已知三角函数的性质求参数问题讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数已知性质求参数的5种高频考点，按周期性、奇偶性、对称性、单调性、值域逻辑分层，通过知识点解析、例题分析、变式训练构建复习体系，助力学生系统突破难点。 讲义采用真题导向与分层训练结合的教学策略，如在周期性考点中结合图像分析参数取值，培养学生数学思维与问题解决能力，变式训练梯度设计保障复习效果，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：已知三角函数的性质求参数问题5种高频考点复习讲义 考点目录 已知函数周期性求参数 已知函数奇偶性求参数 已知函数对称性求参数 已知函数单调性求参数 已知函数值域求参数 考点一 已知函数周期性求参数 【知识点解析】 1.函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. （1）若函数满足，则函数的周期. （2）若函数满足，则函数的周期. （3）若函数满足，则函数的周期. （4）若函数满足，则函数的周期. （5）若函数满足，则函数的周期. 2.三角函数的周期性 （1）对于函数和，周期. （2）对于函数、、，，周期. 3.已知函数的周期性求参数 （1）对于函数和，若已知函数周期为，则令，解方程得. （2）对于函数、、，，若已知函数周期为，则令，解方程得. 【例题分析】 例1．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数的图象的一个最高点和最低点的坐标分别为，，则的值可能为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2．（2026·北京顺义·三模）已知函数，若两个不等的实数满足且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 例3．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则_______． 例4．（2026·广东汕头·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则________. 【变式训练】 变式1．（2025·广东·三模）已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式2．（2026·福建宁德·二模）若的最小正周期为，且，则（    ） A．0 B． C． D． 变式3．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数 的最小正周期为，则________. 变式4．（2026·上海普陀·模拟预测）若函数的最小正周期为，则___________. 考点二 已知函数奇偶性求参数 【知识点解析】 1.函数的奇偶性 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数． 2.三角函数的奇偶性 （1）函数是奇函数. （2）函数是偶函数. （3）函数是奇函数. 3.已知函数的奇偶性求参数 （1）若函数是奇函数，则；函数是偶函数，则. （2）若函数是奇函数，则；函数是偶函数，则. （3）若函数是奇函数，则. 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B． C． D． 例2．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数为奇函数，则的最小值为__________. 例4．（2026·江西赣州·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为_______. 【变式训练】 变式1．（2026·河南鹤壁·一模）已知是偶函数，则（　　） A．2 B． C．1 D．0 变式2．（2026·福建厦门·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·广东清远·阶段检测）若为偶函数，则______. 变式4．（2026·辽宁大连·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为________． 考点三 已知函数对称性求参数 【知识点解析】 1.函数的对称性 （1）若函数满足，则函数关于对称. （2）若函数满足，则函数关于对称. （3）若函数满足，则函数关于对称. （4）若函数满足，则函数关于对称. （5）若函数满足，则函数关于对称. 2.三角函数的对称性 （1）对于函数 求对称轴：令，解方程得对称轴. 求对称中心：令，解方程得对称中心. （2）对于函数 求对称轴：令，解方程得对称轴. 求对称中心：令，解方程得对称中心. （3）对于函数 求对称中心：令，解方程得对称中心. （4）对称中心需写为点的形式，且注意纵坐标不一定为0，应该是. 3.已知函数的对称性求参数 （1）对于函数 ①若已知函数的一个对称轴为，则令，解方程即可得答案. ②若已知函数的一个对称中心为，则令，解方程即可得答案. ③若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围. （2）对于函数 ①若已知函数的一个对称轴为，则令，解方程即可得答案. ②若已知函数的一个对称中心为，则令，解方程即可得答案. ③若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围. 【例题分析】 例1．（2026·河北唐山·模拟预测）记函数的最小正周期为T，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 例2．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则（    ） A． B．1 C．2 D． 例3．（2025·甘肃定西·一模）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为______． 例4．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是_____. 【变式训练】 变式1．（2026·福建福州·三模）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河北邯郸·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．2 C．1 D． 变式3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数的对称中心是，则___________． 变式4．（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是__________． 考点四 已知函数单调性求参数 【知识点解析】 1.函数的单调性 一般地，设函数的定义域为： 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数，区间称为函数的单调增区间. 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数，区间称为函数的单调减区间． 单调性的证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 2.三角函数的单调性 （1）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. 求减区间：令，解不等式得减区间. （2）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. 求减区间：令，解不等式得减区间. （3）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. （4）若，则先利用诱导公式进行化简，使得. （5）若且，求解单调区间时应代入相反区间. （6）答案需写成区间的形式，且注明. 3.已知函数的单调性求参数 （1）对于函数 ①若已知函数在递增，则周期且. ②若已知函数在递减，则周期且. （2）对于函数 ①若已知函数在递增，则周期且. ②若已知函数在递减，则周期且. 【例题分析】 例1．（25-26高一下·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数在区间上严格增，则的最大值是__________. 例4．（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，，则__________． 【变式训练】 变式1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是____． 例4．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）函数，对都有，且在上单调，则的值为________ 考点五 已知函数值域求参数 【知识点解析】 1.三角函数的值域 （1）求值域的常见方法 单调性法、二次函数法、换元法、分离常数法、基本不等式法、判别式法. （2）对于函数 步骤一：确定变量范围，因为，所以. 步骤二：作图，并标出的边际范围. 步骤三：结合图像，确定最值，注明当为何值时，取得最值. （3）对于函数 步骤一：换元：令，由得新元的范围.（若无限制的范围，则.） 步骤二：讨论新函数在新元的范围内的值域. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）若函数在上无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·山东青岛·三模）若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 例3．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 例4．（2026·广东中山·模拟预测）已知函数在上的值域为，则的取值范围是__________． 【变式训练】 变式1．（2026·河北张家口·模拟预测）已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为__________. 变式4．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，且，若在区间上的值域是，则的取值范围是__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：已知三角函数的性质求参数问题5种高频考点复习讲义 考点目录 已知函数周期性求参数 已知函数奇偶性求参数 已知函数对称性求参数 已知函数单调性求参数 已知函数值域求参数 考点一 已知函数周期性求参数 【知识点解析】 1.函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. （1）若函数满足，则函数的周期. （2）若函数满足，则函数的周期. （3）若函数满足，则函数的周期. （4）若函数满足，则函数的周期. （5）若函数满足，则函数的周期. 2.三角函数的周期性 （1）对于函数和，周期. （2）对于函数、、，，周期. 3.已知函数的周期性求参数 （1）对于函数和，若已知函数周期为，则令，解方程得. （2）对于函数、、，，若已知函数周期为，则令，解方程得. 【例题分析】 例1．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数的图象的一个最高点和最低点的坐标分别为，，则的值可能为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由条件结合正弦型函数性质可得，再结合关系可得结论. 【详解】由题可知，其中为函数的最小正周期， 故，故，时，，故的值可能为6. 例2．（2026·北京顺义·三模）已知函数，若两个不等的实数满足且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】首先根据辅助角公式，确定函数的最值，再结合条件确定函数的最小正周期，即可求解. 【详解】，函数的最大值为，最小值为， 若，则都为最大值点，或都为最小值点， 所以是函数的最小正周期，所以，得. 例3．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则_______． 【答案】2 【分析】借助正切函数的对称性与周期计算即可得. 【详解】由题意可得，即，则. 故答案为：2. 例4．（2026·广东汕头·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则________. 【答案】1 【分析】根据正切函数周期公式求解即可. 【详解】依题意， 整理得，解得. 故答案为：1. 【变式训练】 变式1．（2025·广东·三模）已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】结合三角函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知，，，所以，，即，. 又，所以，，所以，. 因为，所以当时，取得最小值：. 故选：B. 变式2．（2026·福建宁德·二模）若的最小正周期为，且，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得：，解得：， 所以，又因为， 又，所以，所以，所以. 变式3．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数 的最小正周期为，则________. 【答案】12 【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得的值. 【详解】由于，依题意可知. 故答案为： 变式4．（2026·上海普陀·模拟预测）若函数的最小正周期为，则___________. 【答案】1 【分析】先将化简得，再根据周期公式得 【详解】由题意可知， ， . 故答案为：1 考点二 已知函数奇偶性求参数 【知识点解析】 1.函数的奇偶性 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数． 2.三角函数的奇偶性 （1）函数是奇函数. （2）函数是偶函数. （3）函数是奇函数. 3.已知函数的奇偶性求参数 （1）若函数是奇函数，则；函数是偶函数，则. （2）若函数是奇函数，则；函数是偶函数，则. （3）若函数是奇函数，则. 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数为偶函数， 则，即， 则， 即， 因不恒为0，则，解得. 例2．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数为偶函数，可得，解得结合题意判断即可． 【详解】依题意，，则， 又，则当时，， 故的最小值为. 故选：B． 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数为奇函数，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 例4．（2026·江西赣州·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】根据题意，先求得平移之后的函数，然后根据其关于轴对称，列出方程，即可得到，从而得到结果. 【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后， 得到函数的图像， 因为图像关于轴对称，所以，，则，. 令，得的最小值为. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（2026·河南鹤壁·一模）已知是偶函数，则（　　） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性运算，结合正弦函数奇偶性求出值. 【详解】函数是R上的偶函数，而是奇函数， 则函数是奇函数，，解得，此时是奇函数， 所以. 故选：D 变式2．（2026·福建厦门·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用变换得出曲线的方程，再结合正弦型函数的性质可得. 【详解】由题意可知，曲线：， 因为曲线关于轴对称，所以，即， 又，所以的最小值是. 故选：D 变式3．（25-26高三上·广东清远·阶段检测）若为偶函数，则______. 【答案】 【分析】根据偶函数的定义列出等式并化简，然后根据的范围求出其值即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 即，由题意得， 所以化简得. 所以，展开得. 即，因为该等式对于定义域内的任意恒成立，所以. 又，所以. 故答案为：. 变式4．（2026·辽宁大连·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，并图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，可得，从而结合题意可得的最小值. 【详解】， 图像向右平移个单位长度后得到是偶函数， ，的最小值为. 故答案为：. 考点三 已知函数对称性求参数 【知识点解析】 1.函数的对称性 （1）若函数满足，则函数关于对称. （2）若函数满足，则函数关于对称. （3）若函数满足，则函数关于对称. （4）若函数满足，则函数关于对称. （5）若函数满足，则函数关于对称. 2.三角函数的对称性 （1）对于函数 求对称轴：令，解方程得对称轴. 求对称中心：令，解方程得对称中心. （2）对于函数 求对称轴：令，解方程得对称轴. 求对称中心：令，解方程得对称中心. （3）对于函数 求对称中心：令，解方程得对称中心. （4）对称中心需写为点的形式，且注意纵坐标不一定为0，应该是. 3.已知函数的对称性求参数 （1）对于函数 ①若已知函数的一个对称轴为，则令，解方程即可得答案. ②若已知函数的一个对称中心为，则令，解方程即可得答案. ③若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围. （2）对于函数 ①若已知函数的一个对称轴为，则令，解方程即可得答案. ②若已知函数的一个对称中心为，则令，解方程即可得答案. ③若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围. 【例题分析】 例1．（2026·河北唐山·模拟预测）记函数的最小正周期为T，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意，求得，再由的图像关于点中心对称，得到，且，结合三角函数的性质，求得，进而求得的值． 【详解】因为函数的最小正周期为，且， 可得， 又因为函数的图像关于点中心对称，可得，且， 所以，即，可得， 解得，由，可得，，即， 所以． 例2．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】先利用已知点求出，再代入点 得到的表达式，最后结合 “无极点” 的条件确定的值. 【详解】函数 ，代入点，得：. 解得 或 . 若，则，解得，即, 若，则，解得，即, 极值点出现在处,当时，, 当，时，，此区间内无，满足无极值点条件, 当，时，，此区间内存在，有极值点, 其他选项验证均不满足条件. 综上，. 例3．（2025·甘肃定西·一模）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据得，即可根据条件列不等式求解. 【详解】由已知得，得． 令得；令得；令得；令得；令得， ，即的取值范围为． 故答案为：. 例4．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于区间内恰好有两个整数，再由得，进而得区间上有两个正整数解，再进一步转化为关于和整数的不等式组，通过讨论正整数的取值分类求解不等式组可得. 【详解】因为， 令，，则，， 函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合， 又在区间上恰好有两条对称轴， 由，得，,, 即区间内恰好有两个整数，且，得， 设两个整数为，则，即， 当的两个整数解为时，，则，即； 当的两个整数解为时，，则，即； 当的两个整数解为大于等时，时，因为， 所以不等式组无解； 综上所述，当的两个整数解为时，； 当的两个整数解为时，；无大于等的两个整数解. 因此的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（2026·福建福州·三模）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得. 点是函数的图象的一个对称中心， ，解得. ，，解得； ，符合条件的的最小值为1； . 变式2．（2026·河北邯郸·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】法一：根据对称性，有，代入计算即可得；法二：借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，利用正弦型函数性质计算即可得；法三：根据三角函数在对称轴处取极值，求导后代入计算即可得. 【详解】法一：根据对称性，有， 即，解得. 法二：，其中， 由题意，为函数的最值，所以， 即，即， 两边平方得，解得. 法三：根据三角函数在对称轴处取极值， 由， 则，解得. 变式3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数的对称中心是，则___________． 【答案】 【分析】利用辅助角公式，结合三角函数的性质可得，进而求得，从而代入求解即可得解. 【详解】因为，其中， 又的对称中心是知，则两个相邻的对称中心相距， 故的最小正周期，即，则， 所以，解得， 故. 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据余弦二倍角公式、辅助角化简函数解析式，结合余弦型函数的对称性进行求解即可. 【详解】 ， 所以. 当时，， 因为在区间上恰有3条对称轴， 所以. 故答案为： 考点四 已知函数单调性求参数 【知识点解析】 1.函数的单调性 一般地，设函数的定义域为： 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数，区间称为函数的单调增区间. 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数，区间称为函数的单调减区间． 单调性的证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 2.三角函数的单调性 （1）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. 求减区间：令，解不等式得减区间. （2）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. 求减区间：令，解不等式得减区间. （3）对于函数 求增区间：令，解不等式得增区间. （4）若，则先利用诱导公式进行化简，使得. （5）若且，求解单调区间时应代入相反区间. （6）答案需写成区间的形式，且注明. 3.已知函数的单调性求参数 （1）对于函数 ①若已知函数在递增，则周期且. ②若已知函数在递减，则周期且. （2）对于函数 ①若已知函数在递增，则周期且. ②若已知函数在递减，则周期且. 【例题分析】 例1．（25-26高一下·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过整体代换法，令给定区间内产生的相位范围成为余弦函数基本单调递增区间的子集，联立求解不等式组得出的取值范围. 【详解】设，， 由题意得， 即，， ，， 联立得，其中且，解得， 所以，. 例2．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出内层函数的取值范围，结合余弦函数的单调递增区间列不等式进行求解. 【详解】因为，， 令，则， 余弦函数的单调递增区间为， 因为在上单调递增， 因此区间需为某一单调递增区间的子集， 取时的递增区间为适配区间， 所以，解得，即的取值范围是. 例3．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数在区间上严格递增，则的最大值是__________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简，再结合正弦函数性质得到不等式组，进而求出参数范围即可. 【详解】由辅助角公式得， 因为，所以， 而在区间上严格增，且，则， 解得，可得的最大值是. 例4．（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，，则__________． 【答案】/ 【分析】由在区间上单调递减，用周期公式，缩小范围．得出对称中心，求出，解出即可． 【详解】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 【变式训练】 变式1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得， 当，得； 当，且，无交集； 当，由可知显然不符合题意， 所以的取值范围为． 变式2．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，可得， 要使得函数在区间上单调递减， 则满足，解得， 因为，当时，，即实数的取值范围为. 变式3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是____． 【答案】 【分析】由函数周期求得的取值范围，讨论的不同取值范围，由取值范围求得取值范围，由题意得到集合的包含关系，建立不等式组，结合题意求得的范围. 【详解】由题意可知，即，∴，即， ∵，∴， 由题意可知， 即，解得， 当时，取最小值， 当时，取最大值， 当，即时，， 取，则，且，则，即正实数的取值范围是. 例4．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）函数，对都有，且在上单调，则的值为________ 【答案】 【分析】根据，得到，结合在上单调可得，检验可得答案． 【详解】因为对都有， 所以，可得， ，， 又在上单调，，， 即，已知, 由，可得， 当时，， ，都有， 且当时，， 即函数在上单调递减，因此符合题意， 所以的取值为． 考点五 已知函数值域求参数 【知识点解析】 1.三角函数的值域 （1）求值域的常见方法 单调性法、二次函数法、换元法、分离常数法、基本不等式法、判别式法. （2）对于函数 步骤一：确定变量范围，因为，所以. 步骤二：作图，并标出的边际范围. 步骤三：结合图像，确定最值，注明当为何值时，取得最值. （3）对于函数 步骤一：换元：令，由得新元的范围.（若无限制的范围，则.） 步骤二：讨论新函数在新元的范围内的值域. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）若函数在上无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，在上第一次使得，解得， 当时，在上第二次使得，解得， 当时，函数在上无最小值，解得. 所以的取值范围为. 例2．（2026·山东青岛·三模）若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】通过换元转化为正弦函数的区间值域问题，采用选项代入验证法，直接检验各选项对应的区间内正弦函数的取值范围，快速筛选出符合条件的值. 【详解】设，由且，得， 此时的值域为等价于. 将选项依次代入验证： 当时，，存在使，，不符合，故A错误； 当时，，的最大值为（时），最小值为（时）， 故，符合条件，故B正确； 当时，，的最大值为，，不满足值域条件，故C错误； 当时，，的最大值，则，不符合值域条件，故D错误.. 例3．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 例4．（2026·广东中山·模拟预测）已知函数在上的值域为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据条件，利用余弦函数的性质可得，即可求解. 【详解】因为，， 又函数在上的值域为， 若，由余弦函数图象可知，存在，使，不合题意，所以， 由，得到， 由余弦函数图象可知，，解得， 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（2026·河北张家口·模拟预测）已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦函数性质结合题意得到不等式，由该不等式确定整数k的可能取值，进而求得ω的取值范围. 【详解】因为在区间上不存在最值， 又因为时， 所以，解得， 因为，所以，又因为，则，解得， 所以，又，则或， 当时，；当时，. 所以的取值范围是． 变式2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式、同角关系，将函数化为单一三角函数（如）的表达式，再将函数转为二次函数，明确的范围由的范围决定，根据开口、对称轴，确定其最值，求出值域边界对应的值；最后结合三角函数的取值/单调性，将的范围对应的范围，确定区间端点. 【详解】 令（）， 则， 其对称轴为，顶点处（）取得最大值， 令，解方程，得或（即最小值为4的对应值）， 要使取到最大值5，需包含在内，即，对应； 要使的最小值为4，需的范围包含或， 且不出现负数（否则），故（时为负）， 综上，的取值范围是. 故选：B. 变式3．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】借助余弦函数性质计算即可得. 【详解】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 变式4．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，且，若在区间上的值域是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由可得，代入化简可得，令，结合可得，再利用余弦函数性质列不等式计算求解. 【详解】根据可得，故， 故， 令，故或， 结合图象可知， 因此，故，即. 当时，， 又在区间上的值域是， 所以，解得， 即的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $