暑假作业10 一次函数与方程（组）、不等式（8题型73题)（巩固培优）八年级数学新教材人教版

**基本信息** 以数形结合为核心，构建“知识-方法-题型”三维训练体系，8大题型73题系统覆盖一次函数与方程（组）、不等式的图像转化及综合应用 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础图像解法|3题型24题|“画-找-判”三步解题法、上下区域判定规则|从函数与方程（组）的解的对应关系切入，建立“数-形”双向转化模型| |综合应用|3题型32题|交点分段分析法、参数动态推理、边界取值思想|以双函数图像关系为进阶，延伸到含参数问题与最值求解，培养几何直观与推理能力| |易错突破|2题型17题|等号取舍口诀、解的书写规范、数形脱节警示|针对概念混淆、方向误判等高频错误，强化模型意识与严谨表达|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：▣已完成 用时： min 自评勋章： 恩图恩恩图 暑假作业10一次函数与方程（组)、不等式8题型73题 知识复盘卡 【知识点1一次函数与一元一次方程的图像解法】 1.核心对应关系 对于一次函数y=kx十b(k≠O),方程kx十b=0 的解，就是一次函数图像与x轴交点的横坐标。 2.本质逻辑 解方程kx十b=0,本质就是寻找“函数值y=0时对应的自变量x的值”。 3.标准解题步骤 画出一次函数图像→找到直线与x轴交点坐标→交点横坐标即为方程的解。 【知识点2一次函数与一元一次不等式的图像解法】 1.核心对应关系 利用一次函数图像，可直接求解kx+b>0、kx+b<0、+b≥0、kx+b≤0 2.四类不等式。 图像判定规则x+b>O:直线在x轴上方部分对应的x取值范围； kx+b<O:直线在x轴下方部分对应的x取值范围； 带等号时，需包含直线与ⅹ轴的交点横坐标。 3.解题核心 不用纯代数移项计算，直接通过图像上下位置快速判断不等式解集。 【知识点3一次函数与二元一次方程组的图像解法】 1.核心定理 两个一次函数y_1k1x+b1、y2=k2x+b2 图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 2.本质逻辑 交点同时在两条直线上，同时满足两个函数解析式，因此横、纵坐标同时满足方程组两个方程。 3图像法解方程组步骤 画出两个一次函数图像→找到交点坐标→坐标即为方程组的解。 【知识点4基础题型高频易错点（必规避）】 解的概念混淆：误将交点横纵坐标整体当成方程解，忘记一元一次方程只有横坐标解； 不等式范围看反：看错直线上下区域，导致解集方向相反（大于取上方、小于取下方记混）； 等号取舍错误：求解带等号不等式时，遗漏交点取值，或无等号时包含交点； 1130 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方程组解书写不规范：忘记写成{■(x=..@y=.)H 数形脱节：只会代数计算，不会通过图像快速判断解集，解题速度慢。 【知识点5双一次函数图像交点综合分析（高频压轴】 1.题型特征 同一坐标系内两条相交直线，结合交点位置，对比两个函数值的大小关系。 2.核心判断规则 以交点横坐标为分界点，左右分段判断函数大小： 交点左侧：上方直线函数值更大；交点右侧：上方直线函数值更大： 交点处：两个函数值相等，对应方程组的解。 3.常考题型 求解y1>y2、y_1<y2、y1≥y2的自变量取值范围。 【知识点6一元一次不等式组的图像解法】 1.解题核心思路 分别画出两个对应一次函数图像，各自求出单不等式解集，取公共重叠区域即为不等式组解集。 2.图像优势 无需复杂代数计算，通过图像区间重叠，快速判断无解、唯一解集、全体实数等情况。 【知识点7含参数不等式与函数图像综合问题（难点）】 1.题型特征 函数解析式含字母参数k、b、m,结合不等式解集、图像位置，反求参数取值范围。 2.解题核心逻辑 数形双向转化：已知图像走势、交点位置、解集范围→反推k的正负、参数大小关系→列不等式求解 参数范围。 3.核心考点 参数变化导致直线平移、旋转，进而导致不等式解集改变，考查动态数形结合思维。 【知识点8数形结合求解取值范围、最值培优题型】 1.线段型取值范围 限定自变量x的区间，结合一次函数增减性，求函数值y的取值范围。 2.一次函数最值问题 一次函数无全局最值，但在有限自变量区间（线段图像）内，存在最大值和最小值，最值出现在区间两个 端点。 3.综合应用 结合实际问题、动点问题、范围限定问题，利用图像直观性快速找最值、定范围。 2/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【知识点9重难点突破：数与形双向转化思维】 1.由“数”判“形”：通过方程、不等式、解析式，预判图像交点、上下位置、增减趋势； 2.由“形”解“数”：通过图像位置、交点、区间，直接写出方程解、不等式解集、函数大小关系； 3. 彻底摆脱纯代数死板计算，实现快速秒杀数形综合题。 【知识点10培优核心解题思想与方法】 数形结合思想（核心）：代数问题几何化，用图像直观替代复杂计算，是本专题万能解题思想； 区间分段思想：双函数图像以交点为分界，左右分段分析函数大小与解集； 逆向推理思想：由图像结果反推参数范围、不等式条件，破解含参数难点； 边界取值思想：最值、取值范围问题，重点关注图像端点、交点边界值。 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点B(4,3)处射出，射到平 面镜上的点A(0,1)处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为() B A.(L,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 2.如图，一次函数另=ar+b(a,b为常数且a≠0)与正比例函数y2=kx(k为常数且k≠0)的图象交于 点P(-4,2),则关于x的方程ax+b=kx的解是() yA y,=kx y=ax+b A.x=-4 B.x=-2 C.x=2 D.x=4 3.如图，己知一次函数y=c+b(k,b为常数，且k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于点(2,0)，(0,3)，有下 列结论： 3/30 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=kx+b 0 2 ①图象经过点(1，-3)： ②关于x的方程kx+b=0的解为x=2; ③关于x的方程kx+b=3的解为x=0; ④当x>2时y<0; 其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型2由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 4.若关于x的方程3x+b=0的解是x=-3,则直线y=3x+b一定经过点() A.（-3,0) B.(3,0) C.(0,-3 D.(0,3) 5.关于函数y=-2x+2,下列结论正确的是（) A.图象必经过-2,1) B.图象经过第一、三、四象限 C.当x<1时，y>0 D.y随x的增大而增大 6.已知直线y=x+2与x轴、y轴分别相交于点A、B,C是y轴上一个动点，D是平面内一点，若以A 、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则这样的点D共有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【题型3利用图像法解一元一次方程】 7.在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+b（m,b为常数，且m≠0)与正比例函数y=x（n为常数， 且n≠0)的图象如图所示，则关于x的方程mx=nx-b的解为() y-mx+b y-nx A.x=3 B.x=-3 C.x=1 D.x=-1 8.己知一次函数y=kx+b(k≠0)，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小： 4/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程kx+b=-1的解是x=0;④该直线与直线)=2x-4平 行.正确的是( 2 0 y -1.5 -1 -0.5 0.5 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 9.己知关于x的方程x=ax+2022有且只有一个正根，则a的取值范围是() A.a≤-1 B.a<-1 C.-1<a<1 D.a≥1 E.a>1 【题型4由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 10.在直角坐标系中，一次函数y=-2x+3图象把平面分成上、下两个部分.已知点C(a,2a-1)在这 个函数图象的下面，则a的取值范围() VA y=-2x+3 3 A.a<1 B.a< C.a<0 D.a<3 11.如图，一次函数y=x+b的图象经过点1,0)，则关于x的不等式k(x+1)+b<0的解集为() A.x>0 B.x>1 C.x<0 D.x<1 12.阅读材料： 在数轴上，x=2表示一个点：在平面直角坐标系中，x=2表示一条直线：以二元一次方程x+y=2的所有 解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=-x+2的图象，它也是一条直线， 如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线x=2及其左侧的部分：如图2，不 等式y≤-x+2也表示一个平面区域，即直线y=-x+2及其下方的部分. 5/30 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=-x+2 -20 x=2 图1 图2 图3 B m O 6 E 图4 图5 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是 (填写不等式)表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为0,4)，且∠AB0=60°，点P为△AB0内部一点（含边界），过 点P分别作PC⊥OA,PD⊥AB,PE⊥BO,垂足分别为C,D,E,若PC≤PE≤PD,则所有点P组成的 平面区域的面积为 【题型5根据两条直线的交点求不等式的解集】 13.如图，函数y=mx和y=c+b的图象相交于点P(1,m),则-b≤kx-b≤mx的解集为() y=kx+b y=mx A.0≤x≤1 B.-1≤x≤0 C.-1≤x≤1 D.m≤x≤m 14.如图所示是西数=+的图象，老+子>女+小，则的照值范国为 6/30 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y 3 2 -3-2-10123 -1 -2 15.直线y=x+4与y=mx相交于点P(2,3),与y轴交于点A,与x轴交于点B. A (1)求k,m的值； (2)根据图象，直接写出不等式kx+4>mx的解集； (3)在x轴上找一点M,使得AM+MP最小，并求点M的坐标. 【题型6两直线的交点与二元一次方程组的解】 16.如图，直线k:y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,且与直线m:y=x+b相交于点M(1,, 己知直线m经过点C(-1,0,且与y轴交于点D. P D C A (I)求点A、M的坐标以及直线m的解析式： y=-2x+4 (2)直接写出方程组 的解 y=x+b 17.如图，己知一次函数y,=x+m与y2=-2x+n的图象交于点P,且点P的横坐标为-1. 7130 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m与的关系式. (2)当-2<x<-1时，都有y2>乃>0，求的取值范围. 18.已知一次函数y=+b的图象经过A(4,-1)和BL,2)两点. y 4 以 3 2 2 -3-2-19123456789x 3-2-0123456789x -2 -2 -3 (①)求这个一次函数的表达式： (2)将该一次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个“字形的新图象。 求新图象与直线y=x的交点坐标： (3)设点C(0,)为y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线1，直线I与(2)中新图象交于点P(x,), Q(x2,y2)，与直线y= x交于点N(,,如果<%<，请结合图象直接写出的取值范围. 【题型7图象法解二元一次方程组】 19.学习一次函数时，我们从“数”和形”两个方面研究一次函数的性质.请运用积累的经验和方法对函数 y=2x+2的图象与性质进行探究，并解决相关问题， 【初步感知】 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y=|2x+2 6 m 2 n 2 4 6 8/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 4 3 6 5 3-2-10 56x (1)表格中m的值为 n的值为 (2)在平面直角坐标系中画出函数y=|2x+2的图象 (3)【探究性质】观察函数y=2x+2的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当x≥-1时，y的值随x值的增大而增大： ③当x=-1时，该函数存在最小值，最小值为0： ④当y=4时，x=1. 其中的正确的是 (请填写正确命题的序号) (4)在同一坐标系中画出一次函数y=x+4的图象，并根据图象直接写出方程组 y=2x+2的解 y=x+4 y=x+5 20.利用一次函数的图象，求二元一次方程组 x+2y=- 。的解 21.【综合与实践】某校七年级数学课外实践活动小组进行了有关二元一次方程的探究活动 【数学探究】我们知道，每一个二元一次方程都有无数个解.有时根据研究的需要，可以列举出二元一次 方程的有限个解.如，二元一次方程x-y=0也可写成y=x的形式，用表格呈现它的部分解（如下表）： -3 -2 -1 0 2 3 -3 -2 -1 0 2 3 我们把y=x的每一个解中的x值看作点的横坐标，y值看作点的纵坐标，这样每一个解就可以看作成一个 点的坐标.即(-3，-3)，-2，-2)，（-1，-1，(0,0，(1,1，（2,2，（3,3. (1)请你在平面直角坐标系（图1）中描出这些点. 9/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 珠 3 -2 -5-4-3-2-1, O12345x 2 图1 【数学发现】 某同学经过反复验证及论证，发现正确结论“这些点在同一条直线上”，即以方程y=x的每一个解看作成 个点的坐标，这些点组成直线y=x.也就是说，方程y=x的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线 y=x上.反过来直线y=x上每一个点的坐标(x,y)都是方程y=x的解.类似的，可以画出直线y=一x+2, x=1 点(1,1在直线y=-x+2上，那么{ y=1 是二元一次方程y=-x+2的解.由此可见，点(1，)既在直线 y=-x+2上，又在直线y=x上，那么直线y=-x+2与y=x的交点坐标是(1,1)，二元一次方程组 y=-x+2 x=1 的解是 (y=x y=1 【数学应用】 (2)已知二元一次方程组 y=m,x+的解是 y=mx+n =8,那么直线广=m,x+月与'=m,x+,的交点坐标是 x=-6 【拓展延伸】 (3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程x+y=1的图象和x+y=-2的图象马，如图所示.请根据图 象，直接判断方程组 x+y=1 的解的情况是 x+y=-2 3 2 5-4-3 10/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②已知点A3,-2,B-1,2)在二元一次方程ar+y=5的图象上，求，b的值. 【题型8求直线围成的图形面积】 2.如图，在直角坐标系中，直线：y+1与x轴交于点4，与直线：y=子x +m交于8小，直 线L分别与x轴、y轴交于C、D,连接AD. B (1)求出m、n的值： ②直接根据图象写出关于x的不等式-圣+m>行x+1的解集： 1 (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E,若ADE的面积为6，求平移后的直线表达式 23.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=2x-6交x轴于点C,交y轴于点D,点A,B的坐标分别 为1,0)，(0,2)，直线AB与直线CD相交于点P; D (I)求直线AB的表达式： (2)求点P的坐标； (3)若直线CD上存在一点E,使得BDE的面积是△AP0的面积的4倍，求出点E的坐标。 (4)当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=2x-6的值，直接写出m的 取值范围， 24.阅读以下材料：在平面直角坐标系中，x=2表示一条直线，以二元一次方程x-y-2=0的所有解为 坐标的点组废的图形就是一次函数y一行-2的图象，它他是一条直线。不仪如此，在平面直角坐标系中， 不等式≤2表示一个平面区域，即直线x=2以及它左侧的部分，如图1：不等式y之？x-2也表示一个平面 区域，即直线y=。x-2以及它上方的部分，如图2.而yx既不表示一条直线，也不表示一个区域，它 3 表示一条折线，如图3. 11/30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -2 。一。一。。 图1 图2 图3 6 YA - 图4 图5 备用图 根据以上材料，回答下列问题： (1)请直接写出图4表示的是的平面区域； (2)如果x,y满足：①y≥-3，②x-y≥0，③2x+y-5≤0.在图5中用阴影表示出点(x,y)所在的平面区 域，并求出阴影部分的面积S: (3)在平面直角坐标系中，若函数y=2x-1与y=x+m(m>-1)的图象围成一个封闭平面区域，请直接用含 m的式子表示该平面区域的面积S,. ★能力培优练 1.如图，直线y=mx和y=c+4相交于点A2,6),则不等式0≤mx≤x+4的解集为() A.x≤0 B.x22 C.0≤x≤2 D.x≤0或x≥2 2.如图，函数y=2x和y=x+5的图象交于点Am,3),则不等式2x<ax+5的解集是() 12/30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 A.x 2 B.x<3 C.x>3 D.x>3 2 3.若点P(m,n在直线y=-x+4上，且{ =n是二元一次方程2x-y=1的解，则点P的位置在（) x=m A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.己知平面内有两条直线l:y=x+2,12:y=-2x+4交于点A,与x轴分别交于B、C,P(m,2m-1落在 ABC内部（不含边界），则m的取值范围是() A.-2<m<2 B. 5 -<m<兰 2 4 C.0<m<2 3 D.-2<m<2 5.如图，直线y=+2与直线y=mx相交于点A3,1),与x轴交于点B,则关于x的不等式组 0<kx+2<mx的解集是（) A y=r+2 Ay=mx A.x<6 B.x>3 C.3<x<6 D.x<6或x>3 6.关于一次函数y=41,下列能法正碗的是() A.y的值随x值的增大而增大 B.该函数的图象经过第一、二、三象限 C.该函数的图象与x轴的交点是 D,函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 7.已知一次函数y=ax+b(a,b是常数)的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2,0)，则关于 x的不等式ax+b>0的解集为() A.x<-2 B.x<2 C.x>2 D.x>-2 8.己知一次函数y=c+b的图象经过A(3,3),B(m,n)两点，若点B在第一象限内，则下列判断正确的是 13/30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 () A.若一次函数y=c+b的图象经过第一、三、四象限，则k>3 B.当m>n时，一次函数的图象与y轴一定交于负半轴 C.若m=2n=2,则当kx+b<0时，x的取值范围是x<3 D.当m+n=3时，k>0 9.已知点A(m,y)在直线：y=kx+k上，点B(m-1,y2)在直线马：y=-kx-k上.下列结论正确的是（) A.若k>0时，0<，<，则m>2 1 B.若k>0时，0<y2<y,则m<0 C.若k<0时，为<<0，则-1<m<-) D.若<0时，⅓<%<0，则<m<0 10.一次函数y,=x+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①a+k<0;②关于x的方程kx-a=x-b的 解是x=3;③当x<3时，乃<y2;④当k=-1时，b-a=6.其中正确的是() '2=x+a 3 y=kx+b A.①③ B.①②④ C.②③ D.①④ 1 11.己知直线：y=x+b与直线Z:y=-二x+m都经过点E(-1,3),直线交x轴于点A,交y轴于点 B0,4),直线交y轴于点C,交x轴于点D,直线4∥直线（且经过原点，且与直线马交于点F,，点P为 x轴上任意一点，连接PC,PF,对于以下结论，正确的个数有() y=kx+b x=-1 ①方程组 1,的解为 y=- x+m 少=3②S0FD三25：③S4E=21；④当PF+PC的值最小时，点卫 2 的坐标为(1,0) 14/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D衣 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.如图、将直线y=4红+3向右平移？个单位后得到直线4，直找4与直线么：y=+3交于点4，直线4 ,Z分别交x轴于点B,C,则△ABC的面积为() V=-x+3 C =4x+3, A. 2 B.5 D.7 13.如图，函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),则根据图象可得不等式3x+b>ax-3的解集 是 /y=3x+b O y=ax-3 P 14.如图，若一次函数y=c+b与y=mx相交于点(-2,3)，则关于x的方程kx-mx+b=0的解是 15/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.如图，直线y=x+1与直线y=mx-n相交于点M1,b),则关于x,y的方程组 x-y=-1 的解为 mx-y=n y=mx-n y=x+1 b M 16.已知一次函数y=x-2和y=5x+4,当x≥-1时，对于x的每一个值，函数y=mx+1m≠0)的值大于 函数y=x-2的值且小于y=5x+4的值，则m的取值范围是 17.已知一次函数y,=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，有下列结论：①a<0;②b>0;③关于x的方 程kx+b=x+a的解为x=3;④当x≤3时，y2≥y1,其中正确的结论有 个 y2=x+a y1=kx+b 8.一次函数片=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列结论：①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而 减小，②函数y=ar+d的图象不经过第一象限；③a-c=d,b, :④d<a+b+c,其中正确的有 y2=cx+d 3 y=ax+b 19.已知：如图，一次函数少=-x-3与y2=x-4的图象相交于点A. (1)求点A的坐标； (2)若一次函数=-x-3与乃=x-4的图象与x轴分别相交于点B、C,求ABC的面积： (3)结合图象，直接写出，≤2时，x的取值范围. 16/30 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20.我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关 系这一课题.在研究过程中，他们将函数y=一x++2确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质 等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系.请你根据以下探究过程，回答问题 (1)作出函数y=-x+1+2的图象. ①列表： 2 -1 0 2 0 m 2 0 其中，表格中m的值为-： ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象 y 6 5 4 2 -4-3-2-10 3456x 2 4 6 (2)观察函数y=-x+1+2的图象，探索函数性质： ①当x=_时，函数y=-x++2有最大值，最大值为_： ②写出该函数的其它性质（写一条即可）一 (国已知函数y=的图象如图所示，结合(2)申所百函数图象，直接写出不等式-k+小+2之的解矣。 21.定义：我们把一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=-x的交点称为一次函数y=kx+b(k≠0)的“亮 点”.例如求y=-2x-1的“亮点”，联立方程组： ,解%则=2x1脑充点%-训 17/30 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)由定义可知，一次函数y=-3x-2的“亮点”为 (2)一次函数y=px+9的“亮点”为(2,9-3)，求P,9的值， (3)若直线y=kx+3(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,且直线y=x+3上没有“亮点”，点P在x轴上， 使S△ABP= Sg·求满足条件的点P的坐标. 22.如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A,一次函数y=x+b的图象经过点B(0,-1),与x轴以及 y=x+1的图象分别交于点C,D,且点D的坐标为1，). y=kx+b DY=x+1 B (1)则k= ,b= (2)关于x的不等式kx+b<x+1≤0的解集是 (3)将直线CD绕点D逆时针旋转45°后与x轴交于点P,求点P的坐标. 23.在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究. 【发现】在数轴上，x=1表示一个点，x≥1则表示x=1这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系 中，x=1表示一条直线，x≥1则表示直线x=1及其右侧所有点组成的平面区域. V V= y=2x-3 2+3 (2,4) (2,1) V=-x+6 图1 图2 图3 【探究】 18/30 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)直线y=2x-3如图1所示，它表示为以方程y=2x-3的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点(2,1 x=2 [x=2 在直线y=2x-3上， y=1 是方程y=2x-3的一个解；点(2,4)在直线y=2x-3上方， y=4是不等式 y≥2x-3的一个解，从而发现结论：不等式y≥2x-3可以表示为直线y=2x-3及其 (填“上方”或“下 方”)的所有点组成的平面区域；不等式y≤2x-3可以表示为直线y=2x-3及其 (填“上方”或“下方”) 的所有点组成的平面区域。 【应用】 (2)图2阴影部分（含边界）是 (填写不等式组)表示的平面区域： y≥2x-2 (3)已知不等式组y≤-x+3, x≥0 ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G,并求出该阴影部分的面积. ②请直接写出y=-5x+b与区域G有交点时b的取值范围 24.如图，点M(0,a-3),N(b,0,且满足5-a+(b-a+8)=0. M P 图1 图2 备用图 (1)求M、N的坐标； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半 轴运动，直线NP,MQ交于点D,设点P,Q运动的时间为t秒； ①如图1，当1<t<2时，设D(m,n),求m与的比值； ②如图2，当∠QMN+∠PNM=180°时，在线段MQ上任取一点E,连接EO.点G为∠OEQ的角平分线上 一点，连接G,且满足∠GP=号∠ONG.请将图2补全，直接写出∠N0E、∠0EG、∠GE之同的数量 关系 25.如图，在平行四边形ABCD中，AB=23,∠B=60°，AB⊥AC,P为AC上一动点（不与点A,C重 合)，连接PD,用x表示线段AP的长度，点P到直线BC的距离为y,ABC的面积为S,△APD的面积 为S,为=6的 S 19/30 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7 6 十 5 +- 4 3 2 1234567六 (1)请直接写出片，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (②)在给定的平面直角坐标系中画出函数y,的图象，分别写出y,的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出y<y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· ★创新拓展练 1.如图，在平面直角坐标系中，若直线y=-x+a与直线y2=bx-4相交于点P,则下列结论正确的是() A.方程-x+a=br-4的解是x=-3 B.不等式-x+a>-3和不等式bx-4>-3的解集相同 C.不等式组bx-4<-x+a<0的解集是-2<x<1 y+x=a D.方程组的解是 (y-r=4解为 x=1, y=-3 2.数形结合是非常重要的数学思想方法，请你利用数形结合思考并判断下面问题：如图，在平面直角坐标 系中，若直线y=-x+a(a为常数)与直线y,=bx-4(b为常数且b≠0)相交于点P,则下列结论错误 的是( V2 A.方程-x+a=bx-4的解是x=1 B.不等式-x+a<-3与不等式bx-4>-3的解集相同 20/30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.不等式组bx-4<-x+a<0的解集是-2<x<4 y+x=a x=1 D.方程组 [y-bx=-4 的解是 y=-3 3.如图，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a,b,m,n均为常数，且a<m<0)的图象相交于点A-3,2),直 线y=ax+b与y轴相交于点B(0,-2),直线y=mx+n与x轴相交于点C(2,0),有如下结论： x=-3 ①方程组 ax+b=y的解为 mx+n=y y=2 ②不等式ax+b≥mx+n的解集为x≤-3， ③当x=0时，ax+b=-2; ④关于x的方程mx+n=0的解为x=2. 其中正确的结论的个数是() y=ax+b y=mx+n A 2 -3-2 1 -2 A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点(-2,0)，下列叙述正确的是() 220 A.直线y=c+b经过第四象限 B.k>0,b<0 C.关于x的不等式的x+b<0的解集为x<-2 D.若点A-1,y)和B(1,2是直线y=kc+b上的两点，则y>y2 1 5.已知直线y=-不片=3x+小为=2x-1的图象如图所示，无论x取何值，y总取小为中的最大值， 则y的最小值是() 21/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 A. 2 c D 3 6.己已知直线y=-x,y2=- 2+2,= x+3的图象如图所示.若无论x取何值，y总取y,,中 的最大值，则y的最小值是() A.0 B.4 e号 D号 7.对于每个x,函数y是y,=4x-2、y2=-3x+12这两个函数中的最小值，则函数y的最大值是() A.6 B.8 C.10 D.12 8.甲、乙是由两组一模一样的三个圆柱组合而成的容器，现匀速地向两容器注水至满，在注水过程中，甲、 乙两容器水面高度随时间t的变化规律如图所示，则实线对应的容器的形状和A点的坐标分别是() h 910 A甲，》 D.乙，(3 , 9.直线4：片=kx+b与直线l2:y2=k,x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究： ①k,<0;②b+c<0;③当x>1时，>y2;④若k=1,c=-1,则SAc=8,其中正确结论的个数共有 22/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 () B/ A X A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知直线4：y=+b与直线：y=+m都经过E 412 55 直线1交x轴于点A,交y轴于点B(0,4) ,直线交y轴于点C,交x轴于点D.直线l,∥直线I且经过原点，且与直线交于点F.点P为x轴上 任意一点，连接PC、PF.对于以下结论，错误的是() 3 E \c E A D 4 y=kx+b x=- A.方程组 的解为 5 1 B.SAOFD =3 y= 2+m 12 J= C.△AED为直角三角形 D.当PF+PC的值最小时，点P的坐标为 11.直线y,=kx+b与y2=mx+m的图象交于点A-2,3),下列判断①关于x的方程-kx+b=-mx+m的解是 x=2②当b>3时，关于x的不等式kx+b>mx+m的解集是x>-2③设直线y3=y,+2,则直线%一定经过 定点(-2,6)④当原点到直线y的距离最大时，则b=4.正确的是() A.①②③ B.①②④ C.②③ D.①④ 12.在平面直角坐标系xoy中，函数y=-2x+3和y=ax+b的图象如图所示. 23/30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y y=ax+b y三 -2x+3 (1)关于x的方程ax+b=0的解为_，关于x的不等式ax+b<0的解集为； y+2x=3 (2)关于x,y的二元一次方程组 的解是 y=ax+b (3)不等式ax+b<-2x+3的解集为 13.一次函数y=a十b(k、b为常数，且k≠0)中的x与y的部分对应值如下表： 2 0 下列结论中一定正确的是 ①方程x+b=0(k≠0)的解为x=2; ②若n>0,则k·b>0; ③若关于x的一元一次不等式k-x+b>0的解袋为x<号，则n=2 ④当直线y=a十b与y=x的函数图象只有一个公共点时，k的所有取值范围为kK一1或心1 14.如图，函数y=x+b(k,b为常数，k≠0)的图象经过点B(2,0),与函数y=2x的图象交于点A,下 列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式kx+b<0的解集为x>2;③关于x的方程x+b=2x的解 为x=2;④关于x的不等式组0<kx+b<2x的解集为1<x<2.其中正确的是 (只填写序号). y=kx+b 15.已知直线：y=(k-2)x+b过点(-2,4·则以下结论：①b=2k;②若当x>-2时，y<4,则k>2;③ y=(k-2)x+b x=-2 方程组 2x+y=0 的解为 少=4：④若直线1向右平移2个单位后过点(2，m侧)(m<0,且不等式 .2 (k-2(x-2)+b>-m的解集为x<行，则k=-1,其中正确的有一·（请填写序号) 16.己知一次函数y=m-1x-3m+5图象上两点A(x,)和B(x2,》2,下列结论： 24/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①图象过定点(3,2)；②一次函数y=(m-1)x-3m+5图象与函数y=4x-1的图象平行，则m=5;③若 5 (~-)<0,则m<1:④函数图象与y轴的交点在正半轴，则m<亏，正确的是 (填写正 确结论的序号)· 17.一次函数y1=x+b(k≠0，k、b是常数)与2=+3(m≠0，m是常数)的图象交于点D(-1,4), 则下列结论： ①关于x的方程kx+b=mx+3的解为x=-1; ②直线y2=mx+3(m≠0)图象上任意不同两点Ax,y)和Bx,6)满足(x。-x(y。-y%)<0; ③若b>3,且b≠4，则当x>-1时，”1>》2. 其中正确的结论有 (填写所有正确结论的序号)· 18.在平面直角坐标系xOy中，直线ky=x+n(m,n为常数，且1≠0)上的两点的横坐标和纵坐标的对 应值如下表： 2-a 下列结论：①方程mx+n=a的解为x=-1;②若a>0,则mn>0.③若对于任意x,总有0.6x+1>mx+n, 则n=0.7,④过点0作0P11,垂足为P,则oP的最大值为V5 其中正确的结论有」 （填写 所有正确结论的序号) 19.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴 翻折至其上方后，所得的折线是函数y=2x+b(b为常数)的图象.若函数y=2x+b(b为常数)与直 线y=2有交点A、B,现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ①AOB的面积总为2： ②若函数y=2x+b(b为常数)图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0<x<3,则b的取值范围为 -4≤b≤-2； ③若6=-4，则2x>2x+b的解集为<x<3: ④当b=-3,若正比例函数y=kxk≠0)与y=2x+b(b为常数)的图象只有一个公共点，则k≥2. 20.[问题提出]：如何解不等式x-1+x-3>x+2? 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决 系列问题 图①中给出了函数y=x+1和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到： 当x>-2时，函数y=2x+3的图象在y=x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1的解集为一 25/30 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 预备知识2：函数y=x= x(x之0，称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的 -x(x<0) 化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号. 比如：化简x-1+x-3时，可令x-1=0和x-3=0,分别求得x=1,x=3(称1,3分别是x-1和 x-3引的零点值)，这样可以就x<1,1≤x<3,x≥3三种情况进行讨论： ()当x<1时，x-1+x-3=-(x-1)-(x-3) (2)当1≤x<3时，x-1+x-3=(x-1)-(x-3)=2; 4-2x(x<1) (3)当x≥3时，x-1+x-3引=(x-1+(x-3)=2x-4,所以x-1+x-3到就可以化简为 21≤x<3) 2x-4(x≥3) 预备知识3：函数y=b(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示， [知识迁移] 如图④， 直线y=x+1与直线y=ax+b相交于点A(m,3,则关于x的不等式.x+I≤ax+b的解集是_ [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式x-1+x-3>x+2.在平面直角坐标系内作出函数 y=x-1+x-3的图象，如图⑤.在同一直角坐标系内再作出直线.y=x+2的图象，如图⑥，可以发现 函数y=x-1+x-3与y=x+2的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是-，- 通过观察图象，便可得到不等式x-1+x-3>x+2的解集，这个不等式的解集为_， y=2x+3 6 5 =x+1 3 v=b -5-43-2 1, 0123456x -5432-10123456x 2 3 -4 -5 图① 图② 图③ 个y y=4-2xAy /y=2x-4 y=4-2xy /v=2x-4 y=x+1 J=x+2 A(,3) 2 y=ax+b 图④ 图⑤ 图⑥ 26/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 21.[问题提出]：如何解不等式x-1+x-3>x+2? 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象， 可以解决一系列问题。 图①中给出了函数y=x+1和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：当x>-2时，函数y=2x+3的图 象在y=x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1的解集为 预备知识2：函数y=x x(x≥0 -x(x<0) ,称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的 化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号， 比如化简x-1+x-3时，可令x-1=0和x-3=0,分别求得x=1,x=3(称1,3分别是x-1和x-3 的零点值)，这样可以就x<1,1≤x<3,x≥3三种情况进行讨论： (1)当x<1时，x-1+x-3=-(x-1-(x-3)=4-2x (2)当1≤x<3时，x-1+x-3=(x-1)-(x-3)=2: (3)当x≥3时，x-1+x-3=(x-1+(x-3)=2x-4, 4-2x(x<1) 所以x-1+x-3到就可以化简为 21≤x<3) 2x-4(x≥3) 预备知识3：函数y=b(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示 [知识迁移] 如图④，直线y=x+1与直线y=ax+b相交于点Am,3),则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是 [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式x-1+x-3>x+2. (1)请在平面直角坐标系内作出函数y=x-1+x-3的图象； (2)通过观察图象，便可得到不等式x-1+x-3>x+2的解集，这个不等式的解集为 1=2r13 ,3) :2 阁① 图③ ④ 22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程. 以下是我们研究函数y=6x性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题， x2+1 (1)填空：b=,C=一； 并在图中补全该函数图象； 27/30 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -6x 15 24 12 12 24 15 y= b 3 0 -3 x2+1 13 17 5 5 17 13 3 (2)根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的写“对”，错误的写“错”； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴.一 ②该函数有最大值和最小值.当x=1时，函数取得最小值-3；当x=-1时，函数取得最大值3._： ③当x<-1或x>1时，y随x的增大而增大；当-1<x<1时，y随x的增大而减小，一 《3)已知函数y三·2x-1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式6之>2x1的☐ 解集（保留1位小数）. 23.【课本再现】课本P109页有这样一个探究性问题：一次函数的一般形式是y=x+b(k,b为常数， k≠0)，结合本章的学习经验畅想一下：后续学习中还可能研究哪些形式的函数？ 【初步感知】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质.请你运用学习一次函数积 累的经验和方法，列表、描点、连线，对函数y=-2x-1+3的图象与性质进行探究，并解决相关问题： -1 0 1 2 3 -1 3 1 (1)补全表格中横线部分的数据，并在图1所给的坐标系中画出函数y=-2x-1+3的图象； 【深入探究】 (2)观察函数y=-2x-1+3的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当x≥1时，y的值随x的值增大而减小： 28/30 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 ②当x=二时，y=0; 2 ③当x=1时，该函数取得最大值，最大值为3； ④该函数图象是轴对称图形， 其中正确的是. (请写出所有正确命题的序号) y本 6 6 5 5 4 3 3 3 65432-191.2.3.4.5.6x 65.43.291.2.3.45.6 -2 42 +4 4 5 *5 6 (3)当-3≤x<2时，求y的取值范围： 【拓展应用】 y=-2x-1+3 (4)①若关于x,y的方程组 无解，则a的取值范围是？ y =a y=-2x-1+3x≤2 ②若 与y=a有3个交点，请你根据以上探究过程所得经验，直接写出a的取值范围. y=2x-3-3(x>2) -1 0 2 -1 1 3 1 -1 5 x=-1x=0x=1 2 24. 【材料阅读】二元一次方程x-y=1有无数组解，如： y=-2 y=0 如果我们将方程 y=- 的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x一y=1 的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解.我们把 这条直线称为该方程的图象. yA yA 1.5 00.5 图1 图2 图3 29/30 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题探究】 4x+y=4 (1)请在图1中画出二元一次方程组 x-y=1 中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解 为 (2)己知关于x,y的二元一次方程组 :-2y=42无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程0 4x+y=4① 图象与x,y轴的交点分别是A、B,方程②图象与xy轴的交点分别是C、D,计算∠AB0+∠DC0的度数， 并直接写出k的值. 【拓展应用】 4x+y=4 (3)图3中包含关于x,y的二元一次方程组 m-2m+y=-1的两个二元一次方程的图象，请直接写出该 方程组的解及m的值. 30/30 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业10 一次函数与方程（组）、不等式8题型73题 【知识点1 一次函数与一元一次方程的图像解法】 1.核心对应关系 对于一次函数，方程 的解，就是一次函数图像与x轴交点的横坐标。 2.本质逻辑 解方程，本质就是寻找“函数值 时对应的自变量 的值”。 3.标准解题步骤 画出一次函数图像→找到直线与轴交点坐标→交点横坐标即为方程的解。 【知识点2 一次函数与一元一次不等式的图像解法】 1.核心对应关系 利用一次函数图像，可直接求解kx+b>0、kx+b<0、kx+b≥0、kx+b≤0 2.四类不等式。 图像判定规则kx+b>0：直线在x轴上方部分对应的x取值范围； kx+b<0：直线在x轴下方部分对应的x取值范围； 带等号时，需包含直线与x轴的交点横坐标。 3.解题核心 不用纯代数移项计算，直接通过图像上下位置快速判断不等式解集。 【知识点3 一次函数与二元一次方程组的图像解法】 1.核心定理 两个一次函数y_1=k_1 x+b_1、y_2=k_2 x+b_2 图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 2.本质逻辑 交点同时在两条直线上，同时满足两个函数解析式，因此横、纵坐标同时满足方程组两个方程。 3.图像法解方程组步骤 画出两个一次函数图像→找到交点坐标→坐标即为方程组的解。 【知识点4 基础题型高频易错点（必规避）】 解的概念混淆：误将交点横纵坐标整体当成方程解，忘记一元一次方程只有横坐标解； 不等式范围看反：看错直线上下区域，导致解集方向相反（大于取上方、小于取下方记混）； 等号取舍错误：求解带等号不等式时，遗漏交点取值，或无等号时包含交点； 方程组解书写不规范：忘记写成{■(x=...@y=...)┤ 数形脱节：只会代数计算，不会通过图像快速判断解集，解题速度慢。 【知识点5 双一次函数图像交点综合分析（高频压轴】 1.题型特征 同一坐标系内两条相交直线，结合交点位置，对比两个函数值的大小关系。 2.核心判断规则 以交点横坐标为分界点，左右分段判断函数大小： 交点左侧：上方直线函数值更大；交点右侧：上方直线函数值更大； 交点处：两个函数值相等，对应方程组的解。 3.常考题型 求解y_1>y_2、y_1<y_2、y_1≥y_2的自变量取值范围。 【知识点6 一元一次不等式组的图像解法】 1.解题核心思路 分别画出两个对应一次函数图像，各自求出单不等式解集，取公共重叠区域即为不等式组解集。 2.图像优势 无需复杂代数计算，通过图像区间重叠，快速判断无解、唯一解集、全体实数等情况。 【知识点7 含参数不等式与函数图像综合问题（难点）】 1.题型特征 函数解析式含字母参数k、b、m，结合不等式解集、图像位置，反求参数取值范围。 2.解题核心逻辑 数形双向转化：已知图像走势、交点位置、解集范围 → 反推k的正负、参数大小关系 → 列不等式求解参数范围。 3.核心考点 参数变化导致直线平移、旋转，进而导致不等式解集改变，考查动态数形结合思维。 【知识点8 数形结合求解取值范围、最值培优题型】 1.线段型取值范围 限定自变量的区间，结合一次函数增减性，求函数值的取值范围。 2.一次函数最值问题 一次函数无全局最值，但在有限自变量区间（线段图像）内，存在最大值和最小值，最值出现在区间两个端点。 3.综合应用 结合实际问题、动点问题、范围限定问题，利用图像直观性快速找最值、定范围。 【知识点9 重难点突破：数与形双向转化思维】 1. 由“数”判“形”：通过方程、不等式、解析式，预判图像交点、上下位置、增减趋势； 2. 由“形”解“数”：通过图像位置、交点、区间，直接写出方程解、不等式解集、函数大小关系； 3. 彻底摆脱纯代数死板计算，实现快速秒杀数形综合题。 【知识点10 培优核心解题思想与方法】 数形结合思想（核心）：代数问题几何化，用图像直观替代复杂计算，是本专题万能解题思想； 区间分段思想：双函数图像以交点为分界，左右分段分析函数大小与解集； 逆向推理思想：由图像结果反推参数范围、不等式条件，破解含参数难点； 边界取值思想：最值、取值范围问题，重点关注图像端点、交点边界值。 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在延长线上取点，使得点与点关于直线对称，求出点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点C的坐标． 【详解】解：根据题意得，直线与直线关于直线对称， 在延长线上取点，使得点与点关于直线对称， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴点C的坐标为． 2．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 3．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】观察图象知，当时，函数值为正，由此可判断①；当时，由此可判断④；根据函数图象与坐标轴的交点可判断②和③． 【详解】解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 【点睛】数形结合是解题的关键． 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 4．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 5．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解： A．当时， ，图象不经过，错误． D．函数中，，y随x的增大而减小，错误． B．，，图象经过第一、二、四象限，错误． C．令，得，∵y随x的增大而减小，∴当时，，正确． 6．已知直线与轴、轴分别相交于点、，是轴上一个动点，是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则这样的点共有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】先由直线的解析式求出点、的坐标，然后利用菱形的性质分类讨论即可． 【详解】解：把代入，得， ∴点的坐标是． 把代入，得：，解得， ∴点的坐标为， ∴． ∵四边形是菱形， ∴对角线互相平分，且邻边相等． 设， ①当是菱形的对角线，且， ∴，解得， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为； ②当是菱形的对角线，且， ∴，解得， ∵， ∴，解得， ∴点的坐标为或； ③当是菱形的对角线，且， ∴，解得， ∵， ∴，解得（正值舍去，与B重合）， ∴， ∴点的坐标为． 综上所述，这样的点共有4个，分别为，，，． 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 7．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 8．已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法，一次函数的性质和图象，根据给定数据求出一次函数解析式，再逐一判断各结论是否正确． 【详解】∵ 当 时，；当 时，， ∴ ， 解得：， ∴ 函数解析式为， 对于结论①：∵ ，∴ y随x的增大而增大，故①错误， 对于结论②：∵ ，∴ 图象经过第一、三、四象限，故②正确， 对于结论③：方程 ，解得：，故③正确， 对于结论④：直线 与直线，k值相等，故平行，故④正确． ∴ 正确的是②③④， 故选：C． 9．已知关于x的方程有且只有一个正根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义，将方程转化为函数图象解题是关键．关于的方程有且只有一个正根可以看作函数与有且只有一个交点，再结合函数图象解题即可． 【详解】解：解：关于的方程的解可以看作函数与的交点， 观察图象可知， 若，则直线与函数图象的左分支平行， 若，直线与图象有且只在右分支有一个交点，则方程有且只有一个正根； 若，则直线与图象有两个交点，则方程有两个解； 若，则直线与图象有两个交点，则方程有两个解； 若，则直线与图象在左分支必有交点，则方程有负根； 综上所述，当时，关于x的方程有且只有一个正根， 故选：A． 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 10．在直角坐标系中，一次函数图象把平面分成上、下两个部分．已知点（，−）在这个函数图象的下面，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与一次函数图象的位置关系，若点在图象下方，则点的纵坐标小于对应横坐标的函数值，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数图象的下面， ∴点的纵坐标小于当时的函数值， ∴， 解得：． 11．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数图象的平移规律可知一次函数 的图象与轴的交点坐标为，进而根据图象解答即可求解． 【详解】解：一次函数的图象向左平移个单位长度得到一次函数 的图象， ∵一次函数的图象经过点， ∴一次函数 的图象与轴的交点坐标为， 由函数图象可知，当时，一次函数 的图象位于轴的下方， ∴关于的不等式的解集为． 12．阅读材料： 在数轴上，表示一个点：在平面直角坐标系中，表示一条直线：以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分：如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是______（填写不等式）表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为，且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出经过，的直线为，可得图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，即得阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点， 满足条件的在内（包括边界），再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：设经过，的直线为， ， 解得， 经过，的直线为， 观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）解：设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得， 直线解析式为， 观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）解：如图，作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点， 则可得， 题中需要， 满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分， 在中，， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得（负数舍去）， ． ， ，， 设，则， ， ， 解得， ． 即所有点P组成的平面区域的面积为． 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 13．如图，函数和的图象相交于点，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定和的交点，作出的大体图象，然后根据图象判断． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 14．如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】令，解得，令，解得，在同一坐标系中作出，结合图形即可得解． 【详解】解：由图象可得， 令，解得， 令，解得， 在同一坐标系中作出如图所示， 由图可知，若，则的取值范围为． 15．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值； （2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答； （3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； （2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； （3）解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 【题型6 两直线的交点与二元一 次方程组的解】 16．如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线：相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)直接写出方程组的解． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）令可得坐标，把点代入直线可得点，然后利用待定系数法得出函数解析式即可； （2）根据题意及图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由直线得，当时， 解得， ， 将点代入直线中得，即， ， 把代入直线得，解得， 直线的解析式为； （2）解：由已知可知方程组的解为直线与直线：交点M的横纵坐标、纵坐标， 故方程组的解为． 17．如图，已知一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为． (1)求与的关系式． (2)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入两个函数建立等量关系即可求解； （2）求出一次函数与轴的交点坐标，结合图像写出的解，再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：时，，， ，即； （2）解：，解得， 即一次函数与轴相交于， 结合图像的解为， ，解得， ，解得． 18．已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将该一次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个“V”字形的新图象．求新图象与直线的交点坐标； (3)设点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，直线与（2）中新图象交于点，，与直线交于点，如果，请结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，即可得到一次函数的表达式； （2）首先求出翻折后点右边的图象的表达式为，然后分两种情况，分别和直线联立求解； （3）根据题意画出图象，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵ ∴当时， 解得 ∴与x轴的交点坐标为 点关于x轴对称的点的坐标为 设翻折后点右边的图象的表达式为 将，代入得， 解得 ∴ 如图， ∴当时，联立和得， 解得； 当时，联立和得， 解得； ∴新图象与的交点坐标为和； （3）解：如图，由（2）可得新图象与的交点坐标为和， ∵，， ∴由图象可得，当直线l和线段有交点时， ∴． 【题型7 图象法解二元一次方程组】 19．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 【答案】(1)m的值为4，n的值为0 (2)作图见解析 (3)①②③ (4)作图见解析；， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：作图如图： （3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； （4）解：作图如图： 当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： 和 ． 20．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 【答案】 【分析】在同一个平面直角坐标系中，由描点法作出直线和直线，找出两条直线的交点坐标就得到二元一次方程组的解． 【详解】解：对于，当时，，则；当时，，则； 对于，当时，，则；当时，，则； 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： 两条直线交点，则原方程组的解为． 21．【综合与实践】某校七年级数学课外实践活动小组进行了有关二元一次方程的探究活动． 【数学探究】我们知道，每一个二元一次方程都有无数个解．有时根据研究的需要，可以列举出二元一次方程的有限个解．如，二元一次方程也可写成的形式，用表格呈现它的部分解（如下表）： … … … … 我们把的每一个解中的值看作点的横坐标，值看作点的纵坐标，这样每一个解就可以看作成一个点的坐标．即，，，，，，． (1)请你在平面直角坐标系（图）中描出这些点． 【数学发现】 某同学经过反复验证及论证，发现正确结论“这些点在同一条直线上”，即以方程的每一个解看作成一个点的坐标，这些点组成直线．也就是说，方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解．类似的，可以画出直线，点在直线上，那么是二元一次方程的解．由此可见，点既在直线上，又在直线上，那么直线与的交点坐标是，二元一次方程组的解是． 【数学应用】 (2)已知二元一次方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 【拓展延伸】 (3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是________． ②已知点，在二元一次方程的图象上，求的值． 【答案】(1)描点见解析 (2) (3)①无解；②， 【分析】（）在平面直角坐标系中描点即可； （）根据二元一次方程组的解即为两直线交点的横纵坐标求解即可； （）①根据图象解答即可； ②把点的坐标代入方程，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：描点如图所示： （2）解：∵二元一次方程组的解是， 那么直线与的交点坐标是； （3）解：①由图象可知，图象和图象平行， ∴方程组无解； ②把和代入方程， 得， 解得， 即，． 【题型8 求直线围成的图形面积】 22．如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)求出m、n的值； (2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）根据函数图象即可直接得出答案； （3）设点E坐标为，先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后求出，判断出点在第二象限，根据列出方程求解即可得到点的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵直线：经过 ， ∴， 解得， ， 将代入直线，得：， 解得， ，； （2）解：根据图象可以看出，关于x的不等式的解集为； （3）解：由（1）得直线的解析式为， 设点E坐标为， 令，解得， ∴， 令 ，解得， ∴， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积为6，且 ， ∴点E在第二象限， ∴ ∴ ． ∴， 则 ， ∴点E坐标为， 设直线平移后的解析式为，则 ， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点； (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法，解方程组解答即可； （2）联立两条直线解析式构成方程组，解方程组得解即为交点坐标； （3）连接，得，计算，确定，设，得到，解答即可． （4）当时，，把代入得，，当与平行时，二线没有，交点，此时，根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限（或）相交，此时函数小于的值，不符合题意；故；当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值，故答案为． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． （2）解：根据题意，联立得方程组， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：连接，如图所示．   ， 故， ∵点的坐标为． ∴， 直线的表达式为，令，则． ∴直线与轴交于点， ∴， 设， ∵的面积是面积的4倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． （4）解：当时，， 把代入得，，即， 当与平行时，二线没有交点，此时，此时的值恒大于的值，满足条件； 根据直线不平行，则相交，当时，两直线在第一象限（或第四象限）相交，此时不符合题意； 故； 当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 如图， 综上：． 24．阅读以下材料：在平面直角坐标系中，表示一条直线，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线．不仅如此，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分，如图1；不等式也表示一个平面区域，即直线以及它上方的部分，如图2．而既不表示一条直线，也不表示一个区域，它表示一条折线，如图3． 根据以上材料，回答下列问题： (1)请直接写出图4表示的是 的平面区域； (2)如果，满足：①，②，③．在图5中用阴影表示出点所在的平面区域，并求出阴影部分的面积； (3)在平面直角坐标系中，若函数与的图象围成一个封闭平面区域，请直接用含的式子表示该平面区域的面积． 【答案】(1)直线以及它下方的部分 (2)图见解析， (3) 【分析】（1）求出图4中直线的解析式，即可求解； （2）根据题意得：表示直线以及它上方的部分，表示直线以及它下方的部分，表示直线以及它下方的部分，再求出三个交点坐标，即可求解； （3）根据题意可得与围成的封闭图形为一个三角形，画出图象，即可求解． 【详解】（1）解：设图4中直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴该直线的解析式为， ∴图4表示的是直线以及它下方的部分的平面区域； （2）解：根据题意得：表示直线以及它上方的部分，表示直线以及它下方的部分，表示直线以及它下方的部分， 如下图所示，阴影表示点所在的平面区域． 联立得：， 即直线与直线的交点为； 联立得：， 即直线与直线的交点为； 联立得：， 即直线与直线的交点为； ∴． （3）解：对于， 当时，，当时，， 因为， 所以与围成的封闭图形为一个三角形， 画出图象，如下图： 设直线与函数的图象交于点E，F，与x轴交于点D，过点D作轴交于点G，则点， ∴点， ∴， 当时，联立得：， ∴点， 当时，联立得：， ∴点， ∴． 1.如图，直线和相交于点，则不等式的解集为（     ）   A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用图象法解不等式组即可． 【详解】解：由图象可知，过原点， ∴不等式的解集为． 2．如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出m的值，再根据函数图象作答即可． 【详解】解：将代入得， 解得：， 根据函数图象可知，不等式的解集是． 3．若点在直线上，且是二元一次方程的解，则点P的位置在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据题意得到关于的方程组，解方程组得到点的坐标，再根据象限坐标的符号特点判断即可． 【详解】解：∵ 点在直线上，且是方程的解， ∴联立方程组得 解得 ∴点的坐标为 ∵，， ∴点在第一象限． 4．已知平面内有两条直线，交于点A，与x轴分别交于B、C，落在内部（不含边界），则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】点P落在内部（不含边界），需满足P纵坐标在x轴上方，且同时在两条直线、下方，列不等式组即可求解． 【详解】解：∵点落在内部（不含边界），的边在x轴上， ∴P点纵坐标大于0，且P的纵坐标小于与在处的函数值，列不等式组得： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：，即， 解不等式③得：， ∴不等式组的解集为． 5．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先把代入求出k的值，再求出点B的坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴由图象可知，关于的不等式组的解集是． 6．关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．的值随值的增大而增大 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．该函数的图象与轴的交点是 D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，以及三角形面积计算，逐一判断选项即可． 【详解】解：一次函数中，， 随的增大而减小，且函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故A、B选项错误； 令，得， 解得， 函数图象与轴的交点是， 故C选项正确； 令，得，即函数图象与轴交点为， 函数图象与坐标轴围成的三角形面积为， 故D选项错误． 7．已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断a的符号，再结合与x轴的交点，确定时x的取值范围即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，函数值随的增大而减小， ∵一次函数图象与轴交于点， ∴当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 8．已知一次函数的图象经过，两点．若点B在第一象限内，则下列判断正确的是（   ） A．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则 B．当时，一次函数的图象与y轴一定交于负半轴 C．若，则当时，x的取值范围是 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质、一次函数与不等式的关系，核心素养表现为推理能力和运算能力． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴，即， ∴一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得，故选项A错误； 将代入得，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵的值可能是正的，也可能是负的， ∴b可能是正的，也可能是负的，故一次函数的图象与y轴不一定交于负半轴，故选项B错误； ∵， ∴， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，与x轴交于点， 故当时，x的取值范围是，故选项C错误； 将A，B两点代入得，， ∴． ∵， ∴． ∵点在第一象限内， ∴， ∴， ∴，故选项D正确． 9．已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（    ） A．若时，，则 B．若时，，则 C．若时，，则 D．若时，，则 【答案】C 【分析】先根据点在直线上求出和的化简表达式，再分和两种情况，根据给出的不等关系解不等式组，得到的取值范围，进而判断正确选项． 【详解】解：∵点在直线上，点在直线上 ∴， 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向不变 ∴化简得，即 选项A，B均不完整，因此A，B错误． 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向改变 ∴化简得： 解得： ∴，符合选项C，因此C正确，D错误． 10．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是，故②正确； 当时，，故③错误； 当时，函数， 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ， ，故④正确； 综上可知，正确的是：①②④． 11．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①方程组的解为的解为；②求出三条直线的解析式，得到， 得到，根据三角形的面积公式得到；③直接根据坐标点求出面积；④作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小，得出直线的解析式为， 当时，，得到，符合题意． 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 12．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 13．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】根据两直线交点横坐标，找出直线在上方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：已知两直线交于点，结合图象可知，在交点右侧（即时），直线位于直线的上方，因此不等式的解集为 ． 14．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由方程，移项得， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴当时，成立， ∴关于��的方程的解是． 15．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 【答案】 【分析】把点的坐标代入直线的解析式，求出点的坐标，因为直线与直线相交于点，所以方程组的解为． 【详解】解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， 点的坐标为， 关于，的方程组的解为． 16．已知一次函数和，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于的值，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意画出函数图象，分别求出当直线过点时、点时，m的值，即可得解． 【详解】解：如图， 对于，当时，， 当直线过点时，， 解得：， 对于，当时，， 当直线过点时，， 解得：， ∴m的取值范围是． 17．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 【答案】3 【分析】利用一次函数的图像与性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ，． 故②正确． ∵一次函数与轴的交点在轴的下方， ． 故①正确． ∵当时，， ∴关于的方程的解为． 故③正确． ∵当时， 一次函数在一次函数的上方， ∴当时，． 故④错误． 综上所述，其中正确的结论有3个． 8．一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ∴函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限；故②正确； ③由图象可知：两直线交点横坐标为，则，整理得；故③正确； ④由可得，， ∵， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 19．已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）分别求出点和点的坐标，再求出的面积； （3）利用图象判断时，的取值范围． 【详解】（1）解：联立一次函数与，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，在点以及点的右侧，的图象不高于的图象， ∴当时，的取值范围为． 20．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． 列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为 ； 描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； 连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质： 当 时，函数有最大值，最大值为 ； 写出该函数的其它性质（写一条即可） ； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)①1； ②③描点作图如图： (2)①，2；②函数图象关于直线对称（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①把代入函数表达式即可求解； ②③，先描点，再连线即可； （2）①根据函数图象即可求解；②可以从对称性、增减性等方面分析； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：①由表可知，当时，，代入解析式， 可得， ②略 ③略 （2）解：①由图知，当时，函数有最大值，最大值为2； ②由图知，函数图象关于直线对称（答案不唯一）； （3）解：由图象可得，不等式的解集是 21．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程组：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为　 　 ． (2)一次函数的“亮点”为，求，的值． (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“亮点”，点在轴上，使，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由“亮点”直接求解即可； （2）由“亮点”定义得到是方程组的解，从而得到关于，的方程组求解即可； （3）由题意先求出直线的表达式，作出图形，再由及三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：联立方程组：，解得， 则的“亮点”为； （2）解：一次函数的“亮点”为， 是方程组的解， 则，解得； （3）解：当时，；当时，； 直线与轴交点，与轴交点， 直线上没有“亮点”， 一次函数与正比例函数没有交点， 即一次函数图象与正比例函数图象平行， ，即直线的表达式为， 直线与轴交点，与轴交点， 设，如图所示： ，， ， ，即， 则或， 解得或， 满足条件的点的坐标为或． 22．如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)则________，________； (2)关于x的不等式的解集是________； (3)将直线绕点D逆时针旋转后与x轴交于点P，求点P的坐标． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】（1）先把代入直线，求出n的值，确定点D坐标；再把B、D两点坐标代入一次函数，利用待定系数法直接求出k、b． （2）把连不等式拆成两部分，先由两直线交点判断的范围，再解求出取值范围；最后取两个范围的公共部分，就是不等式解集． （3）先求出直线与x轴交点C；过点作垂线构造等腰直角三角形，用一线三直角证三角形全等，求出辅助点坐标；再用待定系数法求旋转后直线解析式，令，求出与x轴交点P坐标． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴，即． ∵一次函数经过点和， ∴将代入，得； 将代入，得，解得． ∴，． （2）解：∵， ∴函数图像上的点在函数图像上的点的上方， ∵两函数的交点为， ∴结合图像可得：． ∵， ∴函数图像上的点在轴及下方， ∵直线与轴的交点为， ∴结合函数图像可得：． ∴关于的不等式的解集为． （3）解：∵直线的解析式为， 令，得， 解得， 即点的坐标为． 将直线绕点D逆时针旋转后与x轴交于点P，得直线， 过点作轴于点， ． 过点作，交直线于点， ，， 是等腰直角三角形， ． 过点作轴于点， ， ， 又， ． 在和中： ． ，． ， ． 点的横坐标：，纵坐标：， 即． 设直线的解析式为， 把，代入得： 解得． 直线解析式为． 令，则， 解得． 点的坐标为． 23．在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 (1)直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 (2)图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； (3)已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 【答案】(1)上方，下方 (2) (3)①；② 【分析】（1）理解题意并结合图象即可解答； （2）根据图象即可得阴影部分在直线的上方，直线的下方，即可得对应的不等式组； （3）①在平面直角坐标系中，画出和的图象，再求出两直线的交点，结合图象，根据三角形的面积公式即可求解； ②由图可知，当过点时，b取最小值；当过点时，b取最大值；分别求出对应的b值，即可得b的取值范围． 【详解】（1）解：不等式可以表示为直线及其上方的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其下方的所有点组成的平面区域； 故答案为：上方，下方； （2）解：由图象可知，阴影部分在直线的上方，直线的下方， ∴图2阴影部分（含边界）是（填写不等式组）表示的平面区域； （3）解：①不等式组， 在平面直角坐标系中，画出和的图象，如图， 由图得，即为不等式组的解集所在的区域G， 区域G的面积， 解，得， ∴， ∴区域G的面积； ②由图可知，当过点时，b取最小值，； 当过点时，b取最大值， 将代入得，， 解得． ∴与区域G有交点时b的取值范围为． 24．如图，点，且满足 ． (1)求的坐标； (2)点以每秒个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒； ①如图，当时，设，求与的比值； ②如图，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图补全，直接写出之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①与的比值为；②补全图形见解析；或 【分析】（1）由算术平方根、平方的非负性列方程求值即可得到答案； （2）①先由点的运动得到、，进而由待定系数法求出直线和，联立方程组求出即可得到与的比值； ②根据题意，分两种情况：当在上方时；当在下方时；作出图形，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 则； （2）解：①由题意可知、， 由（1）知，则、， 设直线， 将、代入表达式得， 解得， 则直线； 设直线， 将、代入表达式得， 解得， 则直线； 联立，解得， 即，则； ②分以下两种情况讨论： 当在上方时，补全图形如下： 由点为的角平分线上一点，可设， 再设，则由得， ， ， 过作，则， ， ， 过作， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，补全图形如下： ∵ ， ， 过作，过作， ， ， ， ， 又， ， ， ； 综上所述，之间的数量关系为或． 25．如图，在平行四边形中，，，，为上一动点（不与点，重合），连接．用表示线段的长度，点到直线的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)图见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 (3)时的取值范围为： 【分析】（1）作于点H，过点P作于点E，交于点F，先求出，，然后利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长，进而表示出点到直线的距离为，的面积为，的面积为，然后求出即可； （2）用两点法画出函数图象，再根据图象分别写出，的一条性质即可； （3）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：如图，作于点H，过点P作于点E，交于点F， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵的面积为， ∴． （2）解：对于，当时，；当时，； 对于，当时，；当时，； 如图， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 （3）解：解，得， 由图象可知，时的取值范围为：． 1．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线与直线相交于点即可判断选项A；由图象可得的解集为，由图象可得的解集为，即可判断选项B；求出的解集是，当时，，即可判断选项C；由图象可得方程组的解为，即可判断选项D． 【详解】解：A．由图象可得直线与直线相交于点， ∴方程的解是， 故选项错误，不符合题意； B．由图象可得的解集为， 由图象可得的解集为， ∴不等式和不等式的解集不相同， 故选项错误，不符合题意； C．将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 由图象可知，的解集是， 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴当时，， ∴不等式组的解集是， 故选项正确，符合题意； D．∵直线与直线相交于点P， ∴方程组的解为， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．数形结合是非常重要的数学思想方法，请你利用数形结合思考并判断下面问题：如图，在平面直角坐标系中，若直线（为常数）与直线（为常数且）相交于点，则下列结论错误的是（　　） A．方程的解是 B．不等式与不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【详解】A． 方程的解是，说法正确，不符合题意； B．不等式与不等式的解集相同，说法正确，不符合题意； C．不等式组的解集是，原说法错误，符合题意； D．方程组的解是，说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．如图，一次函数与（均为常数，且）的图象相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，有如下结论： ①方程组的解为； ②不等式的解集为， ③当时，； ④关于的方程的解为． 其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握以上性质是解题的关键．由两个一次函数图象的交点坐标可判断①，由两个一次函数图象可判断②，由一次函数与轴的交点坐标可判断③，由一次函数与轴的交点坐标可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由图象可得方程组的解为， 即方程组的解为， 故①符合题意； 由图象可得不等式的解集为， 故②符合题意； 由图可知，一次函数的图象与轴的交点在，可知当时，， 故③符合题意； 由函数图象可知，一次函数与轴交于， 方程的解为，故④符合题意； 综上：符合题意的有①②③④，共4个． 故选：D． 4．如图，直线与轴交于点， 下列叙述正确的是（    ） A．直线经过第四象限 B． C．关于x的不等式的 的解集为 D．若点和是直线上的两点， 则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求不等式的解集．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．由函数图象即可判断A；由直线的图象可知，即可判断B；由当时，直线的图象在x轴下方，可判断C；由一次函数的性质可判断D． 【详解】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故A选项错误，不符合题意； ∵直线图象与y轴的交点位于x轴上方， ∴，故B错误，不符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴当时，直线的图象在x轴下方， ∴关于x的不等式 的解集为，故C正确，符合题意； ∵直线经过第第一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：C． 5．已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入解析式求得． 故选：D． 6．已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标的值，联立两直线求出交点坐标，即可得答案． 【详解】解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， ∴的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和解析式得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 7．对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据图像可知，这个最大值在两函数的交点处取得． 【详解】解：分别画出函数、的图像如下：    则函数y的图像如图中粗线所示， 由图可知，交点处取得y的最大值， 联立方程组得：， 解得：， ∴当时，函数有最大值． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 8．甲、乙是由两组一模一样的三个圆柱组合而成的容器，现匀速地向两容器注水至满，在注水过程中，甲、乙两容器水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则实线对应的容器的形状和A点的坐标分别是（    ） A．甲，（，3） B．甲，（， ） C．乙，（，3） D．乙，（，） 【答案】B 【分析】首先分别求得各圆柱体的高度，可得出点B、C、D、E的坐标，再分别求得直线BE、CD的解析式，即可求得点A的坐标． 【详解】解：由甲、乙组合容器及图象可知：甲容器刚开始注水的高度比乙容器里的水的高度高 故实线对应的容器的形状是甲 由图象可知：注满小圆柱体的时间为10-9=1，注满中型圆柱体的时间为3，注满大圆柱体的时间为9-3=6，小圆柱体的高度为6-4=2，中型圆柱体的高度为2，大圆柱体的高度为4-2=2 如图： B(3,2)，C(6,2)，D(7,4)，E(9,4) 设BE所在直线的解析式为h=at+b 把B、E的坐标分别代入解析式，得 解得 故BE所在直线的解析式为 设CD所在直线的解析式为h=mt+n 把C、D的坐标分别代入解析式，得 解得 故CD所在直线的解析式为 解得 故点A的坐标为 故选：B 【点睛】本题考查了函数图象，求一次函数的解析式，两直线的交点坐标，从函数图象中获取相关信息是解决本题的关键． 9．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究：①；②；③当时，；④若，，则，其中正确结论的个数共有（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合题意，对选项逐个判断即可． 【详解】解：由图像可得经过二、三、四象限， ∴，，①正确 由图象可得：经过一、三、四象限， ∴， ∴，②正确； 由图象可得，当时，，③正确； 由题意可得，和经过点 则， 又∵， 解得， 则：， 将代入，，解得， 即，， ，④错误 正确的个数为3 故选：C 【点睛】此题考查了一次函数的几何应用，图象与系数的关系，一次函数交点问题等，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 10．已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接、．对于以下结论，错误的是（    ） A．方程组的解为 B． C．为直角三角形 D．当的值最小时，点的坐标为 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称-最短路径问题，勾股定理及逆定理，正确地求得函数解析式是解题的关键．、根据题意得到方程组的解为，故不符合题意；、把，代入解方程组得到直线，求得直线的解析式为，把，代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；、解方程得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到为直角三角形；不符合题意；、作点故轴的对称点连接交轴于此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，得到，不符合题意，据此解答即可． 【详解】解：、直线与直线都经过， 方程组的解为，故此选项正确，不符合题意； 、直线交轴于点，交轴于点，直线经过， ，解得，， 直线， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线， 解得， ， 在中，令，则，解得， ， ，故此选项错误，符合题意； 、在中，令，则， ， ， ，， ， ， ， 为直角三角形，故此选项正确，不符合题意； 、直线交轴于点， ， 如图，过点作轴的对称点连接交轴于，此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故此选项正确，不符合题意； 故选：． 11．直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据两条直线交点与对应方程组的关系可判断①；把点代入两个函数关系式，可求出，结合可求出的范围，进而可判断②③；当时，原点到直线的距离最大，结合勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵直线与的图象交于点， 当时，， ∴当时，， ∴关于的方程的解是，故①正确； ∵直线与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴过一、二、三象限，随的增大而增大， 由直线与的图象交于点，作图如下： 由图可知，不等式的解集是，故②正确； ∵与的图象交于点， ∴当时，， ∴直线一定经过定点，故③正确； 如图，当时，原点到直线的距离最大 ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得；故④错误； 综上，正确的结论是①②③； 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一次函数与不等式，一次函数的图象和性质，坐标与图形，属于常考题型，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示． （1）关于的方程的解为______，关于的不等式的解集为______； （2）关于，的二元一次方程组的解是_______ （3）不等式的解集为_______ 【答案】 ， ； ； ． 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可知一次函数与轴的交点为，由此进行分析即可； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为，由此进行分析即可； （3）由（2）知函数和的图象的交点为，由此进行分析即可得出不等式的解集． 【详解】解：（1）由图象可知：一次函数与轴的交点为， 当时，， 即关于的方程的解为， 当时，， 即关于的不等式的解集为， 故答案为：，； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为， 当时，代入，得，解得， 关于，的二元一次方程组的解是； 故答案为：； （3）由（2）知函数和的图象的交点为， 不等式的解集为． 故答案为：． 13．一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x －1 2 y n 0 下列结论中一定正确的是______． ①方程的解为x＝2； ②若n>0，则； ③若关于x的一元一次不等式的解集为，则n＝2 ④当直线y＝kx＋b与的函数图象只有一个公共点时，k的所有取值范围为k<－1或k>1 【答案】①③ 【分析】根据表格数据即可判断①；利用一次函数的性质即可判断②；由题意可知线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（，），利用待定系数法求得直线y=kx+b的解析式，代入（-1，n）求得n的值即可判断③；利用数形结合即可判断④． 【详解】解：如图，    根据表格数据可知当x=2时，y=0， ∴方程kx+b=0（k≠0）的解为x=2，故①正确； 若n>0，则函数y随x的增大而减小， ∴k<0，b>0， ∴k•b<0，故②错误； ∵关于x的一元一次不等式（k-1）x+b>0的解集为x<， ∴直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（，）， ∵直线y=kx+b过点（2，0），（，）， ∴，解得， ∴一次函数为y=-x+， 代入（-1，n）得，n=-+=2，故③正确； ∵直线y=kx+b过点（2，0）， ∴当直线y=kx+b与y=|x|的函数图象只有一个公共点时，k的所有取值范围为k≤-1或k>1，故④错误， 故答案为：①③ 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质，能够应用数形结合思想是解题的关键． 14．如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是_______（只填写序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系，对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知，点的纵坐标为2， 则， 解得， 所以点的横坐标为1．故①错误． 因为点坐标为， 所以当时，函数的图象在轴下方，即， 则不等式的解集为．故②正确． 因为函数和函数交点的横坐标为1， 所以方程的解为．故③错误． 由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， 当时，函数的图象在轴上方，即， 所以关于的不等式组的解集为． 故④正确． 故答案为：②④． 15．已知直线过点﹒则以下结论：①；②若当时，，则；③方程组的解为；④若直线向右平移2个单位后过点，且不等式的解集为，则，其中正确的有___．（请填写序号） 【答案】①④ 【分析】根据一次函数图象上的点的特征即可判断①，根据一次函数的增减性即可判断②，根据一次函数经过点，且满足即可判断③，由平移的性质可得平移后的直线的解析式，由平移后的直线过点可得与的关系，从而可将不等式化为，根据解集为，即可得到的值． 【详解】解：直线过点， ， ，故①正确，符合题意； 当时，， 随着的增大而减小， ， ，故②错误； 当时，方程组有无数个解，故③不正确； 将直线向右平移2个单位后解析式为：， 直线向右平移2个单位后过点， ， ， 不等式可变为：， 整理得：， 不等式的解集为， ，且， 解得：，故④正确； 综上所述，正确的为：①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一函数图象的平移、根据一元一次不等式的解求参数，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 16．已知一次函数图象上两点和，下列结论： ①图象过定点；②一次函数图象与函数的图象平行，则；③若，则；④函数图象与轴的交点在正半轴，则，正确的是________（填写正确结论的序号）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据相关知识逐一判断即可，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①把代入得， ∴图象过定点， 故①符合题意； ②∵一次函数图象与函数的图象平行， ∴，即，故②符合题意； ③由可知一次函数中，随的增大而减小， 即 ，故③符合题意； ④∵函数图象与轴的交点在正半轴， ∴当时，， ∴且，故④不符合题意； 故答案为：． 17．一次函数 （，k、b是常数）与（，m是常数）的图象交于点，则下列结论： ①关于x的方程的解为； ②直线图象上任意不同两点和满足； ③若，且，则当时，． 其中正确的结论有 ________ （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，绝对值的性质等知识．根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①；利用待定系数法求出两个函数的解析式即可判断后面两个． 【详解】解：∵一次函数 （，k、b是常数）与（，m是常数）的图象交于点， ∴联立的解为， 即方程的解为，故①正确； 将代入，得：， 解得：， ∴． 由题意可得：y的值随x的增大而减小， ∴当时，；当时，， ∴无论何时与都为异号， ∴，故②正确； 将代入，得：， ∴． ∵，且， ∴，且， ∴，且， ∴当时，画出图象如图所示． 当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方， ∴当时，， 当时，画出图象如图所示． 当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方， ∴当时，，故③正确． 故答案为：①②③． 18．在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表： 2 下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了一次函数与方程的关系、求一次函数解析式、一次函数与不等式的关系、两点间距离公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由表格结合直线的表达式即可判断①；先用a表示出m、n，然后判断的正负即可；③根据一次函数解析式判断③即可；先求得直线L过定点，然后根据两点之间垂线段最短以及两点间距离求解即可判定④． 【详解】解：由表格以及函数解析式可得：当时，，所以方程的解为，故①正确； 由题意可得：，解得：， ∵， ∴，不一定大于零， ∴不一定成立，即②错误； 若对于任意，总有，即的图象始终在的图象上方， ∴这两条直线平行， ∴， ∴，解得：， ∴，即③正确； ∵， ∴两式相加可得：， ∴，， ∴， 令，解得：， ∴直线l过定点， 根据垂线段最短，的最大值为原点O到定点的距离，即 ， ∴的最大值为． 19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象．若函数|（为常数）与直线有交点、，现给出以下结论，其中正确结论的序号是_____________． ①的面积总为2； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线平行问题，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．求得、的坐标，即可得出，利用三角形面积公式求得△的面积即可判断①；根据满足，即可求出的取值范围，可以判断②；求得直线与函数的交点为，，，根据图象即可判断③；求得直线与直线平行，与直线平行时的的值，根据图象即可求得正比例函数与为常数）的图象只有一个公共点时的的取值，可以判断④． 【详解】解：①把代入为常数）得，， 解得或， ，，，， ， ，故①正确； ②当时，，； 当时，即， 的取值范围为．故②正确； ③由，解得， 由，解得， 直线与函数的交点为，，， 则的解集为，故③正确； ④时，直线与直线平行，时，直线与直线平行， 正比例函数与为常数）的图象只有一个公共点，则或．故④错误． 故答案为：①②③． 20．[问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]，；或 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出] 观察图象即可得出答案； [知识迁移] 由点在上，可求出m的值，观察图象即可； [问题解决] 由，求出与的两个交点坐标，画出图象即可解决问题． 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， 故答案为：； [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， 故答案为：； [问题解决]，如图， 设， 根据题意得： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为： ，； 故答案为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或， 故答案为：或． 21．[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]（1）见解析；（2）或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：根据函数图象可得答案； [知识迁移]：先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（1）把函数化为，再画图即可； （2）在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （1）根据题意得： ， 画图如下： （2）再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）填空：b＝　 　，c＝　 　；并在图中补全该函数图象； x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … … b 3 0 ﹣3 c … （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的写“对”，错误的写“错”； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．　 　； ②该函数有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最小值﹣3；当x＝﹣1时，函数取得最大值3．　 　； ③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而增大；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而减小．　 　； （3）已知函数y＝﹣2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞﹣2x﹣1的解集（保留1位小数）． 【答案】（1），，图见解析；（2）①错；②对；③对；（3）x＜﹣1.8或﹣0.2＜x＜1 【分析】（1）将x＝﹣3，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象； （2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断； （3）根据图象求得即可． 【详解】解：（1）当x＝﹣3时，y＝＝；当x＝3时，y＝＝﹣， ∴b＝，c＝﹣， 故答案为，﹣； 画出函数的图象如图： ； （2）根据函数图象： ①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点，原说法错误； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3，说法正确； ③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而增大；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而减小，说法正确． 故答案为：①错；②对；③对； （3）由图象可知，函数与函数y＝﹣2x﹣1的交点横坐标大约为：-1.8，-0.2，1， 结合图象，不等式＞﹣2x﹣1的解集为x＜﹣1.8或﹣0.2＜x＜1． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 23．【课本再现】课本页有这样一个探究性问题：一次函数的一般形式是（为常数，）．结合本章的学习经验畅想一下：后续学习中还可能研究哪些形式的函数？ 【初步感知】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请你运用学习一次函数积累的经验和方法，列表、描点、连线，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题： … 0 1 2 3 … … _____ 3 1 _____ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图1所给的坐标系中画出函数的图象； 【深入探究】 （2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，的值随的值增大而减小； ②当时，； ③当时，该函数取得最大值，最大值为3； ④该函数图象是轴对称图形． 其中正确的是．___________（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【拓展应用】 （4）①若关于的方程组无解，则的取值范围是？ ②若与有3个交点，请你根据以上探究过程所得经验，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，；补全表格和画函数图象见详解；（2）①②③④；（3）； （4）①；②或 【分析】（1）首先将和代入函数表达式中，求出对应的y的值补全表格即可，再进行描点连线画出函数图象即可； （2）结合图象逐一判断四个说法的正误即可； （3）首先判断当时存在函数最大值，进而再求得和时对应的y的值比较最小值即可得出的取值范围； （4）①将关于的方程组转化为函数与直线的图象没有交点，结合函数图象即可得到答案； ②首先根据画出函数图象，结合图象判断与有3个交点时的取值范围即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， ∴如图，补全表格和画函数图象即为所作， … 0 1 2 3 … … 1 3 1 （2）对于①：由图象可知，当时，的值随的值增大而减小，∴①正确； 对于②：当时，，∴②正确； 对于③：由表格可知，当时，该函数取得最大值，最大值为3，∴③正确； 对于④：由图象可知，该函数图象是轴对称图形，∴④正确； 故答案为：①②③④； （3）当时，，当时，， ∵当时，该函数取得最大值，最大值为3， ∴当时，； （4）①：∵关于的方程组，可以看作函数与直线的图象没有交点， ∴由图象可知，当时，函数与直线的图象没有交点， ∴关于的方程组无解，则的取值范围是； ②：如图，根据画出函数图象， ∵与有3个交点， ∴由图象可知，当或时，有三个交点． 【点睛】本题主要考查含绝对值的一元一次函数的图象与性质，准确画出含绝对值的一元一次函数的图象是解题的关键． 24．【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图1中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为___________； （2）已知关于的二元一次方程组无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与轴的交点分别是，方程②图象与轴的交点分别是，计算的度数，并直接写出的值． 【拓展应用】 （3）图3中包含关于的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解及的值． 【答案】（1）；（2）图象见详解，，；（3）， 【分析】本题考查了二元一次方程的图象，解二元一次方程组，求图象的交点坐标，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． （1）描点画图，解二元一次方程组即可； （2）由二元一次方程组无解，使得两条直线平行，由此可列方程求出k值，再由平行线的性质及直角三角形的两个锐互余可求出； （3）首先判断方程的图象过定点，再判断图象经过第一、三、四象限，求出点也在图象上即可求出m的值． 【详解】解：（1）如图，当时，；当，， 过两点即为方程的图象； 解方程组，两式相加得， 将代入，得， 方程组的解为； 故答案为：； （2）方程组无解， 两直线平行， 方程①化为， 方程②化为， 由， ， 方程①，当时，；当时，， ，直线为方程①的图象，如图2， 方程②，当时，；当时，， ，直线为方程②的图象，如图2， ， 在中，， ； （3）方程变形得，， 当时，， 方程的图象过， 方程的图象经过第一、三、四象限， 把代入得，，， 点在上， ， 解，得． 把代入得，， 解得， 二元一次方程组的解为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $