1.3.2　空间向量运算的坐标表示 课时作业word版-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从空间直角坐标系基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点的坐标、对称问题、简单几何体坐标|单选/多选题夯实概念，如点关于坐标轴/平面的对称，正方体中点的坐标确定| |更上层楼|基底转换、向量坐标、含参数对称问题|解答题深化理解，如基底坐标转换，培养运算能力与逻辑推理| |探究发现|复杂几何体体积、实际情境坐标建立|综合题拓展应用，如四棱锥体积计算，提升创新意识与空间想象|

课时作业(六) 1．若空间中两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点(　　) A．关于x轴对称　　　　 B．关于y轴对称 C．关于z轴对称 D．关于原点对称 答案　B 解析　因为A，B两点纵坐标相同，横坐标和竖坐标均互为相反数，故A，B两点关于y轴对称． 2．在空间直角坐标系中，点P(4，3，－1)关于Ozx平面对称的点的坐标是(　　) A．(4，－3，－1) B．(4，3，－1) C．(3，－4，1) D．(－4，－3，1) 答案　A 解析　过点P向Ozx平面作垂线，垂足为N(图略)，则N就是点P与其关于Ozx平面对称的点P′连线的中点．又N(4，0，－1)，所以P′(4，－3，－1)． 3．如图，在棱长为2的正方体OABC－O1A1B1C1中，E是B1B上的点，且EB＝2EB1，则点E的坐标为(　　) A．(2，2，1) B. C. D. 答案　D 解析　因为EB⊥平面Oxy，B(2，2，0)，故设E(2，2，z)．又因为EB＝2EB1，所以BE＝BB1＝，故点E的坐标为. 4．【多选题】在空间直角坐标系Oxyz中，下列结论正确的是(　　) A．每一个点和向量都可用唯一的有序实数组(x，y，z)表示 B．点P(3，0，－1)位于Oxy平面上 C．过点P(1，3，－4)作Ozx平面的垂线段PQ，则垂足为Q(1，0，－4) D．点A(2，－1，4)关于原点的对称点的坐标为A′(－2，1，－4) 答案　ACD 解析　在空间直角坐标系中，每一个点和向量都可用唯一的有序实数组(x，y，z)表示，从而A正确；点P(3，0，－1)位于空间直角坐标系中的Ozx平面上，从而B错误；点P(1，3，－4)在Ozx平面内的射影点的坐标为(1，0，－4)，从而C正确；点A(2，－1，4)关于原点的对称点的坐标为A′(－2，1，－4)，从而D正确．故选ACD. 5.【多选题】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在Dxyz中，以下结论正确的是(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案　ACD 解析　因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，所以点B1的坐标为(4，5，3)，故A正确；C1(0，5，3)，B(4，5，0)，设点C1关于点B对称的点为(x0，y0，z0)，则＝4，＝5，＝0，解得x0＝8，y0＝5，z0＝－3，则点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，故B错误；由立体几何的特征知点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确；由立体几何的特征知点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，故D正确． 6．【多选题】设y∈R，则下列不是点P(1，y，2)的集合的为(　　) A．垂直于Ozx平面的一条直线 B．平行于Ozx平面的一条直线 C．垂直于y轴的一个平面 D．平行于y轴的一个平面 答案　BCD 解析　由于点的横坐标、竖坐标均为定值，而纵坐标不确定，故该点的集合为垂直于Ozx平面的一条直线．故A选项是P的集合，所以选BCD. 7.如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是________． 答案　(0，3，2) 解析　∵的坐标为(4，3，2)，D为坐标原点，∴B1的坐标为(4，3，2)，∴BC＝4，DC＝3，CC1＝2，∴C1的坐标为(0，3，2)． 8.如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面Oyz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则点D的坐标为________． 答案　 解析　如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E. 在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得||＝1，||＝， ∴||＝||sin 30°＝， ||＝||－||＝||－||cos 60°＝1－＝， ∴点D的坐标为. 9.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立空间直角坐标系，求，的坐标． 解析　由题意可知，BG＝BE＝×＝， 所以AG＝＝， 所以＝， ＝－＝－ ＝. 10．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 解析　依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k， ∴＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)， ＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)， ＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4)． 11．已知{a，b，c}是空间的一基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 答案　B 解析　依题意知，p＝a＋2b＋3c， 设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)， 则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， 所以所以 即向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.故选B. 12.【多选题】如图，在长方体OABC－D′A′B′C′中，OA＝1，OC＝3，OD′＝2，点E在线段AO延长线上，且OE＝，下列向量坐标表示正确的是(　　) A.＝(3，0，0) B.＝(1，0，2) C.＝ D.＝ 答案　BC 解析　点C在y轴上且OC＝3，所以C(0，3，0)，＝(0，3，0)，A不正确；B′在三个坐标平面上的射影为B，C′，A′，所以B′(1，3，2)，所以＝(1，0，2)，B正确；点E在x轴的负半轴上且OE＝，所以E，所以＝，C正确；＝，D不正确． 13.在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyz，则向量的坐标为________． 答案　 解析　连接MB，BN，则＝＋＝－(＋)＋(＋)＝－＝. 14．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(a2－4a，b＋3，2c＋1)关于y轴的对称点M′的坐标为(4，－2，15)，则a＋b＋c的值为________． 答案　－11 解析　因为点M(a2－4a，b＋3，2c＋1)关于y轴的对称点M′的坐标为(4，－2，15)，根据空间直角坐标系Oxyz中关于y轴对称的点的特征可得解得所以a＋b＋c＝－11. 15.如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(3，4，2)，则四棱锥B1－ABCD的体积为________． 答案　8 解析　因为的坐标为(3，4，2)，所以AD＝3，AB＝4，AA1＝2，所以VB1－ABCD＝VA1B1C1D1－ABCD＝8. 16.如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的另一条直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标． 解析　因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直． 又因为AB＝AC＝6，BC是⊙O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形，且AF⊥BC，BC＝6.所以以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(－3，0，0)，D(0，－3，8)，E(0，0，8)，F(0，3，0)． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(六) 1．若空间中两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点(　　) A．关于x轴对称　　　　 B．关于y轴对称 C．关于z轴对称 D．关于原点对称 2．在空间直角坐标系中，点P(4，3，－1)关于Ozx平面对称的点的坐标是(　　) A．(4，－3，－1) B．(4，3，－1) C．(3，－4，1) D．(－4，－3，1) 3．如图，在棱长为2的正方体OABC－O1A1B1C1中，E是B1B上的点，且EB＝2EB1，则点E的坐标为(　　) A．(2，2，1) B. C. D. 4．【多选题】在空间直角坐标系Oxyz中，下列结论正确的是(　　) A．每一个点和向量都可用唯一的有序实数组(x，y，z)表示 B．点P(3，0，－1)位于Oxy平面上 C．过点P(1，3，－4)作Ozx平面的垂线段PQ，则垂足为Q(1，0，－4) D．点A(2，－1，4)关于原点的对称点的坐标为A′(－2，1，－4) 5.【多选题】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在Dxyz中，以下结论正确的是(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 6．【多选题】设y∈R，则下列不是点P(1，y，2)的集合的为(　　) A．垂直于Ozx平面的一条直线 B．平行于Ozx平面的一条直线 C．垂直于y轴的一个平面 D．平行于y轴的一个平面 7.如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是________． 8.如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面Oyz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则点D的坐标为________． 9.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立空间直角坐标系，求，的坐标． 10．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 11．已知{a，b，c}是空间的一基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 12.【多选题】如图，在长方体OABC－D′A′B′C′中，OA＝1，OC＝3，OD′＝2，点E在线段AO延长线上，且OE＝，下列向量坐标表示正确的是(　　) A.＝(3，0，0) B.＝(1，0，2) C.＝ D.＝ 13.在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyz，则向量的坐标为________． 14．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(a2－4a，b＋3，2c＋1)关于y轴的对称点M′的坐标为(4，－2，15)，则a＋b＋c的值为________． 15.如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(3，4，2)，则四棱锥B1－ABCD的体积为________． 16.如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的另一条直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $