精品解析：山西省三晋联盟山西名校2025-2026学年高二上学期11月期中联合考试数学试题

2025-2026学年三晋联盟山西名校高二11月期中联合考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可得， 由椭圆的定义得到另一个焦点的距离为. 故选：B 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化双曲线方程为标准方程即可求解. 【详解】由题意得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 3. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个圆的位置关系直接判断可得. 【详解】由题意得，圆的半径为，圆的半径为3，圆心. 因为，所以圆与圆外离，所以圆与圆的公切线的条数为4. 故选：A. 4. 已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 5. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（ ） A. 9 B. 18 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】如图： 设的焦距为，由题意得， 又， 可得，得. 故选：C 6. 已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由点差法即可求解. 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 7. 已知分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过P作垂直于x轴，垂足为Q，根据坐标判定，由特殊直角三角形计算即可. 【详解】易知，过P作垂直于x轴，垂足为Q， 显然，得， 则. 在中，由，得， 得． 故选：C 8. 如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，平面，为垂足，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】选择恰当的基底，由空间向量的线性运算及数量积运算的法则求解即可. 【详解】由题可知， ,. 分别取的中点，连接，则. 所以，. 所以， 因为，， 所以 . 因为，，， 所以 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是空间直角坐标系中的一点，则（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点到平面的距离为3 D. 点到轴的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】由空间直角坐标系点的概念逐项判断即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为，A错误. 点关于轴对称的点的坐标为，B正确. 点到平面的距离为3，C正确. 点到轴的距离为，D错误. 故选：BC 10. 已知，曲线，则下列判断正确的是（ ） A. 可能表示圆 B. 可能表示焦点在轴上的双曲线 C. 若表示双曲线，则 D. 若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆、双曲线、椭圆的标准方程的特点，依次判断即可. 【详解】当时，，曲线的方程化为：，表示圆，故A正确. 由，得，所以不可能表示焦点在轴上的双曲线，故B错误. 若表示双曲线，因为，所以须使，得，故C正确. 若表示焦点在轴上的椭圆，则，得，得， 所以，， 所以的焦距为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在等腰梯形中.为线段上的一点.以，为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】如图，建系，设，通过题中条件写出的坐标，得到的坐标，求出.设，则有，代入坐标得到用表示的的坐标，将的坐标代入，得到，利用在上单调递减，得到离心率的范围. 【详解】如图，以的中点为原点，建立直角坐标系，如图所示，设，得，易得， 则. 设，则，得， 则，将， 代入的方程，得，得， 则. 因为函数在上单调递减， 所以，故. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点到抛物线的准线的距离为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题知的准线为直线，再根据距离公式求解即可. 【详解】由题意得的准线为直线， 所以点到抛物线的准线的距离为：，解得. 所以. 故答案为： 13. 某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求得椭圆方程，进而计算出镜子的高度. 【详解】如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系， 设椭圆的方程为，焦距为. 由，得， 所以椭圆的方程为. 当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）. 故答案为： 14. 已知是等轴双曲线的右焦点，关于原点对称的点，均在上，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设的左焦点为，得四边形是平行四边形，则，结合双曲线定义可求得，在中，利用余弦定理求得，进而得到求得答案. 【详解】等轴双曲线，则，则. 设的左焦点为，根据对称性易得四边形是平行四边形， 则. 由得或 在中，，则， 得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，直线. （1）求过，且与平行的直线的一般式方程； （2）求过，且与垂直的直线的斜截式方程； （3）已知直线，直线经过点，且，，三线共点，求的倾斜角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查直线的平行、垂直关系以及直线倾斜角的计算，解题的关键在于掌握直线的斜率公式、平行和垂直直线斜率的关系以及倾斜角与斜率的关系. 【小问1详解】 直线的斜率为； 因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的一般式方程为. 【小问2详解】 因为所求直线与垂直，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的斜截式方程为. 【小问3详解】 联立直线方程得到 ，解得， 依题意，直线，，的公共交点为， 设的倾斜角为则 ， 因经过点，所以 ， 因为，所以. 16. 已知圆的半径为. （1）求； （2）若为圆上的一个动点，，求的取值范围； （3）若过点的直线与圆交于两点，且，求的方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，根据半径的值求出； （2）先求出圆心与点的距离，再结合圆的半径得到的取值范围； （3）分直线斜率存在和不存在两种情况，根据弦长公式求出直线方程. 【小问1详解】 由， 得，则，得； 【小问2详解】 由题意得，得，则在圆外， 所以.故的取值范围为； 【小问3详解】 设到的距离为.由，得. 当的斜率不存在时，，符合题意； 当的斜率存在时，设，即. 由，得， 所以的方程为. 故的方程为或； 17. 已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求抛物线方程即可； （2）①设，，，联立抛物线并应用韦达定理求，纵坐标的乘积；②利用三角形面积公式列方程求参数，即可得斜率. 【小问1详解】 由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； 【小问2详解】 ①易得的斜率不为0，设，，， 由，得，得，故，纵坐标的乘积为. ②由， 所以，则，故的斜率为. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，平面与平面的夹角的余弦值为，. （1）证明：平面平面. （2）求三棱柱的体积. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的定理证明平面，由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立恰当的空间直角坐标系，三棱柱的体积转化为，可求结果； （3）根据两平面夹角的计算方法，可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 在正方形中，. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 设，则. 因为，，且， 所以，即. 因为，所以. 设平面的法向量为. 因为，， 所以，令，则. 易得平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，， 所以. 【小问3详解】 解：设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 设平面与平面的夹角为. 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在点 【解析】 【分析】（1）将，两点坐标代入椭圆方程，可求得，从而得到椭圆的方程； （2）设，由两点间距离公式和椭圆方程联立可将表示成关于的函数，从而求得其最小值； （3）分斜率存在和不存在两种情况，设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理及向量垂直的坐标表示，得直线过定点，由此点在以为直径的圆上，即的中点到点D的距离为定值.所以存在定点，使得为定值. 【小问1详解】 由题意得，解得. 所以的方程为. 【小问2详解】 设.由，得， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 【小问3详解】 存在点，使得为定值.理由如下： 当的斜率存在时，设点，，. 由得，得 由题意得，则， 所以 ， 化简得. 因为不在直线上，所以， 所以，即， 则的方程为， 故直线过定点. 当的斜率不存在时，设点，得， 则. 由，得，得或（舍去）. 故方程为：，经过点. 综上，直线过定点. 令为的中点，则，点在以为直径的圆上. 当与重合时，，当与不重合时，. 故存在点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年三晋联盟山西名校高二11月期中联合考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（ ） A. 9 B. 18 C. D. 6. 已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，平面，为垂足，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是空间直角坐标系中的一点，则（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点到平面的距离为3 D. 点到轴的距离为 10. 已知，曲线，则下列判断正确的是（ ） A. 可能表示圆 B. 可能表示焦点在轴上的双曲线 C. 若表示双曲线，则 D. 若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 11. 如图，在等腰梯形中.为线段上的一点.以，为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（ ） A. B. C. 2 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点到抛物线的准线的距离为，则_____. 13. 某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为__________. 14. 已知是等轴双曲线的右焦点，关于原点对称的点，均在上，且，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，直线. （1）求过，且与平行的直线的一般式方程； （2）求过，且与垂直的直线的斜截式方程； （3）已知直线，直线经过点，且，，三线共点，求的倾斜角. 16. 已知圆的半径为. （1）求； （2）若为圆上的一个动点，，求的取值范围； （3）若过点的直线与圆交于两点，且，求的方程. 17. 已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，平面与平面的夹角的余弦值为，. （1）证明：平面平面. （2）求三棱柱的体积. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $