1.2第1课时 空间向量基本定理 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念辨析到空间综合应用，强化数学抽象与空间观念，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基底概念、共线共面判定|选择/填空题考查基底构成条件（如第1题共线判定），强化数学抽象| |中档层|空间向量表示、坐标运算|结合四面体/平行六面体（如第9题中点向量表示），发展空间观念| |提升层|综合应用、数量积运算|涉及最值问题（第15题）与数量积计算（第16题），培养推理能力|

第1课时　空间向量基本定理 1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有（　　） A.a，b共线 B.a，b同向 C.a，b反向 D.a，b共面 2.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一个基底的是（　　） A. B. C. D.或 3. (2025高二上·成都期末) 如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（　　） A.  B.  C.  D.  4.（2024·南通月考）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为（　　） A.，－1，－ B.，1， C.－，1，－ D.，1，－ 5.已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为（　　） A.a＋b＋c B.a＋b－c C.－a＋b＋c D.a－b＋c 6.（多选）已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共线.若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（　　） A.{，，}不能构成空间的一个基底 B.{，，}能构成空间的一个基底 C.{，，}不能构成空间的一个基底 D.{，，}能构成空间的一个基底 7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为　　　　. 8.若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是　　　　. 9.（2024·三门峡月考）已知四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝　　　　. 10.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中，＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示向量； （2）设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示. 11.（2024·舟山质检）正方体ABCD-A'B'C'D'中，O1，O2，O3分别是AC，AB'，AD'的中点，以{，，}为基底时，＝x＋y＋z，则（　　） A.x＝y＝z＝ B.x＝y＝z＝1 C.x＝y＝z＝ D.x＝y＝z＝2 12.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶CA1＝1∶4，则向量可表示为（　　） A.a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b－c D.a＋b－c 13.（2024·宁德月考）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心.若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝　　　. 14.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点. （1）试用向量a，b，c表示，； （2）若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值. 15.（2024·安阳质检）如图，在△OAB中，C是AB的中点，P在线段OC上，且＝2.过点P的直线交线段OA，OB分别于点N，M，且＝m，＝n，其中m，n∈[0，1]，则m＋n的最小值为（　　） A.　　　B. C.1　　　D. 16.在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，点G在线段AE上，且AG＝2GE. （1）试用{，，}表示向量； （2）若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，求·的值. 第1课时　空间向量基本定理 1.A　由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况；空间中任意两个向量都是共面的，故D错. 2.C　∵＝（a－b），∴与a，b共面，∴a，b，不能构成空间的一个基底. 3.A　由题意知，. 4.A　由题意得d＝xa＋yb＋zc＝x（e1＋e2＋e3）＋y（e1＋e2－e3）＋z（e1－e2＋e3）＝（x＋y＋z）e1＋（x＋y－z）e2＋（x－y＋z）e3，∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得故选A. 5.C　＝＋＋＝＋＋（－）＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选C. 6.AC　由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面.所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C. 7.a－b＋c　解析：∵＝－2，∴－＝－2（－），∴b－a＝－2（－c），∴＝a－b＋c. 8.x＝y＝z＝0　解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 9.3a＋3b－5c 解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则＝－＝－＝＋＝（5a＋6b－8c）＋（a－2c）＝3a＋3b－5c. 10.解：（1）＝＋＝－＋＝b－a＋c. （2）＝＋＝－＋ ＝－（＋）＋（＋） ＝－（a＋b＋c＋b）＋（a＋b＋c＋c） ＝（c－b）. 11.B　＝＋＝＋＋＝＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝＋＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，得x＝y＝z＝1. 12.D　因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶CA1＝1∶4，所以＝＋＝－＋＝－＋（－）＝－＋（＋－）＝＋－＝a＋b－c，故选D. 13.－2　解析：如图，由题意可得＝－＝－（＋）＝－－＋＝x＋y＋z，则x＝－，y＝－，z＝1，故x＋y－z＝－2. 14.解：（1）如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c， ＝＋＝＋＝－（＋）＋（＋）＝（a－c）. （2）＝（＋）＝（－＋）＝（－c＋a－b－c）＝a－b－c， 所以x＝，y＝－，z＝－1. 15.C　＝（＋），即2＝（＋），＝＋，又点P，M，N共线，∴＋＝1.又m，n∈[0，1]，∴m＋n＝（m＋n）＝（＋1＋1＋）≥×（2＋2）＝1，当且仅当m＝n＝时取等号，故选C. 16.解：（1）因为＝2，所以－＝2（－），所以3＝2＋. 又2＝＋，所以＝＋＋. （2）由（1）可知，＝＋＋，＝－. 又∠AOC＝∠BOC＝60°，所以·＝·（－）＝－＋＋·－·＝－×22＋×32＋×3×4cos 60°－×2×4cos 60°＝， 即·的值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $