暑假培优：一次函数中的面积问题、一次函数中的特殊三角形存在性问题专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦一次函数几何应用，通过面积计算与特殊三角形存在性问题，系统构建数形结合与分类讨论的解题逻辑，覆盖中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数中的面积问题|3例+3变式|坐标系面积计算、动点面积定值/最值、多直线交点面积|从直线解析式求解（基础）到面积公式应用（几何直观），再到动点坐标与面积关系推导（推理意识）| |一次函数中的特殊三角形存在性问题|3例+3变式|直角/等腰三角形存在性、顶点分类讨论、翻折变换坐标计算|从三角形性质（几何直观）到一次函数上点的坐标特征（模型意识），再到分类讨论思想应用（推理能力）|

暑假培优：一次函数中的面积问题、一次函数中的特殊三角形存在性问题专项训练 暑假培优：一次函数中的面积问题、一次函数中的特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 一次函数中的面积问题 一次函数中的特殊三角形存在性问题 考点一 一次函数中的面积问题 例1．（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出点A的坐标，即可求出点D的坐标，再求出点E的坐标，最后利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出的面积，进而求出的面积，再根据三角形的面积公式求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得， 在中，当时，，解得， ∴点F的坐标为或． 例2．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，在平面直角坐标系中有一矩形，已知点坐标为，直线的解析式为． (1)求点的坐标及的长度； (2)若中的点沿轴平移个单位长度后得到点；过点作直线交直线于点；过点作轴并交轴于点： ①在直线上有一动点，使得，求的值； ②将与矩形重叠的部分记作，请直接写出和之间的关系式． 【答案】(1)点的坐标为，； (2)①的值为；②． 【分析】（1）令，则，可求得点的坐标为，再利用勾股定理即可求得； （2）①根据题意可得，再利用三角形面积公式求解即可； ②分两种情况讨论，分别求得各点的坐标，利用三角形或梯形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴点的坐标为， ∵点坐标为， ∴； （2）解：①∵直线，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴的值为； ②当点在线段上，此时， 直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， 令，则，解得， ∴点的坐标为， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上，此时， 直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 令，则，解得， ∴点的坐标为， ∴，，∴； 综上，． 例3．（25-26八年级下·重庆巫山·月考）如图1，点、，其中、满足，将点、分别向上平移4个单位，再向右平移2个单位至、，连接、． (1)请直接回答：__________，__________，的坐标是__________； (2)如图1，连接交于点，求的长； (3)如图2，点从点出发，以每秒2个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒3个单位的速度向左运动．设运动时间为秒（），射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)8 【分析】（1）根据二次根式的非负性得到、的值，再根据点坐标的平移规则：左减右加横坐标，上加下减纵坐标得到的坐标； （2）先求出的解析式，再计算出的坐标即可求解； （3）先分别求出三角形各个线段的长度，再表示出两个三角形的面积作差即可． 【详解】（1）∵，，且， ∴ ，解得， 点， ∵向右平移2个单位、向上平移4个单位，得坐标， ∴； （2）由平移得点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、坐标： ， 解得， 直线， 令，得， ∴， ∵， ∴； （3）的值是定值，定值为8，如图所示， 运动秒后：，，， 设直线的解析式为， 代入、： ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴，， ∴，， 变式1．（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为，点C的坐标为 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）先求得直线，再令即可求得点B的坐标；然后令可求解点C的坐标； （2）设点P的坐标为，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式可求得，进而求得p的值即可解答． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线， 当时，， ∴点B的坐标为． ∵点C为直线，的交点， ∴令，解得， 此时， ∴点C的坐标为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或． 变式2．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，   ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 变式3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． (4)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入直线的表达式，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到直线的解析式； （2）先求点的坐标，进而确定的底的长度，再确定的高，最后代入三角形面积公式计算； （3）先求出点的坐标，作关于轴的对称点，利用“轴对称性质”得，将转化为，当、、共线时，最小，求出直线的解析式，令，得到的值即为点的纵坐标； （4）先确定目标面积，设点的坐标，以为的底，点到轴的距离为高，代入面积公式列方程，解方程得的值，再代入直线解析式得到的纵坐标，进而确定的坐标． 【详解】（1）解：直线为，且位于直线上， ，解得， 直线的解析式为． 答：． （2）解：直线的解析式为， 当，，即直线与轴交点为， ， 点坐标为， 点到轴的距离为， ． 答：． （3）解：直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 如图，作点关于轴对称点，连接，与轴交于点， ，， ， ， 可知当、、位于同一条直线上时，取得最小值， 设直线的解析式为，将，代入， 可得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 令，则， 故的坐标为． 答：． （4）解：设存在点， 根据题意可知， 得，即， 解得， 则点的坐标为或． 答：存在，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，轴对称的应用，一次函数与图形面积的综合应用，通过作对称点，将“折线线段和”转化为“直线线段”是解题关键． 考点二 一次函数中的特殊三角形存在性问题 例1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点． (1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______． (2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标． (3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为：或 (3)B′或， 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、一次函数的图象和性质、图形的翻折等，分类求解是解题的关键． （1）由，得出，利用含角的直角三角形的性质可得，则，可得点，利用待定系数法即可求解； （2）设点，根据两点间距离公式可得，，，当为斜边时，利用勾股定理列出等式即可求解；当或为斜边时，同理可解； （3）当点P的坐标为时，作轴于，根据折叠性质得出，，根据三角形内角和定理及平角的定义得出，利用含角的直角三角形的性质即可求出坐标，当点P的坐标为时，可求出直线解析式为，利用面积法可得，设，利用两点间距离公式可求出，可得点坐标，利用中点坐标公式即可求出坐标，综上即可得答案． 【详解】（1）， 解：∵，则，， ∴， ∴，则点， 设直线的表达式为， ∴， 解得： ∴直线的表达式为：， 故答案为：，； （2）设点， 由点A、B、P的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：（舍去）或， ∴点； 当为斜边时，, 解得， ∴点P， 当为斜边时， 解得：（舍去）， 综上，点P的坐标为：或； （3）当点P的坐标为时，如图，作轴于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， ∴， 如图，当点P的坐标为时，则， 设直线解析式为，与交于点， ∴， 解得：，直线解析式为， 由折叠性质可知：垂直平分， ∵， ∴， 解得：， 设， ∴， 解得：， ∴点， 由中点坐标公式得：点， 综上，B′或． 例2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．动点，分别在线段，上（点不与点，重合，点不与点，重合），． 【构建联系】 (1)求点，，的坐标； (2)判断是否存在，使得是等腰三角形？并说明理由； 【深入探究】 (3)当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)不存在，使得是等腰三角形；理由如下： ∵为的外角， ∴， 假设， ∴， ∵， ∴，而这与矛盾， ∴假设不成立， 即不存在，使得是等腰三角形； (3)或 【分析】（1）根据一次函数解析式，求出点，，的坐标； （2）根据三角形外角性质得出，假设，根据等腰三角形性质得出，从而说明，而这与矛盾，推出假设不成立； （3）分为三种情况：①，②，③，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 当时，， 解得：， 即点的坐标是，点的坐标是， 点与点关于轴对称， 的坐标是； （2）略 （3）解：分为三种情况： ①当时，如图所示： 和关于轴对称， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， 点的坐标是；   ②当时，根据解析（2）可知，此种情况不存在； ③当时，如图所示： 则， 即， 设此时的坐标是，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即此时的坐标是． 当为等腰三角形时，点的坐标是或． 例3．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）先把点纵坐标代入正比例函数解析式求出，确定点横坐标，再将、两点坐标代入一次函数用待定系数法求解析式； （2）求出点的坐标后以为底，点横坐标为高，套用面积公式算面积； （3）设点的坐标为，然后表示出，，，分、、三种情况分类讨论，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：在上， 将点坐标代入可得，， 解得， 点的坐标为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：如图，过点作轴， 已知一次函数的解析式为， 当，可得， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 故． （3）解：设点的坐标为， ，， ，，， 当时，， 可得， 解得或， 若，点与点重合，舍去， 此时点的坐标为； 当时，， ， 解得或， 此时点的坐标为或； 当时，， 可得， 解得， 此时点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或． 变式1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点C，与直线相交于点． (1)是直线上的两个点，则___________（填“＞”或“＜”）； (2)求的面积； (3)若轴上有一点Q，若是一个等腰三角形，求点Q的坐标． 【答案】(1)＞ (2)20 (3)，， 【分析】本题考查一次函数的增减性，待定系数法，平面直角坐标系中三角形的面积，等腰三角形的定义，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式与一次函数的图象与性质是解决的关键． （1）根据直线从左到右下降可得直线对应的函数中，y随x的增大而减小，据此可解答； （2）采用待定系数法求出直线的解析式为，求出点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解． （3）根据等腰三角形的定义分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵直线从左到右下降， ∴直线对应的函数中，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：＞ （2）解：设直线解析式为， 把和代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时， 点C的坐标为， ； （3）①当时，， ②当时， ， ， ， ③当时，点Q在线段的垂直平分线上， ， ， ∵， ∴ ， ， 变式2．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴轴分别交于两点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求点到直线的距离； (3)在轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）点代入得出，则，代入得出； （2）分别求得的坐标，根据勾股定理求得的长，进而根据等面积法，即可求解； （3）设轴上点坐标为，分求得，进而根据为直角边，分类讨论，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上，代入得：， 解得，即． 又∵在一次函数上，代入得：， 解得． （2）由（1）得直线的解析式为， 令得，即， ∴； 令得，即， ∴． 在中，． 设到直线的距离为，由三角形面积公式：， 代入得， 解得． 即点到直线的距离为． （3）存在满足条件的点，设轴上点坐标为， ∴，，． ∵以为直角边的直角三角形， 分两种情况：①直角顶点为：满足， 代入整理得， 解得， 得； ②直角顶点为：满足， 代入整理得， 解得， 得． 综上，存在点，坐标为或． 变式3．（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知一次函数的图象经过点； (1)若该一次函数的图象还经过点，求该一次函数的表达式； (2)若该一次函数的图象与一次函数的图象相交于点． ①求点的坐标（用含的代数式表示）； ②一次函数的图象与轴交于点，当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得， ∴的表达式为； （2）解：①由 得：， ∴， 又，且两个函数相交于点， ∴ ， ∴， ∴， ∴点B坐标为； ②∵ 一次函数与轴交于点， ∴点坐标为， 又点坐标为，点坐标为， 在中，， 同理可得：，， 当为直角三角形时，分三种情况进行分类讨论： 当，得：， 即：， 解得：， 又， ∴ ， ∴点坐标为， 当，得：， 即：， 解得：， 又， ∴， ∴点坐标为， 当，得：， 即：， 解得：， ∴ 该方程无解， 综上所述，当为直角三角形时，点B坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：一次函数中的面积问题、一次函数中的特殊三角形存在性问题专项训练 暑假培优：一次函数中的面积问题、一次函数中的特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 一次函数中的面积问题 一次函数中的特殊三角形存在性问题 考点一 一次函数中的面积问题 例1．（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，当时，求点的坐标． 例2．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，在平面直角坐标系中有一矩形，已知点坐标为，直线的解析式为． (1)求点的坐标及的长度； (2)若中的点沿轴平移个单位长度后得到点；过点作直线交直线于点；过点作轴并交轴于点： ①在直线上有一动点，使得，求的值； ②将与矩形重叠的部分记作，请直接写出和之间的关系式． 例3．（25-26八年级下·重庆巫山·月考）如图1，点、，其中、满足，将点、分别向上平移4个单位，再向右平移2个单位至、，连接、． (1)请直接回答：__________，__________，的坐标是__________； (2)如图1，连接交于点，求的长； (3)如图2，点从点出发，以每秒2个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒3个单位的速度向左运动．设运动时间为秒（），射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 变式1．（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 变式2．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． (4)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 考点二 一次函数中的特殊三角形存在性问题 例1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点． (1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______． (2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标． (3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标． 例2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．动点，分别在线段，上（点不与点，重合，点不与点，重合），． 【构建联系】 (1)求点，，的坐标； (2)判断是否存在，使得是等腰三角形？并说明理由； 【深入探究】 (3)当是等腰三角形时，求点的坐标． 例3．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 变式1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点C，与直线相交于点． (1)是直线上的两个点，则___________（填“＞”或“＜”）； (2)求的面积； (3)若轴上有一点Q，若是一个等腰三角形，求点Q的坐标． 变式2．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴轴分别交于两点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求点到直线的距离； (3)在轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知一次函数的图象经过点； (1)若该一次函数的图象还经过点，求该一次函数的表达式； (2)若该一次函数的图象与一次函数的图象相交于点． ①求点的坐标（用含的代数式表示）； ②一次函数的图象与轴交于点，当为直角三角形时，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $