误计算 正确计算 错误原因 同底数幂混淆加减乘 x2+x3=x5 无法合并，保留原式 加法不能指数相加 幂的乘方指数相加 (x2)3=x5 (x2)3=x6 幂乘方指数应相乘 积的乘方漏乘单个因式 (2xy)2=2x2y2 (2xy)2=4x2y2 系数 2 也要平方 单 × 多漏乘常数项 3x(x-2)=3x2-2 3x(x-2)=3x2-6x 单项式要乘括号全部项 负号乘多项式不变号 -a(b-2)=-ab-2a -ab+2a 负数乘括号内负数得正 互为相反数底数不转换 (x-y)3=(y-x)3 (x-y)3=-(y-x)3 奇次幂符号相反 多项式相乘漏项 (x+2)(x+3)=x2+6 x2+5x+6 两项必须交叉相乘 题型1.同底数幂相乘 【典例】___________． 【答案】 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解： 【跟踪专练1】下列式子计算结果为的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项概念和幂的运算法则计算各选项即可得到答案． 【详解】选项A，与不是同类项，不能合并， A错误； 选项B，， B错误； 选项C，， C正确； 选项D，与不是同类项，不能合并， D错误． 【跟踪专练2】．若，则的所有可能值为______ 【答案】1或3或5 【分析】利用幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则化简等式，再根据底数不为0时，同底数幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， 当底数不为0且不为时，由指数相等可得，解得． 当底数为1时，即，解得， 此时，满足题意； 当底数为时，即，解得， 此时，满足题意； 综上，的所有可能值为1或3或5． 【跟踪专练3】已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算性质，利用同底数幂乘法法则和幂的乘方法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】根据幂的运算法则对原式变形： ∵ ， 已知 ，， ∴ 代入得原式 ． 题型2.同底数幂乘法的逆用 【典例】若，，则__________． 【答案】8 【分析】根据同底数幂乘法的逆用将原式整理为，然后进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】的计算结果为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解： ． 【跟踪专练2】已知，，则的值为________． 【答案】21 【分析】逆用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练3】若，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法逆用，利用指数运算法则，将 分解为 ，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 题型3.科学记数法表示数的乘法 【典例】______．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练1】一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为_______（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解： ． 故选：C． 题型4.幂的乘方运算 【典例】计算：___． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】已知，均为正整数，计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘方的意义以及幂的乘方运算法则，先根据乘方定义化简括号内的部分，再利用幂的乘方法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练2】已知，且，则 ⁠． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解方程，先逆用幂的乘方法则，再利用同底数幂的乘法法则，得到，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将等式左右两侧分别化简为同底数幂的形式，再根据同底数幂相等则指数相等，推导得到与的关系式即可． 【详解】解：∵左边为个相加， ∴左边， ∵右边为个相乘， ∴右边， ， ，即． 题型5.幂的乘方的逆用 【典例】．若，则的值为________． 【答案】8 【分析】把原式化为，再进一步可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：. 【跟踪专练1】已知，，m，n为正整数，则的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵， ∴代入得． 【跟踪专练2】已知，，，则a，b，c的大小关系为__________． 【答案】 【分析】将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数的大小，当底数大于1时，指数相同，底数越大，幂越大，即可得到三者的大小关系． 【详解】解：， ， ， 因为，且指数都为， ， 所以 ，即． 【跟踪专练3】已知，，，则满足的关系式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，通过计算幂值，根据同底数幂值相等则指数相等，推导的关系式． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型6.积的乘方运算 【典例】若，，则_______． 【答案】 【分析】利用积的乘方的运算法则，将变形为，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【跟踪专练2】若，则____________，____________． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ． 解得 ，． 故答案为：，． 【跟踪专练3】若n为正整数，且，，则的值为（　　） A．6 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【分析】利用幂的运算法则将所求代数式变形为含已知条件的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 题型7.积的乘方逆用 【典例】计算的值为（     ） A． B．1 C． D．10 【答案】B 【分析】本题可利用积的乘方的逆运算简化计算，先将带分数化为假分数，再合并计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】计算： ____． 【答案】 【详解】解：原式 . 【跟踪专练2】计算的值等于（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方逆用，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．将化为分数，把原式化为，然后逆用积的乘方计算即可求解． 【详解】解：， 原式 因为，且为奇数， 所以 所以 原式， 故选A． 【跟踪专练3】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的逆用． 逆用幂的运算将原式化为，进而逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】 故选：B 题型8.计算单项式乘单项式 【典例】计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【跟踪专练2】_______． 【答案】 【分析】先根据幂的运算法则计算，再根据单项式乘单项式运算法则和同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 题型9.单项式乘法求字母或代数式值 【典例】若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，整式的乘法，根据定义的新运算，运用整式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【跟踪专练2】，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 题型10.单项式乘多项式及求值 【典例】．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，运用单项式乘多项式法则，将单项式分别乘多项式的每一项，再计算结果即可，注意符号运算． 【详解】解： 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】将所给的等式变形成，再代入所求代数式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 【跟踪专练3】现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义的运算得到整式的混合运算，根据单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加；然后合并同类项，求解即可． 【详解】解：根据新定义运算可得 ， A选项符合题意． 题型11.单项式乘多项式的应用 【典例】计算：__________． 【答案】/ 【详解】解：． 【跟踪专练1】2026年全国两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用长方形面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形面积长宽，已知长为，宽为， ∴面积， 根据单项式乘多项式法则展开得： ． 【跟踪专练2】计算： _________________． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练3】如图所示正方形和正方形，点在上，点在上，连结、、，若，则图中阴影部分面积的和为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】设正方形和正方形的边长分别为，，则，再计算图中阴影部分面积的和，代入计算即可． 【详解】解：由题意，设正方形和正方形的边长分别为，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积的和为 ． 题型12.单项式乘多项式求字母的值 【典例】．若的乘积中不含项，则a的值为____． 【答案】0 【分析】根据乘积中不含某一项，即该项的系数为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：， 乘积中不含项， 项的系数为， 即， 解得． 【跟踪专练1】已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 【跟踪专练2】若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 【跟踪专练3】要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 题型13.多项式乘多项式 【典例】化简：________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： 【跟踪专练1】若多项式可以分解为与的乘积，则的值为____． 【答案】1 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 【跟踪专练2】若与的乘积中不含的一次项，则的值为____________． 【答案】 【分析】先计算两个多项式的乘积，乘积不含的一次项，说明一次项系数为，列方程求解即可． 【详解】解： 乘积中不含的一次项， ， ． 【跟踪专练3】在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：，则经过运算可化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义代入对应数值，再按照多项式乘多项式法则计算化简即可得到结果． 【详解】解： ． 题型14.(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例】已知，那么的值___________． 【答案】1 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出 与 的值，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， 可得， 则． 【跟踪专练1】．已知，则、的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边对应项系数，即可得到和的值． 【详解】解： ，． 【跟踪专练2】若，则的值为________． 【答案】2 【分析】利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：将等式左边展开得， 由题意得， 根据多项式相等对应项系数相等，可得， 解方程组得， 则． 【跟踪专练3】若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先按照多项式乘以多项式计算，然后根据已知条件得出，，解一元一次方程即可求出m，n的值． 【详解】解： ， 则，， 解得：，． 题型15.多项式乘积不含某项求参数 【典例】已知代数式的展开式中不含的一次项，则______． 【答案】 【分析】先计算多项式乘多项式，再使的一次项系数为求解即可． 【详解】解： ， ∵代数式的展开式中不含的一次项， ∴， 解得． 【跟踪专练1】若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先按照多项式乘法运算法则求出，再根据乘积不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解m的值． 【详解】∵， 又乘积中不含x的一次项， 一次项系数为0，即， 解得：． 【跟踪专练2】若的乘积中不含和项，则_______，_______． 【答案】 【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含和项，求出 ，即可求出答案． 【详解】解： ， ∵其结果中不含和项， ∴， 解得： ． 【跟踪专练3】若展开的结果中不含的一次项，则满足的关系式是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式中不含某一项时字母关系式的求解，先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后，根据不含的一次项即一次项系数为，整理即可得到，的关系式． 【详解】解： ， 又∵ 展开结果中不含的一次项，因此一次项系数为0 ∴ ，整理得 故选：D． 题型16.多项式乘多项式--化简求值 【典例】已知，，则的值为________________． 【答案】0 【分析】先将所求式子展开，整理成含有已知和的形式，再整体代入已知数值计算即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 【跟踪专练1】如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式及求代数式的值；根据题意得；再把代数式用多项式乘多项式法则展开，整体代入即可求解． 【详解】解：∵长方形的周长为18，面积为17， ∴， 即； ∴； 故选：A． 【跟踪专练2】若实数， 满足，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入得， ． 【跟踪专练3】若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据定义可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型17.多项式乘多项式与图形面积 【典例】根据几何图形的面积关系，可以直观的解释一些整式乘法的等式．根据下图可以写出的整式乘法的等式是______．    【答案】 【分析】应用多项式乘法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：由图可知，． 【跟踪专练1】一个长方形操场原来的长和宽分别是米和米，如果长、宽各增加米，那么它的面积就增加（     ）平方米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算原来的和增加长度后的面积，两者相减即可． 【详解】解：根据题意可得长方形操场原来的面积为， 长、宽各增加米，它的面积为； ∴面积增加了（平方米）． 【跟踪专练2】用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 【答案】 15 【分析】根据长方形的面积公式，利用多项式乘多项式法则展开，根据展开式中，，的系数确定各类卡片的数量，最后求和即可． 【详解】解：由图可知，类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为 长方形的长为，宽为， 长方形的面积： 需要类卡片1张，类卡片6张，类卡片8张 ，，类卡片一共需要（张）． 【跟踪专练3】如图，将三张大小一样的正方形纸片放入一个大长方形中，其中两个正方形重叠部分．若已知小长方形①、②的面积差，则可求出下列哪个图形的面积？（     ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】B 【分析】设三个正方形的边长为，，长方形的长为，则宽为，表示出相关线段的长度，得出，即可得出结论． 【详解】解：设三个正方形的边长为，，长方形的长为，则宽为，小长方形①和小长方形②的面积分别为， ∴小长方形①的长为，宽为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴可求出四边形的面积． 题型18.多项式乘法中的规律性问题 【典例】【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】 已知．则m的值为_____． 【答案】24 【分析】根据题中给出的“三乘”对应的展开式计算，对比已知等式的系数即可求出m的值． 【详解】解：∵， ∴ 即， ∴． 【跟踪专练1】观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 【答案】A 【分析】先观察已知算式总结规律得到，再将所求式子变形，利用总结的规律简便计算． 【详解】解：①， ②， ③， …… ∴； 设所求式子为 ， ∵， ∴． 【跟踪专练2】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 (为正整数）的展开式的如图所示系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据杨辉三角的系数规律推导出时的各项系数，结合多项式展开式的特征，确定含项的系数，即可求解． 【详解】解：根据杨辉三角的规律，每一行的首尾数字均为，中间的每个数字等于它上方两数之和． 第行的“杨辉三角”数为：， 展开式为， 第行的“杨辉三角”数为：， 展开式为， 则展开式为， 含项的系数是． 题型19.整式乘法混合运算 【典例】计算： _______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的乘法，根据去括号法则一步步计算得到答案即可； 【详解】解：； 故答案为： 【跟踪专练1】下列计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的计算等知识点，根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则判断即可．掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】若，，则的值为_____． 【答案】 【分析】由，，可得，即：，进而可得，化简后再代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即：， ∴， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式化简及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 【跟踪专练3】如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 解答题 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： （2）解： 2．计算：． 【答案】． 【详解】解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 5．已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式乘多项式的计算，用到单项式乘多项式法则，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，结合同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 7．已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】1 【分析】根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． 8．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先根据整式的乘法法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式 ． 9．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是． ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为______，小正方形的边长为_______，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是______，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即时，； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． (1)补全上述步骤的填空 【类比迁移】 (2)当时，求代数式的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据） 【答案】(1)，，； (2)， 【分析】（1）根据等面积问题即可得出答案； （2）设长方形长、宽分别为、，则长方形面积为，仿照（1）作答即可． 【详解】（1）解：当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是即，从而可得； （2）解：设长方形长、宽分别为、，则长方形面积为， 拼图略， ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式，，满足的等量关系是即，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时，解得，即该长方形变成边长为9的正方形，即时，； 综上分析，长、宽分别为、的长方形的最大面积是， 即代数式的最大值为． 10．【文化赏析】北宋数学家贾宪于公元11世纪在其著作《黄帝九章算法细草》中创立“开方作法本源”三角形图表，原书佚失．南宋数学家杨辉在13世纪所著《详解九章算法》中引用了此图表（见图1），人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．如图2，此表呈现出（为非负整数）的展开式的系数规律． (1)【应用体验】的展开式中的系数是 ；的所有系数和是 ． (2)利用上面的规律计算：． (3)【实际应用】今天是星期二，请直接写出天后是星期几？ 【答案】(1)10；256 (2) (3)星期三． 【分析】（1）根据“杨辉三角”的规律写出展开式，即可求解； （2）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （3）由，可得出都能被7整除，则除以7余1，则可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴展开式中的系数是10； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 根据规律可得展开式中所有项的系数和为； （2）解： ； （3）解：∵（a，b，c等为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴今天是星期二，往后推1天就是星期三． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式的乘法暑假预习讲义 1. 识记：熟记同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方三条幂运算公式，分清三条运算法则的指数运算区别，会正向、逆向运用公式计算。 2. 掌握：吃透三类整式乘法法则：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，能用文字与符号语言完整表述运算步骤。 3. 运算：规范完成整式乘法基础计算，运算后主动合并同类项化简结果，熟练处理含负号、系数、多字母的混合运算。 4. 辨析：区分幂的三种基础运算，规避指数加减、相乘混淆，积的乘方漏乘常数、符号处理失误等典型错误。 5. 建模：借助图形面积列式，理解多项式乘法的几何意义，能用整式乘法表示长方形、组合图形面积。 6. 求值：掌握整式乘法化简求值题型，先展开、合并化简，再代入数字计算，简化运算量。 7. 拓展：看懂不含某一项类题型的解题思路，会根据乘积项系数建立方程求解参数。 8. 应用：结合实际情境列整式乘法关系式，解决简单数字规律、面积计算应用题。 9. 素养：体会转化思想，将多项式乘法转化为单项式运算，提升符号运算与逻辑推理能力，为后续乘法公式学习铺垫基础。 预习必备 知识梳理 1.幂的基本认识 2.三大核心幂运算公式 3.公式逆用运用 4.整式乘法三类运算 5.混合运算顺序 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.同底数幂相乘 2.同底数幂乘法的逆用 3.科学记数法表示数的乘法 4.幂的乘方运算 5.幂的乘方的逆用 6.积的乘方运算 7.积的乘方逆用 8.计算单项式乘单项式 9.单项式乘法求字母或代数式值 10.单项式乘多项式及求值 11.单项式乘多项式的应用 12.单项式乘多项式求字母的值 13.多项式乘多项式 14.(x+p)(x+q)型多项式乘法 15.多项式乘积不含某项求参数 16.多项式乘多项式--化简求值 17.多项式乘多项式与图形面积 18.多项式乘法中的规律性问题 19.整式乘法混合运算 强化题型 解答题10题 知识点01:幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02:三大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点03:公式逆向运用 七年级想拿高分，必须会逆用公式，所有难题全部来自逆向变形 正向公式 逆向公式 解题用途 am+n=aman aman=am+n 指数拆分、凑指数、求值 amn=(am)n amn=(an)m 高次幂改写、幂的大小比较 anbn=(ab)n anbn=(ab)n 同指数简便合并运算 知识点 04 整式乘法三类基础运算（核心三类） 1.单项式 × 单项式 · 运算步骤： ① 系数相乘；② 同底数幂分别相乘；③ 单独字母直接保留 · 公式示例：3x2y (-2xy3) = -6x3y4 · 口诀：系数乘系数，同底幂加指数，独有字母照抄 2.单项式 × 多项式 法则：用单项式去乘多项式每一项，再把积相加（乘法分配律） 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc（不漏项、符号准） 注意符号：同号得正，异号得负 结果要合并同类项 3.多项式 × 多项式 法则：先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再合并同类项 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（不重不漏） 步骤 逐项相乘→确定符号→合并同类项→化为最简 三类整式乘法对比表 乘法类型 核心依据 运算关键 单 × 单 同底数幂、积的乘方 系数、字母分开算 单 × 多 乘法分配律 不漏乘多项式任意一项 多 × 多 多次分配律 逐项相乘，最后合并同类项 知识点 05 混合运算顺序 1.先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2.再乘除（整式乘法） 3.最后加减，有括号先算括号内 知识点 06 高频易错汇总表 错误情形 错误计算 正确计算 错误原因 同底数幂混淆加减乘 x2+x3=x5 无法合并，保留原式 加法不能指数相加 幂的乘方指数相加 (x2)3=x5 (x2)3=x6 幂乘方指数应相乘 积的乘方漏乘单个因式 (2xy)2=2x2y2 (2xy)2=4x2y2 系数 2 也要平方 单 × 多漏乘常数项 3x(x-2)=3x2-2 3x(x-2)=3x2-6x 单项式要乘括号全部项 负号乘多项式不变号 -a(b-2)=-ab-2a -ab+2a 负数乘括号内负数得正 互为相反数底数不转换 (x-y)3=(y-x)3 (x-y)3=-(y-x)3 奇次幂符号相反 多项式相乘漏项 (x+2)(x+3)=x2+6 x2+5x+6 两项必须交叉相乘 题型1.同底数幂相乘 【典例】___________． 【跟踪专练1】下列式子计算结果为的是（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则的所有可能值为______ 【跟踪专练3】已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型2.同底数幂乘法的逆用 【典例】若，，则__________． 【跟踪专练1】的计算结果为（     ） A．4 B． C．3 D． 【跟踪专练2】已知，，则的值为________． 【跟踪专练3】若，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 题型3.科学记数法表示数的乘法 【典例】______．（结果用科学记数法表示） 【跟踪专练1】一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为_______（结果用科学记数法表示）． 【跟踪专练2】科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 题型4.幂的乘方运算 【典例】计算：___． 【跟踪专练1】已知，均为正整数，计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，且，则 ⁠． 【跟踪专练3】若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 题型5.幂的乘方的逆用 【典例】．若，则的值为________． 【跟踪专练1】已知，，m，n为正整数，则的结果是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，，则a，b，c的大小关系为__________． 【跟踪专练3】已知，，，则满足的关系式是（     ）． A． B． C． D． 题型6.积的乘方运算 【典例】若，，则_______． 【跟踪专练1】计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则____________，____________． 【跟踪专练3】若n为正整数，且，，则的值为（　　） A．6 B．12 C．36 D．72 题型7.积的乘方逆用 【典例】计算的值为（     ） A． B．1 C． D．10 【跟踪专练1】计算： ____． 【跟踪专练2】计算的值等于（   ） A．2 B． C．3 D． 【跟踪专练3】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型8.计算单项式乘单项式 【典例】计算：__________． 【跟踪专练1】计算：（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】_______． 【跟踪专练3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型9.单项式乘法求字母或代数式值 【典例】若，则________． 【跟踪专练1】定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】，求的值_______． 【跟踪专练3】计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型10.单项式乘多项式及求值 【典例】．计算：________． 【跟踪专练1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为___________． 【跟踪专练3】现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 题型11.单项式乘多项式的应用 【典例】计算：__________． 【跟踪专练1】2026年全国两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： _________________． 【跟踪专练3】如图所示正方形和正方形，点在上，点在上，连结、、，若，则图中阴影部分面积的和为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 题型12.单项式乘多项式求字母的值 【典例】．若的乘积中不含项，则a的值为____． 【跟踪专练1】已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【跟踪专练2】若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【跟踪专练3】要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 题型13.多项式乘多项式 【典例】化简：________． 【跟踪专练1】若多项式可以分解为与的乘积，则的值为____． 【跟踪专练2】若与的乘积中不含的一次项，则的值为____________． 【跟踪专练3】在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：，则经过运算可化简为（     ） A． B． C． D． 题型14.(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例】已知，那么的值___________． 【跟踪专练1】．已知，则、的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】若，则的值为________． 【跟踪专练3】若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 题型15.多项式乘积不含某项求参数 【典例】已知代数式的展开式中不含的一次项，则______． 【跟踪专练1】若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【跟踪专练2】若的乘积中不含和项，则_______，_______． 【跟踪专练3】若展开的结果中不含的一次项，则满足的关系式是(     ) A． B． C． D． 题型16.多项式乘多项式--化简求值 【典例】已知，，则的值为________________． 【跟踪专练1】如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【跟踪专练2】若实数， 满足，则代数式的值为________． 【跟踪专练3】若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 题型17.多项式乘多项式与图形面积 【典例】根据几何图形的面积关系，可以直观的解释一些整式乘法的等式．根据下图可以写出的整式乘法的等式是______．    【跟踪专练1】一个长方形操场原来的长和宽分别是米和米，如果长、宽各增加米，那么它的面积就增加（     ）平方米． A． B． C． D． 【跟踪专练2】用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 【跟踪专练3】如图，将三张大小一样的正方形纸片放入一个大长方形中，其中两个正方形重叠部分．若已知小长方形①、②的面积差，则可求出下列哪个图形的面积？（     ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 题型18.多项式乘法中的规律性问题 【典例】【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】 已知．则m的值为_____． 【跟踪专练1】观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 【跟踪专练2】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 (为正整数）的展开式的如图所示系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 题型19.整式乘法混合运算 【典例】计算： _______． 【跟踪专练1】下列计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，则的值为_____． 【跟踪专练3】如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 解答题 1．计算： (1)； (2)． 2．计算：． 3．计算： (1) (2) 4．计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 5．已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 8．先化简，再求值：，其中，． 9．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是． ①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为______，小正方形的边长为_______，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是______，从而可得； ②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即时，； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． (1)补全上述步骤的填空 【类比迁移】 (2)当时，求代数式的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据） 10．【文化赏析】北宋数学家贾宪于公元11世纪在其著作《黄帝九章算法细草》中创立“开方作法本源”三角形图表，原书佚失．南宋数学家杨辉在13世纪所著《详解九章算法》中引用了此图表（见图1），人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．如图2，此表呈现出（为非负整数）的展开式的系数规律． (1)【应用体验】的展开式中的系数是 ；的所有系数和是 ． (2)利用上面的规律计算：． (3)【实际应用】今天是星期二，请直接写出天后是星期几？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $