暑假预习：二次函数与特殊三角形存在性问题、二次函数与特殊四边形存在性问题专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊三角形、四边形存在性问题，通过典例系统训练数形结合与分类讨论，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与特殊三角形|6题（3例3变式）|动点背景下等腰/直角三角形判定，结合坐标列方程|二次函数解析式求解→点坐标表示→几何性质转化为代数关系| |二次函数与特殊四边形|6题（3例3变式）|平行四边形/矩形/菱形存在性，利用对边关系或中点公式|函数图像性质→图形判定条件→方程思想解决存在性问题|

暑假预习：二次函数与特殊三角形存在性问题、二次函数与特殊四边形存在性问题专项训练 暑假预习：二次函数与特殊三角形存在性问题、二次函数与特殊四边形存在性问题 专项训练 考点目录 二次函数与特殊三角形存在性问题 二次函数与特殊四边形存在性问题 考点一 二次函数与特殊三角形存在性问题 例1．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）已知：如图，抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式． (2)连接、，当的面积最大时，求点的坐标． (3)当为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意解得点、，设抛物线的交点式解析式，代入点利用待定系数法解题即可； （2）先解得抛物线与轴的交点，再利用待定系数法求解直线的解析式，设直线上的，抛物线上的点，解得，用配方法解得最值即可解题； （3）分三种情况讨论：① 当点E为顶点时，②当点C为顶点时，③当点D为顶点时，根据等腰三角形的性质解题． 【详解】（1）解：∵， ∴ 设抛物线关系式为，代入 得：， ， ∴抛物线的解析式为； （2）令，解得抛物线与轴的交点， 设直线为，把， 代入得， 解得， ∴， 设 ∴当时，S取得最大值 此时； （3）∵点，，即， ∴， ∵轴， ∴， ① 当点为等腰三角形的顶点时，如解图1， ，则， ∴轴， 又∵， ∴； ② 当点为等腰三角形的顶点时，，如解图2，则，过点作，垂足为， ∴，， ∵， ∴，代入解析式得， （不合题意舍去）； ③当点为等腰三角形的顶点时，，如解图3， 如图，∵， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不合题意舍去）； 综上：或或. 例2．（25-26九年级上·上海崇明·阶段检测）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—特殊三角形问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式可得，再结合抛物线开口向上，与y轴交于B点，即可得解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则，，再由勾股定理分情况计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 例3．（24-25九年级上·云南普洱·期末）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标； (2)点D是抛物线在第一象限上的动点，作轴，交抛物线于另一点E，作点D关于y轴的对称点F，求线段的长； (3)若点D是抛物线的顶点，是否存在实数a，使得是直角三角形？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)当或时，是直角三角形． 【分析】（1）令得到，解方程即可； （2）由，得对称轴为直线，设，则，由点关于轴对称，则，故； （3）先求得和顶点，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：当，则， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：由，得对称轴为直线， 设，则由题意得：， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， ∴； （3）解：当时，，当时，， ∴，顶点， ∵， ∴，，， ①若，则有， ∴， 解得； ②若，则有， ∴，无解； ③若，则有， ∴， 解得； 综上，当或时，是直角三角形． 变式1．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点D的坐标为； (2)m的值为或5或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D的坐标； （2）根据平移的性质得到，则顶点E的坐标为，利用两点之间的距离公式求得，，，分或或三种情况讨论，列出方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点的抛物线，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：由题意将向左平移个单位长度后得到抛物线， ∴， ∴的顶点E的坐标为， 对于，令，则， ∴与y轴交于点C的坐标为， 即，，其中， ∴， ， ， 当时，则， 解得（舍去）或，此时，，符合题意； 当时，则， 此时，，符合题意； 当时， 则，解得，此时，，符合题意； 综上，m的值为或5或． 变式3．（2026·云南昭通·二模）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)在坐标轴上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）将代入，可求，进而可得抛物线的解析式； （2）令，则，可求，，则，当在轴上时，设，则，由是以为底边的等腰三角形，可得，即，计算求解即可；当在轴上时，设，同理求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，，， ∴， 当在轴上时，设，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，即， 解得，， ∴； 当在轴上时，设，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，坐标轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数与特殊的三角形综合．熟练掌握二次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数与特殊的三角形综合是解题的关键． 考点二 二次函数与特殊四边形存在性问题 例1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在．当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了二次函数与平行四边形的存在性问题，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形的性质等知识点． （1）运用待定系数法即可求解； （2）设点，求出直线的函数表达式为，由平行四边形可得，用代数式表示，再由建立一元二次方程求解． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：存在．设点， ， ， 设直线， ∴ 解得： ∴直线的函数表达式为， 轴，如答案图所示， ， ， ∴要使以为顶点的四边形是平行四边形，只需使即可， 当点M在第一、二，三象限时，， 解得：； 当时，； 当时，， ； 当点M在第四象限时，，此时m无实数解． 综上所述，当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 例2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少． (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数； （2）作轴交直线于点，求得直线的解析式，设，则，先表示出，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先求出点坐标和点坐标，则，分两种情况讨论：①若点在轴下方，四边形为平行四边形，则；②若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， ，解得， 抛物线的解析式为， （2）如图，作轴交直线于点， 直线经过两点， ，解得， 直线的解析式为； 设，则， ， ， ， 当时，面积有最大值，最大值是； （3）存在，理由如下： ， 抛物线的顶点的坐标为， 轴， ， ， ①如图，若点在轴下方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ， ， 解得：，舍去， ； ②如图，若点在轴上方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ， ， 解得：或舍去， ， 综上可得点的坐标为或． 例3．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 变式1．（25-26九年级下·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点、以为边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，取最大值，点P的坐标为 (3)存在，点P坐标为或． 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． （1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解； （2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解． （3）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将，，三点代入 可得， 解得：， 故抛物线的解析式为； ∵． ∴抛物线的顶点M的坐标为． （2）解：设直线的解析式为，把点、代入得， 解得：， 得直线的解析式为． 如图，过点E作轴，交于点F， 设点E为，则点F为， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最大值． ∴点E的坐标为． （3）解：∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或． 变式2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为： (2)存在， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题． （1）把B、C点坐标代入二次函数解析式即可解出． （2）若四边形是菱形，和相互垂直，P点纵坐标是，代入二次函数表达式即可解得． 【详解】（1）解：将点B、C的坐标代入中，得： ， 解得：； ∴抛物线：． （2）解：存在．理由如下： 作的垂直平分线交直线下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，      则． ∵沿翻折，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． ∵， ∴点E的坐标为， ∴点P的纵坐标为， 把代入得，解得． ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为． 变式3．（25-26九年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上的一点． (1)求点A的坐标及直线的解析式； (2)如图①，连接，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线于点E，M是线段上一动点（不与B，C两点重合），连接，设点M的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1) (2)（4，-3） (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）令代入求解可得A、B坐标，然后令可得C点的坐标，进而利用待定系数法可求直线解析式； （2）过点P作轴，交于点H，设点，则有，然后可得，进而根据铅垂法可进行求解； （3）由抛物线解析式可得对称轴为直线，则有，根据拓展可知，然后根据平行四边形的性质可得，进而求解即可． 【详解】（1）令时，则， 解得：， 令时，则有， ∴，，， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点H，如图所示： 设，则，所以， ∴， 因为，所以当时，的面积最大，此时点P的坐标为. （3）由题意，，所以，对称轴为直线， 令，则，所以 .所以， 因为四边形为平行四边形，所以，， 由题意知，则，所以， 所以，解得，（不符合题意，舍去）， 所以当时，四边形为平行四边形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：二次函数与特殊三角形存在性问题、二次函数与特殊四边形存在性问题专项训练 暑假预习：二次函数与特殊三角形存在性问题、二次函数与特殊四边形存在性问题 专项训练 考点目录 二次函数与特殊三角形存在性问题 二次函数与特殊四边形存在性问题 考点一 二次函数与特殊三角形存在性问题 例1．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）已知：如图，抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式． (2)连接、，当的面积最大时，求点的坐标． (3)当为何值时，是等腰三角形． 例2．（25-26九年级上·上海崇明·阶段检测）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25九年级上·云南普洱·期末）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标； (2)点D是抛物线在第一象限上的动点，作轴，交抛物线于另一点E，作点D关于y轴的对称点F，求线段的长； (3)若点D是抛物线的顶点，是否存在实数a，使得是直角三角形？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 变式3．（2026·云南昭通·二模）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)在坐标轴上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 二次函数与特殊四边形存在性问题 例1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 例2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少． (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级下·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点、以为边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上的一点． (1)求点A的坐标及直线的解析式； (2)如图①，连接，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线于点E，M是线段上一动点（不与B，C两点重合），连接，设点M的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $