单调性的定义与证明问题、奇偶性的定义与证明问题专项训练-2026年初升高新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数单调性与奇偶性定义应用，通过真题典例构建"定义理解-证明推理-性质应用"的逻辑链条，培养数学推理能力与抽象思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性的定义与证明问题|3例+3变式（期中/开学考真题）|定义法证明单调性、求闭区间最值、解单调性不等式|以定义为核心，通过作差变形推导单调性，体现从概念到性质应用的逻辑推理| |奇偶性的定义与证明问题|3例+3变式（期末/阶段检测真题）|定义法判断奇偶性、结合奇偶性求解析式、解不等式|从定义域对称性入手，验证f(-x)与f(x)关系，构建奇偶性与单调性综合应用的思维路径|

暑假预习：单调性的定义与证明问题、奇偶性的定义与证明问题专项训练 暑假预习：单调性的定义与证明问题、奇偶性的定义与证明问题专项训练 考点目录 单调性的定义与证明问题 奇偶性的定义与证明问题 考点一 单调性的定义与证明问题 例1．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 例2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 例3．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法证明即可； （2）根据条件得出，再利用参变分离求函数最值即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 变式1．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 变式3．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为5，最小值为4 【分析】（1）先由条件求出的值，再利用函数的单调性定义证明； （2）利用函数的单调性计算即得函数在给定区间上的最值. 【详解】（1）因为函数，且，所以，解得， 故. 任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，即， 故函数在上为增函数. （2）由（1）知，函数在上为增函数，则其在上为增函数， 则， 故函数在区间上的最大值为5，最小值为4. 考点二 奇偶性的定义与证明问题 例1．（25-26高二下·浙江台州·期末）已知函数，． (1)当时，求证：函数是奇函数； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)当时，，定义域为， 因为，即， 所以函数是奇函数 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明. （2）利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）略 （2）由函数解析式可得 ， ， 得，由，得， 根据基本不等式，， 当且仅当，即时，取到最小值． 例2．（25-26高一上·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明如下： 定义在上的函数满足， 取，则，所以， ，取，则， 于是， 即， 所以为奇函数. (2) ，则，由当时，，得， ， 所以在上是增函数. (3). 【分析】（1）利用赋值法计算，再利用奇函数定义证明即可. （2）根据给定的等式，利用增函数的定义证明即可. （3）求出，结合给定等式化不等式为，再利用单调性求解即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，得， 不等式， 则，由（2）知，，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 变式1．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见详解. (3) 【分析】(1)代入已知点坐标，解方程组求出函数解析式中的参数. (2)通过判断与的关系，结合定义域的对称性，确定函数的奇偶性. (3)利用偶函数性质转化不等式，再结合函数在非负区间的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量绝对值的大小关系，进而求解不等式. 【详解】（1）将点，代入中，得方程组 （2）的定义域是，关于原点对称，对任意的，有，故是偶函数. （3）当时，单调递增，则在上单调递减， 又因为是偶函数，则在上单调递增； 由，结合偶函数与单调性的性质可得：， 两边平方并整理得：， 解得：或，因此，不等式的解集为：. 变式2．（25-26高一上·山西阳泉·期末）已知函数. (1)讨论函数的奇偶性； (2)判断函数在的单调性并用定义证明. 【答案】(1)奇函数 (2) 在上单调递增，证明如下： 在上任取，，且， ∵，∴，，∴， ∴，即， 故在上是增函数. 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断即可； （2）利用函数的单调性判断方法推理计算即得. 【详解】（1）∵，∴的定义域为 ∵，都有 且 ∴为奇函数. （2）略 变式3．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知函数（为非零常数）， (1)判断的奇偶性，并证明； (2)当时，若，判断的单调性并证明，求出函数的值域． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)函数在上是单调递增函数，证明见解析， 【分析】（1）判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，根据函数单调性的定义证明，利用单调性求值域即可. 【详解】（1）为奇函数．证明如下： 因为，所以的定义域为 又， 为奇函数. （2）当时，． 函数在上是单调递增函数． 证明：，且， 则 ，， ，，即， ，即 函数在上是单调递增函数. ，， 函数在上的值域为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：单调性的定义与证明问题、奇偶性的定义与证明问题专项训练 暑假预习：单调性的定义与证明问题、奇偶性的定义与证明问题专项训练 考点目录 单调性的定义与证明问题 奇偶性的定义与证明问题 例1.（25-26高一上广东广州期中)已知函数了)=2x+ X+2, 考点一 单调性的定义与证明问题 1)用定义法判海f(x在风 在区同2切)上的单调性， (2)求出该函数在区间 4] 上的最大值和最小值 例2，(2526高一下山东潍坊期中)已知函数f心)满足，0+)十2)， )求f() ②用定义法判断（冈在+切）上的单调性，并求四在2]上的值域 1 暑假预习：单调性的定义与证明问题、奇偶性的定义与证明问题专项训练 例3.(2526高一上：四川广安期中)已知函数f(x)=ar-(a>0). ④用定义法证明：函数f在区间0，切)上单调递增； 0活〔=2付)3，月布在.使得x-2+m,求实数加份取值能国。 变式1,2425高一上四川宜宾期中)已知函数/=2-：之0) ①用定义证明函数()在定义域D,+w)上为增函数 (②)求解不等式f(-)2f2x-49 暑假预习：单调性的定义与证明问题、奇偶性的定义与证明问题专项训练 变式2.（25-26高一上浙江杭州期中)已知函数f()=2出 x+1 (1)判断函数在区间 ,+0)上的单调性，并用定义证明你的结论. [1,4] (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 变式3.(25-26高一下安徽阜阳·开学考试)已知函数 (x)=x-a x,且f(0)=5. ①用定义证明函数在2+切）上是增函数： (2)求函数f(x)在区间[2,4]上的最大值和最小值 暑假预习：单调性的定义与证明问题、奇偶性的定义与证明问题专项训练 考点二 奇偶性的定义与证明问题 f)=a3+2+x 例1.(25-26高二下浙江台州期末)已知函 3+1 aeR. )当0=-2时，求证：函数)是奇函数： 1 回当>2时，求07可的小值 例2，(2526商-上广东广州期末)已知定义在R上的函数（四满足八：+）=/(+f)+3,且当>0时. f(x)>-3 )求f0)的值，并证明： F(x)=f(x)+3、 为奇函数： 2求正：（闪在R上是指函数 )若f0⑩=2，求不等武/(++-2)>9的解失. 暑假预习：单调性的定义与证明问题、奇偶性的定义与证明问题专项训练 1的经t写写 m f(x)= 变式1.(25-26高一上·福建漳州阶段检测)已知函数 (1)求(x)的解析式： (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)求不等式f(t-)>f(3-2)的解集. 变式2.(2526高-上山西阳泉期末)已知图数f()=+ )时论函数()的奇偶性： (②判断函数()在+四)的单调性并用完义证明。 暑假预习：单调性的定义与证明问题、奇偶性的定义与证明问题专项训练 变式3.(2526高一上'广东肇庆期末)已知函数/()=x- (a为非零常数)， ④少判断()的奇偶性，并证明； ②)当a=1时，若∈2,6，判断的单调性并证明，求出函数的值域. 6