精品解析：福建厦门市同安实验中学2024-2025学年第二学期高一第一次月考数学试题

厦门市同安实验中学2024—2025学年度第二学期高一年级第一次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题:本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数所对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若， ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则（ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. 6. 若三点，，在同一条直线上，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径 ，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 若，则存在唯一的实数p，q，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 10. 已知复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若 为纯虚数，则 B. 若 为实数，则 C. 若 在复平面内对应的点在直线上，则 D. 在复平面内对应的点不可能在第三象限 11. 对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，，，则的面积为或 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简______. 13. 一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里/小时，如果轮船希望用10分钟的时间从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为______； 14. 如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则__________，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为___________． 四、解答题:本题共5小题，共77分. 15. 复数z在复平面对应点A在第一象限，且，且实部是虚部的2倍 （1）求； （2）在复平面内B，C两点对应的复数分别为1， ，判断的形状. 16. 已知向量的夹角为 （1）求 （2）求 ; （3）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17. 如图，在 中，，，，，. （1）试用和表示； （2）求的值. 18. 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（ ）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问： （1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ （2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 19. 在△ABC中，内角，，的对边分别为，，， . （1）求； （2）若的平分线交于点，，的面积为，求的长度； （3）若，求周长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2024—2025学年度第二学期高一年级第一次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题:本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数所对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】找出复数所对应的点即可求解. 【详解】复数所对应的点的坐标为， 所以位于第一象限， 故选：A. 2. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理解三角形. 【详解】中，由正弦定理，得. 故选：B 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量基底的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，由，得不共线，B是； 对于C，，向量共线，C不是； 对于D，，向量共线，D不是. 故选：B 4. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两向量垂直，它们的数量积结果为零，再根据向量之间的关系可得到两向量夹角的余弦值，即可求得结果． 【详解】由，得，则， 又（其中 为与的夹角，），所以， 又，所以，所以， 故选：C． 5. 在中，若，则（ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，， 所以由余弦定理可得： ，所以 . 故选：B 6. 若三点，，在同一条直线上，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由三点共线可得，结合求解即可. 【详解】因为、、三点共线，所以， 又因为，， 所以，解得. 故选：C. 7. 如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，先得到，，在 中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又 ， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在 中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径 ，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】计算得出，求出的取值范围，由此可求得的取值范围，从而可得最小值. 【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、 均为边长为的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以，. 所以，. 的最小值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 若，则存在唯一的实数p，q，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据选项，分别代入，再根据向量坐标公式，即可判断选项. 【详解】A：当时，不共线，所以可以作为一组基向量， 由平面向量基本定理得，存在唯一的实数p，q使得，所以A正确； B：若，则， 所以不成立，所以B错误； C：若，则， 所以，所以C正确； D：若，则， 所以在上的投影向量为，所以D正确． 故选：ACD 10. 已知复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若 为纯虚数，则 B. 若 为实数，则 C. 若 在复平面内对应的点在直线上，则 D. 在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D. 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数 在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若 为纯虚数，则，解得，故A正确； 对于B：若 为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若 在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以 在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：ABD 11. 对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，，，则的面积为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理分析判断；对于B：根据正弦函数结合角的范围分析判断；对于C：利用正、余弦定理边角转化分析判断；对于D：利用余弦定理结合面积公式运算求解. 【详解】设角所对的边为， 对于选项A：若 ，则，由正弦定理可得 ，故A正确； 对于选项B：若， 因为，则， 可得或，则 或， 可知是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于选项C：若，则， 由正弦定理可得，即， 则，且， 可知角钝角，可知为钝角三角形，故C正确； 对于选项D：因为，，， 由余弦定理可得：，即，解得或， 所以的面积为或，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量加法和减法法则即可得到答案. 【详解】. 故答案为： 13. 一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里/小时，如果轮船希望用10分钟的时间从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为______； 【答案】15海里/小时 【解析】 【分析】先求出船的实际速度，再利用勾股定理得到轮船的速度. 【详解】设船的实际速度为，船速，水的流速， 则海里/小时， ∴海里/小时. 故答案为：15海里/小时 14. 如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则__________，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】表达出，利用向量数量积公式得到；设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为. 【详解】，， 故， ， 故 ； 点为线段（含端点）上的动点，设，， ， ， 其中， ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 15. 复数z在复平面对应点A在第一象限，且，且实部是虚部的2倍 （1）求； （2）在复平面内B，C两点对应的复数分别为1， ，判断的形状. 【答案】（1） ， （2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）设复数 ，根据实部是虚部的2倍结合复数的模长公式即可求解； （2）根据复数的几何意义得出三点的坐标，然后计算三边长度，根据勾股定理即可判断. 【小问1详解】 设复数 ，因为 对应点在第一象限，所以 . 由题意：实部是虚部的2倍，得；又，所以，即 ， 与联立解得， ， 因此 ，共轭复数 . 【小问2详解】 由题意得三点坐标：  ， ， ，   ，  ， ， 可得， 因此是直角三角形. 16. 已知向量的夹角为 （1）求 （2）求 ; （3）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用定义求解数量积； （2）根据向量模的性质可得，结合数量积的性质求结论； （3）将条件转化为 且与不反向，然后计算，解不等式即可得到结果. 【小问1详解】 由已知条件可得 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由于 ， 若与反向，可得， ， 所以 ，所以 ， 因为与的夹角为钝角， 所以 ，且与不反向， 所以 且 ，即且 . 所以的取值范围是. 17. 如图，在 中，，，，，. （1）试用和表示； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先用、表示，然后由可将用和表示； （2）利用平面向量数量积的定义和运算律可计算出的值. 【详解】（1），，，，， 因此，； （2），，，， . 【点睛】本题考查平面向量的基底表示，同时也考查了平面向量数量积的计算，要充分利用平面向量加法和减法的三角形法则，考查计算能力，属于中等题. 18. 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（ ）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问： （1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ （2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 【答案】（1）缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向 （2）缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船 【解析】 【分析】（1）根据题求得，由正弦定理求得，得到，得出为水平线，即可得到答案； （2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，得到，结合正弦定理求得，进而得到答案. 【小问1详解】 由题意，可得， 则 ， 在中，由正弦定理，即， 解得，因为，所以，所以为水平线， 所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向． 【小问2详解】 设经过时间小时后，缉私船追上走私船， 在中，可得， 由正弦定理得， 因为为锐角，所以， 所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船． 19. 在△ABC中，内角，，的对边分别为，，， . （1）求； （2）若的平分线交于点，，的面积为，求的长度； （3）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边化角，再根据三角诱导公式以及两角和的正弦公式即可求解； （2）根据面积公式结合面积关系即可求解； （3）根据余弦定理和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 根据正弦定理， 边化角得：  ， 又 ，故 ， 代入上式整理得：  ， 因为 ， ，所以， 又 ，得. 【小问2详解】 由三角形面积公式： ，得 ，  是角平分线，故，由面积关系， 设， 则​ ， 代入 得：​，解得. 【小问3详解】 由余弦定理：  ，  即 ，得 ，  由基本不等式，代入得：   当且仅当 时等号成立， 所以的周长， 故的周长最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $