暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义-2026年七升八暑假数学（人教版）

暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 考点一 用SSS证明三角形全等 考点目录 用SSS证明三角形全等 用SAS证明三角形全等 用ASA或AAS证明三角形全等 【知识点解析】 一、核心知识点 1.判定定理：三边对应相等的两个三角形全等，简写SSS。 2.几何语言 在△ABC和△DEF中 AB-DE BC=EF=△ABC≈△DEF(SSS) AC=DF 3.适用条件：题目给出三组边相等，或可通过等量代换、中点、公共边、线段和差推导出三边对应相等。 4.常用隐藏条件：公共边、线段加减得等长线段、垂直平分线性质、中点分线段相等。 二、解题原理 1.找出两个待证三角形； 2.梳理三组对应相等的边：优先标出公共边，再利用己知条件推导剩余两组等边： 3.规范写出三组边相等的推导过程： 4.套用SSS格式证明全等： 5.全等后可推导对应角相等，用于后续角度计算、平行证明。 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 【例题分析】 例1.(25-26七年级下·甘肃酒泉期末)如图，点C,D在线段BE上，且BD=EC，AB=FE,AC=FD.试说 明：∠B=∠E. 例2.(25-26八年级上福建龙岩·月考)已知：如图，AB=AC,DB=DC B (I)求证：∠ABD=∠ACD: (2)连接BC,若∠A=80°，∠ABD=10°，则∠DBC= 例3.(25-26八年级上·河北保定阶段检测)如图△ABC中，∠B=∠C,点D、E、F分别是BC.AC.AB上的一 点，且BF=CD,BD=CE. (I)用“≌”表示图中全等的三角形：判定此对三角形全等的依据是 (用字母表示)： (2)若∠A=50°，求∠EDF的度数. 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 【变式训练】 变式1.(25-26八年级上河北邯郸阶段检测)如图，点A、D、C、F在同一条直线上， AD=CF.AB=DE.BC=EF B D C (I)求证：△ABC≌△DEF: (2)若∠A=60°，∠B=85°，求∠F的度数. 变式2.(25-26八年级上浙江阶段检测)如图，在△ABC中，AB=DE,AC=DF,BF=CE,求证： △ABC≌ADEF D 证明：，BF=CE .BF+CF= +CF 即 在△ABC和△DEF中， AB=DE,AC=DF, .∴△ABC≌ADEF() 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 变式3.(25-26七年级上山东淄博阶段检测)已知：如图，点B,E,C,F在同一条直线上，且AB=DE, AC=DF,BE=CF,求证：∠B=∠DEF(填空)· A D E 证明：，BE=CF( .BE+=CF+,即BC=EF 在△ABC和△DEF中， AB=()已知) ()=DF(已知) BC=() △ABC≌aDEF(—）, ∠B=∠DF). 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 考点二 用SAS证明三角形全等 【知识点解析】 一、核心知识点 1.判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写SAS。 2.关键限制：相等的角必须是两条己知相等边的夹角，边边角SSA不能证明全等。 3.几何语言 在△ABC和△DEF中 AB=DE ∠B=∠E=△ABC≈△DEF(SAS) BC=EF 4.常见等角来源：对顶角相等、平行线内错角/同位角相等、同角/等角的补角/余角相等、角平分线、垂直得 直角。 二、解题原理 1.锁定两个三角形，先找两组对应相等的边： 2.证明两组等边中间的夹角相等（避开边外侧的角）； 3.按“边一角一边”顺序罗列条件： 4.易错区分：若相等角不在两条等边中间，不能使用SAS: 5.全等后推对应边、对应角相等。 【例题分析】 例1.(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC和△EDC中，AC=EC,BC=DC,∠ECB=∠ACD. 请判断△ABC和△EDC是否全等？为什么？ 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 例2.(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，己知点E是AD,BC的中点，△ABE和△DCE全等吗？为什么？ 例3.(25-26八年级上四川绵阳期末)如图，点B、FC、E在一条直线上，AB∥DE,AC=DF,AC∥FD BE=20,BF=8. A (I)求证：△ABC≌△DEF: (2)求CF的长. > 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 【变式训练】 变式1.(25-26八年级上浙江台州期末)如图，BE、CD相交于点O,延长DB,EC相交于点A,AB=AC, BD=CE (1)求证：△ACD≌△ABE: (2)若∠A=20°，∠D=30°，求∠D0E的度数. 变式2.(25-26八年级上：四川宜宾期末)如图，点B、E在线段AD上，AB=DE,BC∥EF,BC=EF, B D (I)试说明：△DBC≌aAEF: (2)判断线段AF与CD的位置关系，并说明理由. 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 变式3.(25-26八年级上广西崇祟左期末)如图，已知点B,E,C,F在一条直线上，AB=DF,∠B=∠F, BE=FC. B E (I)求证：△ABC≌aDFE: (2)若BF=13,EC=5,求BC的长. 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 考点三 用ASA或AAS证明三角形全等 【知识点解析】 一、核心知识点 1.ASA（角边角) 两角及其夹边对应相等，两三角形全等。 几何语言： ∠A=∠D AB=DE=△ABC≈△DEF(ASA ∠B=∠E 2.AAS（角角边) 两角及其中一角的对边对应相等，两三角形全等。 几何语言： 1 ∠A=∠D ∠B=∠E=△ABC≈△DEF(AAS) BC=EF 3.内在联系：三角形内角和180°，ASA可推导出AAS,两类可互通：直角三角形L是特殊判定，不属 于这两类。 4.隐藏等角：直角、角平分线、平行线、公共角、对顶角。 二、解题原理 1.ASA思路：先找一组相等的夹边，再证明夹边两侧的角对应相等： 2.AAS思路：先找到两组对应相等的角，再找任意一组等角的对边相等： 10 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 3.条件书写顺序匹配判定名称：ASA按角·边·角，AAS按角·角·边； 4.题型特征：题干条件多给出角度相等、少给边长，优先选用ASA/AAS。 【例题分析】 例1.(25-26七年级下广东茂名期末)如图，已知AB∥DE,点A、C、D在同一条直线上， ∠BAE=∠BAD+∠B,且AE=BC.求证：△ABC≌△DAE: E D 例2.(25-26七年级下宁夏银川期末)已知：如图，点E、F在CD上，DE=CF,AE∥BF, 请从①AC=BD;②∠A=∠B;③AC∥BD这三个选项中，选择一个作为条件，使得△ACE≌△BDF,并说明理 由 解：选择条件是 .理由是： 11 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 例3.(25-26七年级下广东茂名期末)如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,点D为直线AB上方一 点，且∠ADB=90°，CE⊥AD, (I)求证：△ACE≌△BAD (2)若BD=9,CE=20,求DE的长. 【变式训练】 变式1.(25-26七年级下辽宁沈阳期末)如图，点A在线段CD上，已知BC∥DE,BC=CD,∠BAC=∠E. D E B (1)求证：△ABC≌△ECD (2)若DE=5,BC=13,求AD的长. 12 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 变式2.(25-26八年级上浙江绍兴期末)己知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，DF=BE, ∠B=∠DADI‖BC 求证：△ADF≌△CBE D E F B 变式3.(25-26八年级上江苏镇江期末)如图，点B,F,C,E在直线I上，点A,D在1的两侧，AB∥DE, ∠A=∠D,AB=DE A C B F D (I)求证：△ABC≌△DEF: (2)若BE=10,FC=4,求BF的长. 13暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 暑假预习：用SSS、SAS、ASA或AAS证明三角形全等讲义 考点目录 用SSS证明三角形全等 用SAS证明三角形全等 用ASA或AAS证明三角形全等 考点一 用SSS证明三角形全等 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 判定定理：三边对应相等的两个三角形全等，简写SSS。 1. 几何语言 在 和 中 1. 适用条件：题目给出三组边相等，或可通过等量代换、中点、公共边、线段和差推导出三边对应相等。 1. 常用隐藏条件：公共边、线段加减得等长线段、垂直平分线性质、中点分线段相等。 二、解题原理 1. 找出两个待证三角形； 1. 梳理三组对应相等的边：优先标出公共边，再利用已知条件推导剩余两组等边； 1. 规范写出三组边相等的推导过程； 1. 套用 SSS 格式证明全等； 1. 全等后可推导对应角相等，用于后续角度计算、平行证明。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【答案】解：∵， ， ， ，， ， ． 【详解】略 例2．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）已知：如图，，． (1)求证：； (2)连接，若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)40° 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键， （1）根据判定，即可得证； （2）由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 例3．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）如图中，，点分别是上的一点，且． (1)用“”表示图中全等的三角形；判定此对三角形全等的依据是___________（用字母表示）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用判断全等三角形即可； （2）由全等三角形的性质可得，再结合三角形内角和定理可得．然后根据三角形内角和定理求得即可解答． 【详解】（1）解：， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）利用“边边边”证明即可； （2）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在中， ，求证：． 证明∶∵． ∴________． 即________________． 在和中， ∵________________． ∴ (________)． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据线段的和差关系，推出，利用证明，即可． 【详解】证明∶∵． ∴． 即． 在和中， ∵． ∴（）． 变式3．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）已知：如图，点，，在同一条直线上，且，，，求证：（填空）． 证明：∵（__________）， ∴__________，即． 在和中， ， ∴（__________）， ∴（__________）． 【答案】已知；；；；；；；全等三角形的对应角相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的判定条件，根据已知条件，通过全等三角形的判定定理证得，则全等三角形的对应角相等． 【详解】证明：∵（已知）， ∴，即． 在和中， ， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）． 考点二 用SAS证明三角形全等 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写SAS。 1. 关键限制：相等的角必须是两条已知相等边的夹角，边边角 SSA 不能证明全等。 1. 几何语言 在 和 中 1. 常见等角来源：对顶角相等、平行线内错角/同位角相等、同角/等角的补角/余角相等、角平分线、垂直得直角。 二、解题原理 1. 锁定两个三角形，先找两组对应相等的边； 1. 证明两组等边中间的夹角相等（避开边外侧的角）； 1. 按“边—角—边”顺序罗列条件； 1. 易错区分：若相等角不在两条等边中间，不能使用 SAS； 1. 全等后推对应边、对应角相等。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 【答案】解：和全等，理由如下， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由，则，所以，然后通过“”即可证明． 【详解】略． 例2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知点E是的中点，和全等吗？为什么？ 【答案】和全等，理由如下： ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用中点的定义可得，再结合对顶角相等运用即可解答． 【详解】解：和全等，理由略． 例3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，点在一条直线上，，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)的长为． 【分析】此题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线的性质可得，，然后通过“”证明全等即可； （）由，得，则有，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，、相交于点，延长，相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，灵活运用以上知识是解题的关键． （1）先根据线段的关系得出，再利用“”即可得证； （2）利用全等三角形的性质和三角形外角的性质，进行计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 即， 在和中， ， （）． （2）解：由（1）可知，， ． ， ， ． 答：的度数为． 变式2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，点B、E在线段上，． (1)试说明：； (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，证明即可； （2）全等三角形的性质，得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据角边角的证明方法证明即可； （2）根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 在与中， ， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 考点三 用ASA或AAS证明三角形全等 【知识点解析】 一、核心知识点 1. ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等，两三角形全等。 几何语言： 1. AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等，两三角形全等。 几何语言： 1. 内在联系：三角形内角和 ，ASA 可推导出 AAS，两类可互通；直角三角形 HL 是特殊判定，不属于这两类。 1. 隐藏等角：直角、角平分线、平行线、公共角、对顶角。 二、解题原理 1. ASA 思路：先找一组相等的夹边，再证明夹边两侧的角对应相等； 1. AAS 思路：先找到两组对应相等的角，再找任意一组等角的对边相等； 1. 条件书写顺序匹配判定名称：ASA 按角 - 边 - 角，AAS 按角 - 角 - 边； 1. 题型特征：题干条件多给出角度相等、少给边长，优先选用 ASA/AAS。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，已知，点、、在同一条直线上，，且．求证：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由平行线的性质得出，由角的和差关系得出，利用即可证明． 【详解】证明：略； 例2．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 例3．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 变式2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，首先由得到，然后利用证明即可． 【详解】证明：因为， 所以． 且，， 所以． 变式3．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，然后利用证明即可； （2）首先求出，根据全等三角形的性质得，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ∴； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $