1.2 练习2　空间向量基本定理的应用 课时练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以空间向量基本定理应用为核心，通过基础判断、中档计算到综合证明的三层设计，梯度衔接紧密，有效培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一向量运算与位置关系判断|以正方体/正三棱柱为载体，如第1题线线垂直判断| |中档|多面体中长度/夹角计算|含多选与参数计算，如第8题平行六面体线面平行判断| |提升|综合证明与四点共面问题|结合实际情境证明，如第16题四面体中垂直证明|

1.2 练习2　空间向量基本定理的应用 1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　B　) A. 重合 B. 垂直 C. 平行 D. 无法确定 【解析】 ()，设正方体的棱长为1，于是·＝()·＝00＋0－01－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直. 2. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　C　) A. 2 B. C. D. 【解析】 由于，∴||＝，即EF的长是. 3. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　C　) A. 6 B. 6 C. 12 D. 144 【解析】 ∵，∴2·2·2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，∴PC＝12. 4. 已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于(　C　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【解析】 如图所示，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，∴·＝(a＋b＋c)·b＝1，||＝2，||＝1， ∴cos<>＝，∴异面直线l，m所成的角等于60°. 5. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是(　B　) A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法判断 【解析】 ()，设||＝a，则····a2a2＝0，故⊥，即ON⊥AM. 6. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱的长都相等，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　C　) A. B. C. D. 【解析】 设＝a，＝b，＝c，三棱柱ABC－A1B1C1各条棱的长均为1，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝，b·c＝，a·c＝，∴·＝(a＋c)·(b－a＋c)＝11＝1.又||＝|a＋c|＝，||＝|b－a＋c|＝，∴cos<>＝，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 7. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，＝λ，则λ的值为 (　D　) A. 3 B. 4 C. －3 D. －4 【解析】 由题知λ≠0，则由＝λ得，∴.设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面且两两垂直，故a，b，c可构成空间的一个基底.由题意得 ＝－abc，a＋c，∵PQ⊥AE，∴·＝0，∴a2c2＝0，结合|a|＝|c|，解得λ＝－4. 8. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中，正确的是(　ACD　) A. A1M∥D1P B. A1M∥B1Q C. A1M∥平面DCC1D1 D. A1M∥平面D1PQB1 【解析】 ∵，∴∥，从而A1M∥D1P，可得A，C，D正确.又B1Q与D1P不平行，B错误. 9. (多选)如图所示，在三棱锥D－ABC中，两两夹角均为，且||＝||＝||＝1，若G，M分别为棱AD，BC的中点，则 (　BC　) A. ||＝ B. ||＝ C. 异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D. 异面直线AC与DB所成角的正弦值为 【解析】 不妨设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，且a·b＝，b·c＝a·c＝1.连接AM，则()＝(c－a－b)，∴||＝，A错误，B正确；∵·＝b·(c－a)＝b·c－a·b＝，且||＝，∴cos<>＝，则sin<>＝，∴异面直线AC与DB所成角的正弦值为，C正确，D错误. 10. 如图所示，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是 　.  【解析】 依题意可知CD＝， ··()＝··＝0·＝||·||·cos 45°＝1. 设直线AB与CD所成角为α， 则cos α＝，故α＝. 11. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若λ＝0(λ∈R)，则λ＝　　.  【解析】 如图所示，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上， 易知EF∥A1D，且EF＝A1D，∴，即＝0，∴λ＝. 12. 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝　26　.  【解析】 ∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，∴，∴＝()2＝＝64＋36＋576＝676，∴CD＝26. 13. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.　 (1)求CE与AF所成角的余弦值； 解： . ∵·＝0，·＝0，·＝0，∴·＝()·. 又||＝||＝，∴cos<>＝， ∴CE与AF所成角的余弦值为. (2)证明：BD1⊥EF. 证明： ()，∴·＝0，∴⊥，即BD1⊥EF. 14. (2024·江西宜春高二期中)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，CD的中点，且∠B1BC＝∠B1BA＝，∠CBA＝，AB＝BC＝3，BB1＝2. (1)求线段EF的长度； (2)求直线AD与直线EF夹角的余弦值. 解： (1)设＝a，＝b，＝c，则b＋ac， 则||＝ ＝ ＝， 则线段EF的长度为. (2)·＝c·b·c＋a·cc2＝0＋3，则|cos<>|＝， 故直线AD 与直线EF夹角的余弦值为. 15. (2025·四川成都期中)已知三棱锥P－ABC，如图所示，G为△ABC重心，M，F为PG，PC中点，点D，E分别在PA，PB上，＝m＝n(mn≠0)，若M，D，E，F四点共面，则＝　4　.  【解析】 如图所示： 设BC中点为H，连接AH，AM，∵G为△ABC重心，∴点G在线段AH上面，∵()＝()＝，∴＝2()＝，∴，若M，D，E，F四点共面，则＝1，解得＝4. 16. 如图所示，在四面体A－BCD中，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点，且EG＝FH＝KM，证明：AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC. 证明： 设＝a，＝b，＝c， 连接AG，则()abc＝(－a＋b＋c)， 连接AF，则()＝cab＝(－a－b＋c)，∵EG＝FH，∴||＝||，∴， 则(－a＋b＋c)2＝(－a－b＋c)2，∴a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c， ∴4a·b＝4b·c，则a·b－b·c＝0，即b·(a－c)＝0， 又b＝，a－c＝，∴·＝0，∴⊥，∴AC⊥DB，同理可证AD⊥BC，AB⊥CD，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 练习2　空间向量基本定理的应用 1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是( 　) A. 重合 B. 垂直 C. 平行 D. 无法确定 2. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( 　) A. 2 B. C. D. 3. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( 　) A. 6 B. 6 C. 12 D. 144 4. 已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于( 　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是( 　) A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法判断 6. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱的长都相等，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( 　) A. B. C. D. 7. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，＝λ，则λ的值为 ( 　) A. 3 B. 4 C. －3 D. －4 8. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中，正确的是( 　) A. A1M∥D1P B. A1M∥B1Q C. A1M∥平面DCC1D1 D. A1M∥平面D1PQB1 9. (多选)如图所示，在三棱锥D－ABC中，两两夹角均为，且||＝||＝||＝1，若G，M分别为棱AD，BC的中点，则 ( 　) A. ||＝ B. ||＝ C. 异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D. 异面直线AC与DB所成角的正弦值为 10. 如图所示，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是 .  11. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若λ＝0(λ∈R)，则λ＝ .  12. 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝ .  13. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.　 (1)求CE与AF所成角的余弦值； (2)证明：BD1⊥EF. 14. (2024·江西宜春高二期中)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，CD的中点，且∠B1BC＝∠B1BA＝，∠CBA＝，AB＝BC＝3，BB1＝2. (1)求线段EF的长度； (2)求直线AD与直线EF夹角的余弦值. 15. (2025·四川成都期中)已知三棱锥P－ABC，如图所示，G为△ABC重心，M，F为PG，PC中点，点D，E分别在PA，PB上，＝m＝n(mn≠0)，若M，D，E，F四点共面，则＝ .  16. 如图所示，在四面体A－BCD中，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点，且EG＝FH＝KM，证明：AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC. 学科网（北京）股份有限公司 $