精品解析：福建宁德市福鼎市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

福鼎一中2024-2025学年度第二学期高一第一次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的值为（    ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求解． 【详解】. 故选：B 2. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 3. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数周期，再由函数平移的性质结合余弦函数的诱导公式可得. 【详解】函数周期，所以函数的图象向右平移个周期可得. 故选：D 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得. 5. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 6. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值. 【详解】如图： 以为基底，则，，. 且，， 所以. 故选：D 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 方程在区间有5个不等实根 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象对称轴间的距离得出周期，再代入点得出，代入验证对称轴判断A，根据平移后的解析式得出函数不关于原点对称判断B，解方程求出根判断C，应用周期得出单调区间长度为周期一半判断D. 【详解】由题意相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，当时，，故． 由可得，由函数最大值为2可得，因此． A选项，，非最值，故不是的对称轴，A错误． B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误． C选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，C正确． D选项，的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误． 故选：C． 8. 已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则和的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由是偶函数可得的值，图象关于点对称可得函数关系 ，得，结合函数的单调区间即可确定答案. 【详解】由是偶函数，得，故， 所以对任意都成立，且， 所以，因为，所以． 由的图象关于点对称，得， 令得，所以， 因为，所以， 又，得，， 解得， 当时，，在上是减函数； 当时，在上是减函数； 当时，在上不是单调函数． 综上可得，或． 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得相应分，有选错的得0分） 9. 下列四个等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，，利用两角和的正切公式化简求解；对B，利用二倍角正弦公式，再转化为齐次式弦化切求解；对C，利用二倍角余弦公式求解；对D，通分，再利用两角差的正弦公式化简. 【详解】对于A， ， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， 故D错误. 故选：AB. 10. 已知正六边形的边长为，中心为，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 若为正六边形边上的一个动点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量的数量积计算可判断AD；易得判断B；利用投影向量的定义求得投影向量判断C. 【详解】由题意可得，故A错误； ，故B正确； 在的投影向量为，故C正确； 对于D：设与的夹角为，， 当在方向上的投影向量的模最大时，的数量积最大， 故点与点重合时，的数量积最大， 所以. 故选：BCD. 11. 若等边三角形的边长为为的中点，且交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若点为的中点，则 C. 为定值 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可得A错误，利用共线定理可判断B正确，由数量积的定义以及运算律计算可得C正确，得出的表达式可得当时，的最小值为，即D正确. 【详解】如下图所示： 对于A，易知当时，可得， 所以，即A错误， 对于B，若点为的中点，可知， 又可知， 易知为共线向量，所以可知，解得，即B正确； 对于C，由可知： 为定值，即C正确； 对于D， ， 又，可得当时，取得最小值为，即D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置） 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求出的值，再由余弦的二倍角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 则 . 故答案为：. 13. 在中，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量减法的三角形法则计算，结合数量积和三角形知识求模长得解. 【详解】解析 如图，延长CB至点D，使，连接AD． 在中，，，． 即，展开得到， 将代入，解得．所以． 故答案为：. 14. 已知，且，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将，运用差角公式展开，化简，得到.结合 又，代入后，得到，结合基本不等式计算即可. 【详解】因为， 所以， 即，即. 又， 等号当且仅当时成立，所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，． （1）若点，，，试用基底表示； （2）若，且点P在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设求出的坐标，根据平面向量的基本定理有求出，即可得结果. （2）设，由已知得求出关于的表达式，结合所在象限列不等式求的范围. 【小问1详解】 ，，，，， 所以． 由题意，知存在实数m，n，使得， 即， 可得解得 所以． 【小问2详解】 设，则． 又， 则即 又点P在第四象限，所以解得， 故的取值范围是． 16. 已知，且． （1）求的值： （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正切公式和两角差的正切公式即可求解； （2）根据已知角的范围及三角函数值，结合同角三角函数的平方关系和商数关系求出，由二倍角的正切公式求出，再由及差角正切公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， ， 则， 因为，所以. 17. 已知，其图象一个对称轴为， （1）求的解析式及单调递减区间； （2）若函数上有个不同的零点，求的取值范围； （3）若在上最小值为，求使不等式成立的的取值集合. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化函数解析式为：，再根据函数对称轴确定的值，将看做整体，即可求解函数的单调递减区间； （2）将看做整体，结合已知条件即可确定的取值范围； （3）将看做整体，结合函数的最小值，确定，即可求解不等式的解集. 【小问1详解】 根据已知有：， 因为图象一个对称轴为，所以， 解得，又因为，所以， 所以； 由， 解得：， 所以函数的单调递减区间为：. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为函数上有个不同的零点， 令，即， 根据题意有：，即，解得， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以，解得， 所以， ，即，所以， 所以，解得， 所以使成立的的取值集合为：. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于将看成整体，再根据正弦函数的单调性，值域解析本题. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. （1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； （2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？ （3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？ 【答案】（1），； （2）5分钟 （3）17.5分钟 【解析】 【分析】（1）理解题意依次求得,由公式计算出，代点求出即得； （2）依题意，解三角方程即可求得； （3）依题意可得，由此解得，，由（2）知，即得时，. 【小问1详解】 由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，； 【小问2详解】 令，得，解得， 即，因，则，解得， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米； 【小问3详解】 由题意知，， 因中间间隔5个座舱，则有， 依题意，，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同. 【点睛】思路点睛：正确理解题意，求出正弦型函数解析式中的参数，再根据题设要求，利用三角恒等变换等相关知识点，求解对应的三角方程或三角不等式即可. 19. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】（1）函数不具有性质；函数具有性质 （2）存在，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【小问1详解】 ，， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； 【小问2详解】 若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； 【小问3详解】 由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎一中2024-2025学年度第二学期高一第一次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的值为（    ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 方程在区间有5个不等实根 D. 在上单调递增 8. 已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则和的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得相应分，有选错的得0分） 9. 下列四个等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正六边形的边长为，中心为，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 若为正六边形边上的一个动点，则的最大值为 11. 若等边三角形的边长为为的中点，且交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若点为的中点，则 C. 为定值 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置） 12. 已知，则________． 13. 在中，，则__________． 14. 已知，且，则的最大值是__________. 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，． （1）若点，，，试用基底表示； （2）若，且点P在第四象限，求的取值范围． 16. 已知，且． （1）求的值： （2）求的值． 17. 已知，其图象一个对称轴为， （1）求的解析式及单调递减区间； （2）若函数上有个不同的零点，求的取值范围； （3）若在上最小值为，求使不等式成立的的取值集合. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. （1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； （2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？ （3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？ 19. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $