精品解析：吉林长春市实验中学2025-2026学年下学期第三学程考试高一数学试卷

长春市实验中学 2025-2026学年下学期第三学程考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由复数除法运算法则得： ， 故. 2. 北中高中部有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 200 B. 192 C. 176 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比求解即可． 【详解】由，解得． 3. 如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由图可得，. 4. 某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（ ） A. 该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B. 该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C. 2024年该校本科达线人数增加了80% D. 2024年该校不上线的人数有所减少 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形统计图及各人数的百分比进行计算即可. 【详解】不妨设2023年的高考人数为a，则2024年的高考人数为. 由图可知2023年本科达线人数为，2024年本科达线人数为， 故2024年与2023年的本科达线人数比为9：5，故A不正确； 本科达线人数增加了，故C正确； 2023年专科达线人数为，2024年专科达线人数为， 所以2024年与2023年的专科达线人数比为9：7，故B错误； 2023年不上线人数为，2024年不上线人数也是，不上线的人数无变化，故D错误. 故选：C. 5. 在所在平面内一点P满足：，则点P是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以， 所以，所以，同理可得，， 故点P是的垂心. 故选：B. 6. 如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 7. 甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，甲同学：中位数为22，众数为20；乙同学：中位数为25，平均数为22；丙同学：第40百分位数为22，极差为2；丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8．根据四名同学的统计结果，可以判断出四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】假设5个正整数数据分别为，结合中位数、众数、平均数、百分位数、极差、方差的性质，判断能否小于即可得. 【详解】假设5个正整数数据分别为； 对甲：由题意可得，，故所有的数都不小于，故甲符合； 对乙：若5个正整数数据分别为、、、、， 此时中位数为，平均数为，但存在数据小于，故乙不符； 对丙：，故，即，， 则，则， 则，故，故所有的数都不小于，故丙符合； 对丁： ， 故，整理得， 解得，由为正整数，故， 故所有的数都不小于，故丁符合； 综上所述：四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数为人. 8. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.测得到，的俯角和分别为，，到，的俯角分别为，，同时测得.则山顶，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在中利用角度关系求得 ，再在中利用正弦定理求得 ，最后在中由已知夹角  及两边 、，用余弦定理求出 ． 【详解】在中，，，所以． 由余弦定理，得，即， 在中，，由正弦定理，得， 所以． 在中，，由余弦定理得，， 即，即． 所以，之间的距离为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（    ） A. B. 向量不是共面向量 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙对立 B. 甲、丙互斥 C. 甲、乙相互独立 D. 乙、丙相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】先列举出各事件包含的基本事件，并求其概率，对于AB：根据互斥、对立事件的定义分析判断；对于CD：根据独立事件概率乘法公式分析判断. 【详解】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种， 甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”记为事件A， 则，可得； 乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7” 记为事件B， 则，可得； 丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12” 记为事件C， 则，可得； 对于A：因为，可知事件甲、乙不是互斥事件，更不可能为对立事件，故A错误； 对于B：因为，即事件甲、丙不可能同时发生，所以事件甲、丙互斥，故B正确； 对于C：因为，则，即，所以甲、乙相互独立，故C正确； 对于D：因为，则，即，所以乙、丙不相互独立，故D错误； 故选：BC. 11. 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成的角为60° C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理证明即可；对于B，根据线面垂直的判定定理及线面角的定义求解即可；对于C，根据对称性得到，即在中求最小值即可；对于D，根据等体积法及棱锥体积公式求解即可. 【详解】对于A，连接，，由对称性可知，平面， 且，相交于点，为和的中点， 又，故四边形为菱形，故， 又平面，平面，所以平面，A正确. 对于B，连接，则，相交于点， 因为四边形为正方形，故， 由A选项，同理可得到四边形为菱形，故， 又，平面，故平面， 故直线与平面所成的角为， 且由题意得，，故， 故，B错误； 对于C，由对称性可得，，若使最小，只需最小， 在等边三角形中，当为的中点时，，此时最小，且， 故若点为棱上的动点，则的最小值为，C正确； 对于D，，其中到平面的距离为， 设菱形的面积为，则，， 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角所对的边分别为，，已知，，，则角等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】已知中两边及一边的对角，则利用正弦定理计算另一边的对角，利用三角形内角和计算第三个角． 【详解】因为中，由正弦定理可知：； 因为，，，代入可得：； 解得：；因为，故； 故． 13. 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，那么这个正三棱锥的体积等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据所给条件画出图形，再根据正三棱锥的性质计算求出高，在根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】如图正三棱锥中，为的中点，则， 设为三角形的重心，则底面， 又， 所以，即这个正三棱锥的高是， 又， 所以； 故答案为： 14. 记的外心为点O，且，则的最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设的三边分别为，利用三角形的外心的性质推得，根据向量数量积的运算律将待求式化成二次函数，利用其性质即可求得最小值. 【详解】 如图，设的三个内角所对的边分别为，因点是的外心， 过点分别作于，于，则. 于是，， ， 故（*）， 因即，也即， 代入（*），可得， 因，故当时，取得最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1）， （2）因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 16. 第33届世界大学生冬季运动会将于2027年1月15日至1月25日在中国长春-吉林举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于60分的人数； （2）试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； （3）若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人中至少有1人的成绩在的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，成绩低于60分的区间为和， 对应的频率分别为0.002×10=0.02，0.016×10=0.16， 所以低于60分的总频率为0.02+0.16=0.18，人数为200×0.18=36人. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知,低于80分的频率为， 低于90分的频率为0.70+0.02×10=0.90， 所以第85百分位数位于内，设为， 则，解得， 所以估计这200名学生成绩的第85百分位数为. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知,，，这三个区间对应的频率分别为0.30，0.20，0.10， 它们的比值为3：2：1，若采取分层抽样抽取6人，则这三个区间所占人数分别为3人，2人，1人， 现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，“至少有1人的成绩在”的对立事件是“2人的成绩都不在”， 所求的概率为. 17. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若D是边AB的中点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可以求解； （2）令，利用正弦定理，把边长都用表示，最后用三角函数知识解得取值范围. 【小问1详解】 因为 所以， 所以，又因为，所以； 【小问2详解】 令,因为，所以 由正弦定理可得： , 所以， 所以， 又因为，所以 所以 18. 某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学､文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛.已知甲､乙两名同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率分别为，每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加. （1）若，求甲没有进入决赛的概率； （2）若，求甲､乙均只通过一轮的概率； （3）设甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为，若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)题意结合独立事件的概率公式求出甲进入决赛的概率，再求甲没有进入决赛的概率； (2)先求出甲只通过一轮的概率和乙只通过一轮的概率，再根据独立事件的概率公式求解； (3)根据独立事件和对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 因为每次是否通过互不影响，甲同学通过第一轮的概率分别为， 通过第二轮的概率为，甲进入决赛的概率， 所以甲没有进入决赛的概率； 【小问2详解】 已知甲､乙两名同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率分别为， 甲只通过一轮的概率为：； 乙只通过一轮的概率为：， 因为甲、乙的比赛情况相互独立，所以甲､乙均只通过一轮的概率； 【小问3详解】 设甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为， 甲进入决赛的概率为；乙进入决赛的概率为， 两人都不进入决赛的概率为， 甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为， 两人均进入决赛的概率为， 若，所以， 即. 19. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角为； （i）证明：平面平面； （ii）棱上是否存在点，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：如图，取中点，连接． 因为为中点，故．由已知有． 又由于为中点，因而，故四边形为平行四边形， 所以．又平面，而平面，所以平面． （2）（i）证明：如图，连接． 因为，而为中点，故， 所以为二面角的平面角． 在中，由，，可解得． 在中，由，，可解得． 在中，，，，由余弦定理，可解得， 从而，即． 又，从而，因此平面． 又平面，所以平面平面． （ii）棱上不存在点，使. 理由：假设棱上是存在点，使. 由（i）知，，因为，，所以，因此两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有 ， 因为点在棱上,设，， 因为，所以，解得. 此时此时点在的反向延长线上，与因为点在棱上矛盾. 所以棱上是不存在点，使. 【解析】 【分析】（1）可以先证明，利用线面平行的判定定理，可证明平面； （2）（i）先证平面，可用面面垂直的判定定理，证明即可（ii）假设棱上存在点，使，利用空间向量法进行验证得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 2025-2026学年下学期第三学程考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为（ ） A. B. C. D. 2. 北中高中部有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 200 B. 192 C. 176 D. 96 3. 如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（ ） A. 该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B. 该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C. 2024年该校本科达线人数增加了80% D. 2024年该校不上线的人数有所减少 5. 在所在平面内一点P满足：，则点P是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 6. 如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，甲同学：中位数为22，众数为20；乙同学：中位数为25，平均数为22；丙同学：第40百分位数为22，极差为2；丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8．根据四名同学的统计结果，可以判断出四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.测得到，的俯角和分别为，，到，的俯角分别为，，同时测得.则山顶，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（    ） A. B. 向量不是共面向量 C. D. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙对立 B. 甲、丙互斥 C. 甲、乙相互独立 D. 乙、丙相互独立 11. 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成的角为60° C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角所对的边分别为，，已知，，，则角等于______． 13. 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，那么这个正三棱锥的体积等于______. 14. 记的外心为点O，且，则的最小值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 16. 第33届世界大学生冬季运动会将于2027年1月15日至1月25日在中国长春-吉林举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于60分的人数； （2）试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； （3）若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人中至少有1人的成绩在的概率． 17. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若D是边AB的中点，且，求的取值范围． 18. 某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学､文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛.已知甲､乙两名同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率分别为，每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加. （1）若，求甲没有进入决赛的概率； （2）若，求甲､乙均只通过一轮的概率； （3）设甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为，若，求的值. 19. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角为； （i）证明：平面平面； （ii）棱上是否存在点，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $