三角函数：三角恒等变换常用6种公式复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学三角函数恒等变换复习讲义，系统覆盖同角三角关系、诱导公式、和差公式、倍角公式、辅助角公式及积化和差与和差化积公式六大高考核心考点，按知识内在逻辑分层架构，通过知识点解析、分考向例题精讲、变式训练三个教学环节，帮助学生构建完整知识网络并突破解题难点。 资料突出高考实战导向，结合2026年各地模拟真题设计分层练习，如诱导公式教学中用“奇变偶不变，符号看象限”口诀培养推理意识，和差公式通过逆向凑角训练发展逻辑思维，辅助角公式强调变量一致提升数学表达精确性，能在有限时间内高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：三角恒等变换常用6种公式复习讲义 考点目录 同角三角关系 诱导公式 和差公式 倍角公式 辅助角公式 积化和差公式与和差化积公式 考点一 同角三角关系 【知识点解析】 1.两个同角关系 平方关系 商数关系 2.同角关系的应用：平方关系 ①. ②. 3.同角关系的应用：商数关系 ①. ②. ③. ④. 4.同角关系的应用：完全平方关系 ①. ②. ③. 【例题分析】 考向一 同角关系的应用：平方关系 例1．（2026·上海黄浦·二模）已知，且，则的值为______． 【答案】 【详解】因为， 且，可知角为第四象限角， 所以. 例2．（2026·福建福州·模拟预测）已知，求______． 【答案】 【详解】设，， 则， 由，得， 又，则， ． 考向二 同角关系的应用：商数关系 例3．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知，则__________. 【答案】 【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得结果. 【详解】. 例4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，则__________. 【答案】 【分析】化为齐次式，化弦为切即可得解. 【详解】因为，所以. 考向三 同角关系的应用：完全平方关系 例5．（25-26高三上·湖南邵阳·期中·多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角的正弦公式，可求，判断A的真假；根据所给的角的取值范围，判断角的三角函数的符号，再结合同角三角函数的基本关系，可判断B的真假；利用同角三角函数的基本关系，可求，判断C的真假；结合两角差的余弦公式，可求的值，判断D的真假. 【详解】由，得：，即，所以，所以A正确； 又，，所以，则，所以，所以B错误； 联立，解得：，，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：AC 例6．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测·多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数的关系，结合正、余弦值的符号逐项计算判断. 【详解】由，得，所以， 又，所以，结合， 解得，所以. 故选：AC. 【变式训练】 考向一 同角关系的应用：平方关系 变式1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知为锐角，且，则____________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数基本关系式及诱导公式可得. 【详解】因为为锐角，且，由同角三角函数关系式得， 又由诱导公式及商数关系式得． 故答案为：． 变式2．（2026·山东潍坊·模拟预测）化简 ＝________（α为第二象限角）. 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及式子的特征化简即可. 【详解】因为， 且为第二象限角， 所以， 故答案为： 考向二 同角关系的应用：商数关系 变式3．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知，则__________． 【答案】1 【分析】利用齐次化思想化简求值. 【详解】由题意得，. 故答案为： 变式4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知，则________． 【答案】/0.3 【分析】将原式凑配为关于正余弦的齐二次分式来求解. 【详解】. 考向三 同角关系的应用：完全平方关系 变式5．（25-26高三上·江西·阶段检测·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角差的余弦公式逐项计算即可得. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 因为，所以，又， 所以，，故B正确； 因为，， 所以，故C错误； ，故D正确． 故选：ABD． 变式6．（25-26高一上·云南昆明·期末·多选）已知，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由两边平方即可判断A项；利用A项结论可求出，再缩小角范围即得B项；将与的值联立求出，再运用倍角公式和商数关系即得C，D项. 【详解】对于选项A，由两边平方得：，故得，即A项正确； 对于选项B，由，可得：故， 由可得：，故B项错误； 对于选项C，，故C项错误； 对于选项D，由可解得：故得：.故D项正确. 故选：AD. 考点二 诱导公式 【知识点解析】 一、核心知识点 总口诀：奇变偶不变，符号看象限 · 奇/偶： 的倍数 ， 奇数 ； 偶数函数名不变； · 符号：视 为锐角，判断原角所在象限中原函数正负。 正弦 余弦 正切 二、解题原理 1. 化简步骤：先去周期 → 判断 奇偶变换函数名 → 判断象限加符号； 1. 角度求值：任意角逐步化简到锐角三角函数再代入数值； 1. 比较大小、解方程：统一化为同名锐角函数后分析范围； 1. 不强行背诵全部公式：依靠口诀现场推导，减少记忆负担。 【例题分析】 考向一 诱导公式的应用 例1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 例2．（2026·四川广元·三模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，而，，故， 故. 考向二 诱导公式整体思想求值 例3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为第三象限角，且， 所以是第四象限角，所以. 所以. 例4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察所求角与已知角的数量关系，利用三角函数诱导公式转化求解. 【详解】已知，则，故B正确. 【变式训练】 考向一 诱导公式的应用 变式1．（25-26高一下·北京·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式，可得. 变式2．（2026·广东揭阳·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则，又，所以， 而，则，所以. 考向二 诱导公式整体思想求值 变式3．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以. 变式4．（2026·贵州毕节·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，. 考点三 和差公式 【知识点解析】 一、核心知识点 两角和 两角差 正弦 余弦 正切 二、解题原理 1. 正向使用：已知 、 三角函数值，直接展开求 函数值； 2. 逆向凑角（重难点）：构造角变换 ，，，整体代换简化计算； 3. 合并同结构式子：形如 直接合并为单角正弦； 4. 范围约束：求出三角函数值后，结合角的取值范围舍去增根。 【例题分析】 考向一 和差公式的应用 例1．（25-26高一下·甘肃兰州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 例2．（25-26高一下·甘肃定西·期末）若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 例3．（25-26高一下·北京昌平·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以原式. 考向二 和差公式整体思想求值 例4．（25-26高一下·山东滨州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 且，则， 所以 . 例5．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知，均为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两角差的余弦公式计算求解得出，进而应用同角三角函数关系计算求解正切. 【详解】因为，均为锐角，，， 所以，所以，， 所以， 所以 则 故选：A. 例6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角和的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 则 . 故选：A. 【变式训练】 考向一 和差公式的应用 变式1．（25-26高一下·江苏扬州·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用两角差正弦公式计算求解. 【详解】. 变式2．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）的值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据两角和差公式求解即可. 【详解】因为. 变式3．（25-26高二下·云南红河·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用余弦和角公式展开，结合已知的求出的值，再将变形为代入数值计算得到结果. 【详解】因为， 又，解得， 所以． 考向二 和差公式整体思想求值 变式4．（2026·江苏镇江·模拟预测）若，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角基本关系式与三角函数的和差公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则 . 故选：B. 变式5．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知锐角满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系并结合题意得到求出和，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为均为锐角，所以，可得， 因为由，所以， 因为且为锐角，所以，而，则， 由两角差的余弦公式得 ． 故选：C． 变式6．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到的范围，求出，再根据“凑角法”由两角差的正弦公式进行求解即可. 【详解】 ， ． 考点四 倍角公式 【知识点解析】 一、核心知识点 二倍角 公式 正弦 余弦 正切 变形 ①. ②. ③. 二、解题原理 1. 升幂：单角 转化为 ，正向展开二倍角； 1. 降幂化简：式子含 、，统一用降幂公式化为一次余弦，简化积分、周期、最值计算； 1. 逆向合并： 快速合并； 1. 知二倍角求单角：用余弦二倍角开方，结合角象限判断正负； 1. 齐次化简搭配降幂公式：是三角恒等变换主流组合。 【例题分析】 考向一 倍角公式的应用 例1．（25-26高一下·北京·期末）若，则下列一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数基本关系、二倍角公式逐一验证各选项的正确性. 【详解】对于选项A，因为，根据同角三角函数关系式， 得，故选项A错误； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，，故选项C错误； 对于选项D，，故选项D正确. 例2．（25-26高二下·江苏常州·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，所以， 则 例3．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 考向二 倍角公式整体思想求值 例4．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， . 例5．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及二倍角公式计算求解. 【详解】已知， 则. 【变式训练】 考向一 倍角公式的应用 变式1．（25-26高二下·山西·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即， 则，解得或（舍去）， 则. 变式2．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 变式3．（2026·青海西宁·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式，可得的值，根据半角公式，即可得答案. 【详解】由题得 ， 又，所以是锐角，所以． 考向二 倍角公式整体思想求值 变式4．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 变式5．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ． 考点五 辅助角公式 【知识点解析】 1.辅助角公式(合一公式) . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 2.常见三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 不存在 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广西北海·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则当，即时，函数有最大值. 例2．（2026·福建泉州·三模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式可得，结合特殊角的三角函数值求得，代入即可求解. 【详解】由， 所以,则， 即，所以 例3．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过辅助角公式，结合两角和的正弦公式对已知条件进行化简，再利用诱导公式将所求式子转化为正弦值进行求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以. 【变式训练】 变式1．（2026·广东东莞·模拟预测）已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助辅助角公式可得，再利用诱导公式整体代换计算即可得. 【详解】，则， 则. 变式2．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和正弦公式展开，再利用辅助角公式和诱导公式化简即可求值. 【详解】由 ， 则， 故选：B 变式3．（2026高二上·云南·学业考试）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式合成，再利用三角函数的值域求法可得答案. 【详解】 ， 因为，所以 的值域为 ， 故选：B. 考点六 积化和差公式与和差化积公式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 积化和差（乘积→和差） 记忆要点： 1. 正余相乘→正弦和差；余余相乘、正正相乘→余弦和差； 前面带负号；所有式子均有系数 。 2. 和差化积（和差→乘积） 记忆要点： 1. 正弦相加： 在前；正弦相减： 在前； 2. 余弦相减式子整体带负号；所有式子均有系数 ； 3. 统一换元：令 ，可由和差公式反向推导两组公式，不用死记。 3. 两组公式内在联系 积化和差、和差化积互为逆变形，都由两角和、两角差正弦余弦公式加减推导而来。 二、解题原理 （一）积化和差使用逻辑 1. 适用场景：式子出现 、、 乘积形式； 1. 作用：将三角乘积转化为两个单角三角函数相加/相减，抵消同类项、简化化简、三角积分降次； 1. 解题步骤： ① 匹配乘积类型，套用对应公式拆分； ② 整理合并同类三角函数； ③ 配合倍角、诱导公式进一步化简求值。 （二）和差化积使用逻辑 1. 适用场景：式子为 、 一次加减形式； 1. 核心作用：把两项三角加减合并成乘积形式，方便： · 三角方程因式分解求零点； · 判断符号、求值域、化简分式； · 三角形内角恒等证明； 1. 解题步骤： ① 识别正弦/余弦的和或差； ② 计算平均角 、半差角 ； ③ 代入公式写成二倍乘积； ④ 结合同角关系、辅助角、诱导公式继续变形。 （三）通用解题技巧 1. 正向化简：乘积化和差消项；加减式化乘积因式分解； 1. 证明三角恒等式：左右两边统一化成乘积/统一化成和差，对比相等； 1. 三角形题型：已知 ，和差化积后利用内角互补关系化简； 1. 不会记忆时：利用两角和差余弦、正弦公式联立自行推导，避免记错符号。 【例题分析】 例1．（2026·福建龙岩·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【详解】． 故选：A. 例2．（2026·广东广州·模拟预测）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差可求三角函数式的值. 【详解】原式． 故选：B. 例3．（2026·四川成都·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积化和差、和差化积公式、二倍角公式以及诱导公式化简求值. 【详解】 故选：C. 【变式训练】 变式1．（2026·海南儋州·模拟预测）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差化积结合辅助角公式运算求解. 【详解】原式 . 故选：D. 变式2．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知，则等于（　　） A．－m B．m C．－4m D．4m 【答案】B 【分析】由积化和差公式变形可得. 【详解】. 故选：B． 变式3．（2026·湖北荆州·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用两角和与差的余弦公式得，再利用和差化积公式得，最后代入计算即可. 【详解】因为， 所以，因为， 所以， 所以，所以， 故选：A. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：三角恒等变换常用6种公式复习讲义 考点目录 同角三角关系 诱导公式 和差公式 倍角公式 辅助角公式 积化和差公式与和差化积公式 考点一 同角三角关系 【知识点解析】 1.两个同角关系 平方关系 商数关系 2.同角关系的应用：平方关系 ①. ②. 3.同角关系的应用：商数关系 ①. ②. ③. ④. 4.同角关系的应用：完全平方关系 ①. ②. ③. 【例题分析】 考向一 同角关系的应用：平方关系 例1．（2026·上海黄浦·二模）已知，且，则的值为______． 例2．（2026·福建福州·模拟预测）已知，求______． 考向二 同角关系的应用：商数关系 例3．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知，则__________. 例4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，则__________. 考向三 同角关系的应用：完全平方关系 例5．（25-26高三上·湖南邵阳·期中·多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 例6．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测·多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 考向一 同角关系的应用：平方关系 变式1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知为锐角，且，则____________． 变式2．（2026·山东潍坊·模拟预测）化简 ＝________（α为第二象限角）. 考向二 同角关系的应用：商数关系 变式3．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知，则__________． 变式4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知，则________． 考向三 同角关系的应用：完全平方关系 变式5．（25-26高三上·江西·阶段检测·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式6．（25-26高一上·云南昆明·期末·多选）已知，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二 诱导公式 【知识点解析】 一、核心知识点 总口诀：奇变偶不变，符号看象限 · 奇/偶： 的倍数 ， 奇数 ； 偶数函数名不变； · 符号：视 为锐角，判断原角所在象限中原函数正负。 正弦 余弦 正切 二、解题原理 1. 化简步骤：先去周期 → 判断 奇偶变换函数名 → 判断象限加符号； 1. 角度求值：任意角逐步化简到锐角三角函数再代入数值； 1. 比较大小、解方程：统一化为同名锐角函数后分析范围； 1. 不强行背诵全部公式：依靠口诀现场推导，减少记忆负担。 【例题分析】 考向一 诱导公式的应用 例1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·四川广元·三模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 考向二 诱导公式整体思想求值 例3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 考向一 诱导公式的应用 变式1．（25-26高一下·北京·期中）（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东揭阳·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 考向二 诱导公式整体思想求值 变式3．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·贵州毕节·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 考点三 和差公式 【知识点解析】 一、核心知识点 两角和 两角差 正弦 余弦 正切 二、解题原理 1. 正向使用：已知 、 三角函数值，直接展开求 函数值； 2. 逆向凑角（重难点）：构造角变换 ，，，整体代换简化计算； 3. 合并同结构式子：形如 直接合并为单角正弦； 4. 范围约束：求出三角函数值后，结合角的取值范围舍去增根。 【例题分析】 考向一 和差公式的应用 例1．（25-26高一下·甘肃兰州·期末）（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·甘肃定西·期末）若，，则（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·北京昌平·期末）（   ） A． B． C． D． 考向二 和差公式整体思想求值 例4．（25-26高一下·山东滨州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知，均为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 例6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 考向一 和差公式的应用 变式1．（25-26高一下·江苏扬州·期末）（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）的值为（     ） A． B． C． D．0 变式3．（25-26高二下·云南红河·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考向二 和差公式整体思想求值 变式4．（2026·江苏镇江·模拟预测）若，，（    ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知锐角满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式6．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点四 倍角公式 【知识点解析】 一、核心知识点 二倍角 公式 正弦 余弦 正切 变形 ①. ②. ③. 二、解题原理 1. 升幂：单角 转化为 ，正向展开二倍角； 1. 降幂化简：式子含 、，统一用降幂公式化为一次余弦，简化积分、周期、最值计算； 1. 逆向合并： 快速合并； 1. 知二倍角求单角：用余弦二倍角开方，结合角象限判断正负； 1. 齐次化简搭配降幂公式：是三角恒等变换主流组合。 【例题分析】 考向一 倍角公式的应用 例1．（25-26高一下·北京·期末）若，则下列一定正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·江苏常州·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 考向二 倍角公式整体思想求值 例4．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 考向一 倍角公式的应用 变式1．（25-26高二下·山西·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·青海西宁·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 考向二 倍角公式整体思想求值 变式4．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中），则（   ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 考点五 辅助角公式 【知识点解析】 1.辅助角公式(合一公式) . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 2.常见三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 不存在 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广西北海·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·福建泉州·三模）若，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（2026·广东东莞·模拟预测）已知，那么（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026高二上·云南·学业考试）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 考点六 积化和差公式与和差化积公式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 积化和差（乘积→和差） 记忆要点： 1. 正余相乘→正弦和差；余余相乘、正正相乘→余弦和差； 前面带负号；所有式子均有系数 。 2. 和差化积（和差→乘积） 记忆要点： 1. 正弦相加： 在前；正弦相减： 在前； 2. 余弦相减式子整体带负号；所有式子均有系数 ； 3. 统一换元：令 ，可由和差公式反向推导两组公式，不用死记。 3. 两组公式内在联系 积化和差、和差化积互为逆变形，都由两角和、两角差正弦余弦公式加减推导而来。 二、解题原理 （一）积化和差使用逻辑 1. 适用场景：式子出现 、、 乘积形式； 1. 作用：将三角乘积转化为两个单角三角函数相加/相减，抵消同类项、简化化简、三角积分降次； 1. 解题步骤： ① 匹配乘积类型，套用对应公式拆分； ② 整理合并同类三角函数； ③ 配合倍角、诱导公式进一步化简求值。 （二）和差化积使用逻辑 1. 适用场景：式子为 、 一次加减形式； 1. 核心作用：把两项三角加减合并成乘积形式，方便： · 三角方程因式分解求零点； · 判断符号、求值域、化简分式； · 三角形内角恒等证明； 1. 解题步骤： ① 识别正弦/余弦的和或差； ② 计算平均角 、半差角 ； ③ 代入公式写成二倍乘积； ④ 结合同角关系、辅助角、诱导公式继续变形。 （三）通用解题技巧 1. 正向化简：乘积化和差消项；加减式化乘积因式分解； 1. 证明三角恒等式：左右两边统一化成乘积/统一化成和差，对比相等； 1. 三角形题型：已知 ，和差化积后利用内角互补关系化简； 1. 不会记忆时：利用两角和差余弦、正弦公式联立自行推导，避免记错符号。 【例题分析】 例1．（2026·福建龙岩·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·广东广州·模拟预测）等于（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·四川成都·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（2026·海南儋州·模拟预测）（　　） A． B． C． D． 变式2．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知，则等于（　　） A．－m B．m C．－4m D．4m 变式3．（2026·湖北荆州·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $