1.3.1 空间直角坐标系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念辨析到综合应用再到拓展迁移，梯度合理，适配新授课知识巩固与空间观念、运算能力、推理意识的培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间直角坐标系中点的位置、对称点坐标、向量坐标表示等单一知识点|以选择、填空为主，含多选（如第7题），强化概念辨析与基本运算，培养空间观念| |综合运用|长方体中坐标关系、投影向量、坐标系建立等知识综合|结合几何体情境（如第12题长方体），需推理分析，提升几何直观与推理能力| |拓展提高|基底坐标转换、垂足坐标求解等深化内容|抽象问题（如第15题基底转换），需数学思维迁移，发展创新意识|

1.3.1　空间直角坐标系 一、基础巩固 1.点P(3,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在(　　) A.y轴上 B.Oxy面上 C.Ozx面上 D.Oyz面上 2.点A(-2,3,-4)关于坐标平面Oxz对称点A'的坐标为(　　) A.(-2,-3,-4) B.(2,-3,4) C.(-2,-3,4) D.(2,3,-4) 3.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标是(　　) A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k) C.(1,-1,-1) D.不确定 4.已知点B的坐标是(-1,2,1),则||=(　　) A. B.6 C. D.5 5.已知=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,则点A的坐标为(　　) A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,10,12) D.(4,2,3) 6.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,点P是B1C1的中点,则点P的坐标为(　　) A.(3,5,4) B. C. D. 7.(多选)下列各命题正确的是(　　) A.点(1,-2,3)关于平面Oxz的对称点为(1,2,3) B.点关于y轴的对称点为 C.点(2,-1,3)到平面Oyz的距离为1 D.设{i,j,k}是空间向量单位正交基底,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4) 8.在空间直角坐标系中,已知点P(1,,),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为　　　　.  9.已知三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的坐标系Bxyz,则向量的坐标为　　　　.  10.已知点A的坐标为(-1,3,0),点B的坐标为(0,1,1),则cos<,>=　　　　.  11.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别为BB1和DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出,,的坐标. 二、综合运用 12.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是(　　) A.点B1的坐标为(4,5,3) B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 13.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,建立空间直角坐标系,如图所示,则向量在向量上的投影向量的坐标为　　　　.  14.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,试建立适当的空间直角坐标系并写出向量,的坐标. 三、拓展提高 15.若p=xa+yb+zc,则称(x,y,z)为p在基底{a,b,c}下的坐标.若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为　　　　.  16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,建立如图所示的空间直角坐标系,求点E的坐标. 1.3.1　空间直角坐标系 一、基础巩固 1.点P(3,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在(　　) A.y轴上 B.Oxy面上 C.Ozx面上 D.Oyz面上 答案　C 解析　因为P点的y轴坐标为0,其他坐标不为0,故点P(3,0,2)在Ozx面上. 2.点A(-2,3,-4)关于坐标平面Oxz对称点A'的坐标为(　　) A.(-2,-3,-4) B.(2,-3,4) C.(-2,-3,4) D.(2,3,-4) 答案　A 解析　点A的坐标中横、竖坐标不变,纵坐标变为原来的相反数即得A'的坐标为(-2,-3,-4). 3.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标是(　　) A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k) C.(1,-1,-1) D.不确定 答案　A 解析　由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(-1,1,-1). 4.已知点B的坐标是(-1,2,1),则||=(　　) A. B.6 C. D.5 答案　A 解析　由B点坐标是(-1,2,1),得=-i+2j+k,故||2=1+4+1=6,故||=. 5.已知=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,则点A的坐标为(　　) A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,10,12) D.(4,2,3) 答案　A 解析　=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k=(12,14,10). 6.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,点P是B1C1的中点,则点P的坐标为(　　) A.(3,5,4) B. C. D. 答案　C 解析　由题图知,设点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1,P2,P3,它们在坐标轴上的坐标分别是,5,4,故点P的坐标是. 7.(多选)下列各命题正确的是(　　) A.点(1,-2,3)关于平面Oxz的对称点为(1,2,3) B.点关于y轴的对称点为 C.点(2,-1,3)到平面Oyz的距离为1 D.设{i,j,k}是空间向量单位正交基底,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4) 答案　ABD 解析　A项,关于平面Oxz的对称点,x,z不变,y变为相反数,则(1,-2,3)的对称点为(1,2,3),正确; B项,关于y轴的对称点,y不变,x,z变为相反数,则的对称点为,正确; C项,空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值,则(2,-1,3)到平面Oyz的距离为2,错误; D项,根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m=3i-2j+4k表示m=(3,-2,4),正确;故选ABD. 8.在空间直角坐标系中,已知点P(1,,),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为　　　　.  答案　(0,,) 解析　由于垂足在平面Oyz上,所以纵坐标、竖坐标不变,横坐标为0. 9.已知三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的坐标系Bxyz,则向量的坐标为　　　　.  答案　 解析　=+=-(+)+(+)=-=i-k=. 10.已知点A的坐标为(-1,3,0),点B的坐标为(0,1,1),则cos<,>=　　　　.  答案　 解析　由题设知=(-1,3,0)=-i+3j, =(0,1,1)=j+k, 故||==, ||==, ·=(-i+3j)·(j+k)=3. 所以cos<,>==. 11.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别为BB1和DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出,,的坐标. 解　=++ =2i+2j+2k=(2,2,2), =++ =2i+2j+×2k =2i+2j+k=(2,2,1), ==×2j=j=(0,1,0). 二、综合运用 12.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是(　　) A.点B1的坐标为(4,5,3) B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 答案　ACD 解析　根据题意知,点B1的坐标为(4,5,3),选项A正确; B的坐标为(4,5,0),C1的坐标为(0,5,3), 故点C1关于点B对称的点为(8,5,-3),选项B错误; 在长方体中AD1=BC1==5=AB, 所以四边形ABC1D1为正方形,AC1与BD1垂直且平分, 即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),选项C正确; 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0),选项D正确. 13.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,建立空间直角坐标系,如图所示,则向量在向量上的投影向量的坐标为　　　　.  答案　(-2,2,0) 解析　易知向量在向量上的投影向量为,在单位正交基底{i,j,k}下,=+= -+=-2i+2j, 故=(-2,2,0). 14.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,试建立适当的空间直角坐标系并写出向量,的坐标. 解　如图所示,因为PA=AD=AB=1,且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB, 所以可设=e1,=e2,=e3,以{e1,e2,e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz. 因为=++=++=++(++) =-e2+e3+(-e3-e1+e2) =-e1+e3, ==e2, 所以=,=(0,1,0). 三、拓展提高 15.若p=xa+yb+zc,则称(x,y,z)为p在基底{a,b,c}下的坐标.若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为　　　　.  答案　 解析　设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z), 则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc, 所以解得 故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为. 16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,建立如图所示的空间直角坐标系,求点E的坐标. 解　由题意得D(0,0,0),B1(2,4,2),A(2,0,0),C(0,4,0). 设点E的坐标为(x,y,0), 过E分别作AD,DC的垂线,垂足为M,N,如图. ∵AD·CD=AC·DE, ∴DE==, ∵cos∠EDA=, ∴sin∠EDA=, EM=DE·sin∠EDA=, EN=DE·cos∠EDA=,∴E. 学科网（北京）股份有限公司 $