精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟锡林郭勒盟三县联考八年级期末考试2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考八年级数学期末考试卷 （考试分数：100分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式中的x的取值范围是（ ） A. x<－2 B. x≤－2 C. x>2 D. x≥2 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数可得x-2≥0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x-2≥0， 解得：x≥2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 2. 已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，那么下列结论中正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，∴当时，四边形是菱形，故该选项错误； B、∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，∴当时，四边形是菱形，故该选项错误； C、∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，∴对角线互相平分，∴当时，则可得平行四边形是矩形，故该选项正确； D、∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，当时，无法证明四边形是矩形，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的证明方法，熟记概念是关键． 3. 下列图中，表示一次函数与一次函数（其中a、b为常数，且）的大致图像，其中表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是正确待定系数k与b的作用，本题属于基础题型．根据一次函数的图象与系数的关系，由函数图象分析可得a、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象即可解答． 【详解】解：由一次函数图象可知，；由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； B．由一次函数图象可知，；由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； C．由一次函数图象可知，；由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； D．由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，不矛盾，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图正方形的对角线与相交于点，点为边上一动点，连接，作于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质及垂直定义得出，，利用三角形内角和定理得出，利用即可证明，得出平分，利用三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，设、交于点， ∵正方形的对角线与相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质、角平分线的判定、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 5. 在平面直角坐标系中，下列对于直线的描述正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 与y轴的交点是 C. 经过点 D. 图象不经过第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象的性质、一次函数图象与系数的关系等知识点，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象的性质、一次函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则y随的增大而减小，选项A不符合题意； B．∵当时，， ∴直线与轴的交点是，选项B不符合题意． C．∵当时，， ∴直线经过点，选项C符合题意； D．，， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，选项D不符合题意． 故选：B． 6. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 96 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，根据勾股定理求出，得出，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，勾股定理，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键． 7. 如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边的中点，若，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. 7 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，熟练应用矩形的判定以及性质是解题的关键．利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：点、分别为四边形的边、的中点， ，且， 同理求得，且， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形， 四边形的面积，即四边形的面积是3． 故选：． 8. 如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点在边上（不与点重合），延长到点，使得，过点作交于点，垂足为，连接．下列结论正确的选项是（ ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理依次判定选项即可． 【详解】解：∵和是一对全等的等腰直角三角形， ∴，四边形是正方形， ∵，，， ∴，故①正确； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 连接， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，故③错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，选项①②④正确， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 9. 如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（　　） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，证明，得到，，再证明，即可证明四边形是矩形，故①正确；则，再由，可得，故②正确；在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，，故③正确；如图所示，过点E作轴于T，同理可证明，可得；求出直线解析式为，可得，故④正确；则，故⑤错误． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴； 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作轴于T， 同理可证明， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴，故④正确； ∴，故⑤错误； ∴正确的是①②③④， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键． 10. 如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　 A. B. C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小． 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小． ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理：=， 延长交的延长线于点． ∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 某公司招聘英语翻译，听、说、写成绩按计入总成绩．某应聘者的听、说、写成绩分别为80分，90分，95分（单项成绩和总成绩，均为百分制），则他的总成绩为__________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法．运用加权平均数的公式直接计算． 【详解】解：依题意，总成绩为， 故答案为：． 12. 已知一次函数（a、b是常数），x与y的部分对应值如下表：则方程的解是______． x m 0 1 2 y 0 2 n 6 【答案】 【解析】 【分析】先用待定系数法求出一次函数表达式，即可求出m和n的值，再把m和n代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入得： ，解得：， ∴一次函数表达式为， 把代入得：， 解得：； 把代入得：， ∴把，代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数表达式，解一元一次方程，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 13. 如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小________ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，当牙刷一端在底面圆上时，露在筒外的长度最小，根据实际情况构建数学模型是解题的关键． 【详解】解：如图，为底面直径，为高，当牙刷如图放置时露在筒外的长度最小， ，， ， ， 即牙刷露在筒外的长度最小， 故答案为：5． 14. 如图，直角三角形的两条直角边和分别长4厘米和3厘米，现在以斜边为轴旋转一周．则所形成的立体图形的体积是____． 【答案】立方厘米 【解析】 【分析】本题考查求旋转体的体积：先根据勾股定理求出斜边为5厘米，等积法求出斜边上的高，绕斜边旋转一周后所得到的就是两个底面半径为2.4厘米，高的和为5厘米的圆锥体，由此利用圆锥的体积公式求得这两个圆锥的体积之和即可． 【详解】解：过点B作， 由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴， ∴所形成的立体图形的体积（立方厘米）． 故答案为：立方厘米． 15. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③垂直平分；④，其中正确的结论有______(填正确的序号)． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，垂直平分线的判定，勾股定理的应用，解题的关键是恰当的证明角相等及构造勾股定理． 【详解】解：在正方形中 ，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故①正确 ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∴ ∴垂直平分． 故③正确． 由不垂直，可判断出， 故②错误． ∵ ∴ 设正方形的边长为，则 ， ∴， 在中， 即 ∴ ∴（不合题意，舍去） 解得 即， 故④正确． 故答案为：①③④ 16. 如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，取，连接，在上取，连接，过点作，取，连接，证明，得出，证明，得出，说明，得出当最小时，最小，根据当、、三点共线时，最小，且最小值为，求出最小值即可． 【详解】解：延长，取，连接，在上取，连接，过点作，取，连接，如图所示： ，，， ， 又，， 垂直平分， ， ， 又，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当最小时，最小， 当、、三点共线时，最小，且最小值为， 的最小值为： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定，垂直平分线的性质等知识点，作出恰当的辅助线，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. （1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 18. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）过点E作交于点F，延长至点G，使得，连接、． ①依题意补全图形； ②若，求的长． 【答案】（1）证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴； （2）①解：如图： ； ②4 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理； （1）根据正方形的性质可得，，然后利用证明即可得出结论； （2）①根据题中步骤作图即可； ②证明，可得，，求出，利用勾股定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，请解答下列问题： （1）小明步行的速度是_______，爸爸的速度是 ．a的值为 ； （2）当小明与爸爸相距时，求小明出发后的时间． 【答案】（1）90，180，12； （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度以及a的值； （2）根据题意可知：分三种情况，然后分别计算出相应的时间即可． 【小问1详解】 解：由图象可得， 小明的速度为：， 爸爸的速度为：， ， 故答案为：90，180，12； 【小问2详解】 解：当小明与爸爸相距时，设小明出发后的时间为， 爸爸出发前：， 解得； 爸爸出发后与小明相遇之前：， 解得； 小明与爸爸相遇之后：， 解得； 答：当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或． 【点睛】本题考查了函数图象及一元一次方程的应用，读懂函数图象，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键． 20. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是 （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如： 【概念理解】 ①的有理化因式是________． ②分母有理化的结果为________． （1）直接写出研究报告中“________”处空缺的部分分别是①________、②________． （2）利用分母有理化比较与的大小． （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用分母有理化的概念将二次根式进行化简． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）现将与分母有理化，在进行比较即可； （3）利用分母有理化计算即可． 【小问1详解】 解： ； ． 故答案为：； ； 【小问2详解】 解：， ． ， ； 【小问3详解】 解： ． 21. 如图，某天上午海岸瞭望塔接到位于其北偏西方向且相距12海里的渔船的求救信号，于是立即通知处在瞭望塔正西方向B处的北斗救援队前往救援，救援队测得渔船位于的东北方向，求此时救援队与渔船之间的距离．（结果保留根号） 【答案】海里 【解析】 【分析】过点作，得为等腰直角三角形，，在中，可求出海里，从而得海里，在中，由勾股定理可得结论． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意可知：，，海里， ∵， ∴， 在中，，海里， ∴海里， 在中，， ∴， ∴海里 在中，根据勾股定理得， ∴海里 答：救援队与渔船之间的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． （1）求点坐标； （2）如图2，若为正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求的度数； （3）在（2）条件下求直线的函数关系式； （4）如图3，过点作轴的垂线交轴于，为轴负半轴上一点，在的延长线上，以为直角边作等腰，过作轴垂线交于点，连，等式是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4） 成立，理由： 如图所示，在上截取，连． ，， ， 又，， ， ，， 又为等腰直角三角形， ，即， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）作于，因为为等腰直角三角形，，则点坐标可求； （2）作于，于，利用得出，再根据等量变换，即可求出的度数 （3）由（2）可知，则是等腰直角三角形，设，则，设直线的解析式为，待定系数法求解析式即可求解． （4）在上截取，连，易证，再根据角与角之间的关系，利用证明，则有，即可求证等式成立． 【小问1详解】 如图所示，作于， ， ， 为等腰直角三角形，且， ， ， ． 【小问2详解】 如图所示，作于，于， 为等腰直角三角形， ， 即， ， ， 又， ， ，， ,， ， ，即， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【小问3详解】 由（2）可知，则是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段之间的数量关系，熟练掌握等腰直角三角形的性质，灵活选择方法证明三角形全等是解题的关键． 23. （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题，如图1，在中，平分，．求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小强同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变化并提出了下面问题，请你回答： 如图4，在中，，点D在的延长线上，，过点D作交的延长线于点E．求证：． （3）如图5，在中，，垂足为D，，，，平分交于点E，那么的长为 【答案】 （1）证明：①平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至F，使，连接， 则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①证，得，，再证，则，即可得出结论；②证，再证，得，即可得出结论； （2）延长至F，使，连接，证，再证，得，即可得出结论； （3）延长至F，使，连接，过C作于点H，证，得，，设，则，再由勾股定理求出，则，进而证是等腰直角三角形，得，然后由三角形面积求出，则，最后由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长至F，使，连接，过C作于点H，如图， 则， ， ， 设，则，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考八年级数学期末考试卷 （考试分数：100分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式中的x的取值范围是（ ） A. x<－2 B. x≤－2 C. x>2 D. x≥2 2. 已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，那么下列结论中正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是矩形 3. 下列图中，表示一次函数与一次函数（其中a、b为常数，且）的大致图像，其中表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图正方形的对角线与相交于点，点为边上一动点，连接，作于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，下列对于直线的描述正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 与y轴的交点是 C. 经过点 D. 图象不经过第三象限 6. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 96 D. 192 7. 如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边的中点，若，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. 7 C. 6 D. 3 8. 如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点在边上（不与点重合），延长到点，使得，过点作交于点，垂足为，连接．下列结论正确的选项是（ ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ①②④ 9. 如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（　　） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④ 10. 如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　 A. B. C. 14 D. 12 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 某公司招聘英语翻译，听、说、写成绩按计入总成绩．某应聘者的听、说、写成绩分别为80分，90分，95分（单项成绩和总成绩，均为百分制），则他的总成绩为__________分． 12. 已知一次函数（a、b是常数），x与y的部分对应值如下表：则方程的解是______． x m 0 1 2 y 0 2 n 6 13. 如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小________ ． 14. 如图，直角三角形的两条直角边和分别长4厘米和3厘米，现在以斜边为轴旋转一周．则所形成的立体图形的体积是____． 15. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③垂直平分；④，其中正确的结论有______(填正确的序号)． 16. 如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是________． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. （1）计算：． （2）计算：． 18. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）过点E作交于点F，延长至点G，使得，连接、． ①依题意补全图形； ②若，求的长． 19. 已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，请解答下列问题： （1）小明步行的速度是_______，爸爸的速度是 ．a的值为 ； （2）当小明与爸爸相距时，求小明出发后的时间． 20. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是 （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如： 【概念理解】 ①的有理化因式是________． ②分母有理化的结果为________． （1）直接写出研究报告中“________”处空缺的部分分别是①________、②________． （2）利用分母有理化比较与的大小． （3）计算：． 21. 如图，某天上午海岸瞭望塔接到位于其北偏西方向且相距12海里的渔船的求救信号，于是立即通知处在瞭望塔正西方向B处的北斗救援队前往救援，救援队测得渔船位于的东北方向，求此时救援队与渔船之间的距离．（结果保留根号） 22. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． （1）求点坐标； （2）如图2，若为正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求的度数； （3）在（2）条件下求直线的函数关系式； （4）如图3，过点作轴的垂线交轴于，为轴负半轴上一点，在的延长线上，以为直角边作等腰，过作轴垂线交于点，连，等式是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由． 23. （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题，如图1，在中，平分，．求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小强同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变化并提出了下面问题，请你回答： 如图4，在中，，点D在的延长线上，，过点D作交的延长线于点E．求证：． （3）如图5，在中，，垂足为D，，，，平分交于点E，那么的长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $