1.3.1空间直角坐标系 同步练习—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 资料名称：1.3.1 空间向量的坐标运算 同步练习；课程：高中数学；场景：新授课；资料类型：同步练。以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层，覆盖空间向量坐标运算全知识点，通过梯度题型培养数学运算与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一公式应用（坐标运算、数量积）|单选题1-7直接套用公式，填空题12-15强化基本运算，夯实概念理解| |提升层|复杂运算与概念辨析（共线共面、夹角）|多选题10-11辨析基底、共线等概念，填空题16-17涉及参数求解，培养推理意识| |综合层|几何情境综合应用（正方体、正四面体）|解答题18-21结合空间几何模型，需坐标构建与运算结合，发展空间观念与应用意识|

1.3.1 空间向量的坐标运算 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 2．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，若，则（    ） A． B． C． D．6 4．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 9．在空间直角坐标系中，已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．下面四个结论正确的是（ ） A．空间向量，若⊥，则 B．若对平面中任意一点，有 则，，三点共线. C．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D．任意向量，满足. 11．在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知点，，若，则点的坐标是______. 13．已知，若四点共面，则______. 14．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______. 15．已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围__________． 16．已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为_____. 17．在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____. 四、解答题 18．已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 19．已知，，. (1)求的值； (2). 20．已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    21．已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.3.1 空间向量的坐标运算 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D A C C A B ABC 题号 11 答案 BD 1．A 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 2．C 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 3．A 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的数量积求解. 【详解】， ，得， 故选：A 4．D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 5．A 【知识点】空间向量的坐标运算、求投影向量、空间向量数量积的应用 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 6．C 【知识点】空间向量的坐标运算 【详解】，，所以. 7．C 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】已知，则. 8．A 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【详解】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以. 故选：A 9．B 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】先通过向量法则简化表达式，再用坐标运算得到结果即可. 【详解】根据题意，点，，，则. 故选：B. 10．ABC 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量基底概念及辨析、空间共线向量定理的推论及应用 【分析】根据空间向量的基本概念，即可判断选项. 【详解】A选项，空间向量，若⊥，，夹角为， 则，A正确； B选项，，所以，，三点共线，B正确； C选项，是空间的一个基底，则不存在使得， 设，即，即，此方程无解， 故不共面，则也是空间的一个基底，C正确； D选项，不妨设， 则，， 此时，D错误. 故选：ABC 11．BD 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标表示一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 12． 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量坐标运算求解即可. 【详解】由点，，得，则， 所以点的坐标是. 故答案为： 13．/ 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量共面求参数 【分析】根据空间向量共面定理，可设，根据对应坐标相等求得 【详解】由四点共面，可知存在实数m，n，使得， 即， 则有，解得 故答案为： 14． 【知识点】空间向量的坐标运算、求空间向量的数量积 【分析】由两个空间向量夹角为锐角可得且与不同向. 【详解】由已知与的夹角为锐角，则， 即，解得. 若与的夹角为0°，则存在，使. 所以，所以，. 综上，若与的夹角为锐角，则且. 故t的取值范围是. 故答案为：. 15． 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】首先判断与不共线，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为， 若，则，所以，方程组无解，所以与不共线， 又向量与的夹角为锐角，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 16． 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量共面求参数 【分析】根据空间向量共面定理，结合空间向量坐标的运算即可求解. 【详解】显然不共线， 因为向量，，共面， 所以，使得， 因为，，， 所以， 则，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 17． 【知识点】空间向量的坐标运算、求空间向量的数量积 【分析】应用空间向量的坐标及数量积公式计算求解. 【详解】因为点，，， 所以， 则. 故答案为：. 18．(1) (2)或. 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得，再由数量积得不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 得 （2） 因为，所以. 解得：或. 19．(1) (2) 【知识点】空间向量的坐标运算、求空间向量的数量积 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 20．. 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解. 【详解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . .    21． 【知识点】空间向量的坐标运算、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的加法运算和减法运算即可求解. 【详解】因为，所以可设．由于是的中点， 所以， 又因为是的中点， 所以，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $