精品解析：吉林长春市十一高中2025-2026学年高一下学期第三学程考试数学试题

长春市十一高中2025-2026学年度高一下学期第三学程考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位）的实部是（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为．所以复数的实部为. 2. 以下是甲、乙两名射击运动员的射击成绩频率分布条形图，分别设甲、乙的方差为、，则下列说法正确的是（ ） A. ，甲的成绩更稳定 B. ，乙的成绩更稳定 C. ，甲的成绩更稳定 D. ，乙的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据图中数据的离散程度来比较方差，进而比较稳定性即可． 【详解】由图可知，甲的数据比较分散，乙的数据比较集中， 所以，乙的成绩更稳定． 3. 设m是实数，已知，，若，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量平行的坐标运算求解答案． 【详解】由，设，即． 4. 某次朗诵比赛，9位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效分.7个有效分与9个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的概念和性质，判断正确结果. 【详解】对于A：平均数 原始分 = {1，1，1，1，1，1，1，8，9}，原始平均数 . 有效分 = {1，1，1，1，1，1，8}，有效平均数 = 2. 平均数改变，因此不满足“一定不变”，故A错误； 对于B：中位数 原始9个分数排序后，中位数是第5个值（奇数个数据）.去掉最高分（第9个）和最低分（第1个）后，剩余7个分数排序后为原序列的第2至第8个值，其中位数是第4个值，正好对应原序列的第5个值. 因此，无论原始分如何，中位数一定不变.故B正确； 对于C：众数 众数是出现次数最多的值.移除最高和最低分可能改变频率分布，导致众数改变. 例如，原始分 = {1，1，2，3，4，5，6，7，7}，众数为1和7（各出现2次）；有效分 = {1，2，3，4，5，6，7}，所有值出现1次，无众数（改变）. 因此不满足“一定不变”，故C错误； 对于D：方差 方差衡量数据离散程度。移除极端值（最高和最低分）通常会减小方差，因为减少了数据波动. 例如，原始分 = {1，8，8，8，8，8，8，8，9}，方差 大于0；有效分 = {8，8，8，8，8，8，8}，方差 = 0（减小）. 因此不满足“一定不变”，故D错误. 故选：B. 5. 如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积. 【详解】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径， 设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点， 连接，如图， 因为圆台上､下底面的半径分别为3和4， 所以，， 所以，, 所以， 所以圆台体积. 故选：D. 6. 已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用向量的线性运算，得，再利用空间向量数量积的运算及空间向量数量积的定义，即可求解. 【详解】设，则， ，所以. 故选：B. 7. 若随机事件，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由概率的加法公式可得，从而得，由对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为， 又因为, 所以， 即， 解得. 8. 如图，已知四面体中，平面，，，，点为线段中点，则四面体外接球球心到平面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，根据题意，证得，得到为四面体外接球球心，得到点到平面的距离为点到平面的距离的一半，设点到平面的距离为，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为平面，且平面，所以， 在直角中，可得， 又由平面，且平面，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，且为的中点，可得，所以， 所以为四面体外接球球心， 因为为的中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的一半， 设点到平面的距离为， 因为，，点为线段中点，可得， 在直角中，可得， 所以， 且， 则，且， 因为，即，解得， 所以点到平面的距离为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9. 某高中学校高一年级参加“三新”联考，现从高一（1），（2），（3）班共120名学生的数学成绩中随机抽取30份，若按性别比例分层随机抽样，则男生数学成绩抽取18份，被抽取的女生平均分为100分，方差为5，男生平均分为110分，方差为10.则下列结论正确的有（ ） A. 样本容量为30 B. 120名学生的数学成绩中男生有72人 C. 估计高一年级数学平均分为106分 D. 估计高一年级数学方差为7 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，根据样本容量的概念判断；对B，根据分层抽样的定义计算；对C，根据分层抽样的平均数公式计算；对D，根据分层抽样的方差公式计算. 【详解】对于A，从中随机抽取30名，则样本量为30，故A正确； 对于B，设120名学生的数学成绩中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人， 所以，解得，所以120名学生的数学成绩中男生有72人，故B正确； 对于C，按性别比例分层随机抽样，男生数学成绩抽取18份，则女生数学成绩抽取12份， 设高一年级数学平均分为，所以，故C正确； 对于D，估计高一年级数学方差，故D错误. 故选：ABC. 10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若的外心为，则 C. 若，则周长的最大值为 D. 若，且有两解，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用余弦定理整理即可；B选项，根据外心的性质计算；C选项，根据余弦定理得到关系，然后利用基本不等式得到的最大值即可得到周长的最大值；D选项，根据三角形有两解列不等式，然后解不等式即可. 【详解】对于A，由和余弦定理，得， 即， 即，则，故A正确； 对于B，取中点，连接，则为中点且， ，故B正确； 对于C，若，由余弦定理，，即， 则，当且仅当时等号成立， 解不等式得到，所以周长的最大值为6，故C错误； 对于D，若，且有两解，则，即，故D正确. 11. 如图，直四棱柱各棱长均为2，底面为菱形，且，点是棱上的动点（包含端点），记四棱柱的体积为．以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 点在运动过程中，如果记三棱锥体积的最大值为，最小值为，则 C. 当点位于时，三棱锥的外接球半径为 D. 直线与平面所成的角的正切值的最大值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】A.代入体积公式，判断A，B.利用补体，结合点到平面的距离比值，判断B，C.根据几何体的特征，代入外接球的半径公式，判断C，D.根据线面角的定义，求正切值，判断D. 【详解】A. 因为平面 平面，所以点到的距离为， 因为平面，所以点到平面的距离为点到平面的距离， 也是点到直线的距离，为， 所以， 而，所以三棱锥的体积为，故A错误； B.如图，再补一个和完全相同的四棱柱， 平面即平面，交平面于点， 点到平面的距离为点到平面的距离的， 所以当点在点时，三棱锥的体积最小，最小值为， 当点在点时，三棱锥的体积最大，最大值为，所以，故B正确； C.，，所以， 则外接圆的半径为， 所以当点位于时，三棱锥的外接球半径，故C正确； D.因为，所以点到平面的距离为点到平面的距离， 也是点到直线的距离，为，且点在平面的射影落在直线上， 点与直线上的点的距离的最小值为点到直线的距离，为, 所以直线与平面所成的角的正切值的最大值为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 【答案】 13 【解析】 【详解】由题可得：甲组年龄平均数为：，乙组年龄平均数为：， 要想使甲组的1人调到乙组后甲、乙两组人员的平均年龄都变大，只需保证甲里面调出的1人年龄小于，大于即可， 所以调出的人年龄为13岁. 13. 如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过展开图，计算弧长和圆心角，蚂蚁所爬的最短路径为展开图中直线的距离，通过余弦定理直接计算边长. 【详解】将圆锥展开如图所示，因为底面直径 所以，因为， 所以， 在中，， 由余弦定理得：， 所以. 蚂蚁所爬的最短路径长为. 14. 若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定非空子集的个数；根据“完美集合”的定义，可列举出所有“完美集合”，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】集合共有9个元素， 则集合有个非空子集. 根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有. 若中含有元素，由于无意义，不满足定义，故不是完美集合； 若中含有元素，则要求，但不在原集合中，故不满足定义； 同理，含有或的集合也不是完美集合， 因此，完美集合只能是集合的非空子集， 其中满足完美集合的有、、、、、、，共7个， 所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个， 所以非空子集中不是完美集合的概率是. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为弧上异于点，的一点，为的中点． （1）求圆柱的表面积； （2）求证：平面． 【答案】（1） （2）证明：证法一： 取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以，. 又，， 所以 ， 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面 ， ， 所以平面. 证法二：连接， 因为为的中点，为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为平面， 平面， 所以平面. 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面. 因为， 平面 ， 平面 ， 所以平面平面. 又 平面 ，所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式求侧面积，再求底面积，相加可得表面积. （2）方法一：构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行； 方法二：构造面面平行，先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再利用面面平行的性质证明线面平行. 【小问1详解】 因为， 所以圆柱的母线长，底面半径， 则圆柱的侧面积 . 所以圆柱的表面积. 【小问2详解】 略 16. 如图，四边形为圆内接四边形，，，． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 是的内角，，， . 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 由正弦定理得 ， . 【小问2详解】 四边形为圆内接四边形，， ，. 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 的面积 . 17. 某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计所抽取的100份成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法从和两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名学生进行交流分享，求这2名交流分享的学生成绩均在区间的概率； 【答案】（1） （2）平均数为74分，中位数75 （3） 【解析】 【分析】（1）利用所有长方形的面积之和是1求出即可； （2）利用平均数和中位数的求法直接求出； （3）利用分层抽样抽取4人，然后再利用超几何分布求出概率, 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，可得，解得; 【小问2详解】 样本成绩的平均数为：分; ，，的频率之和为0.35，所以中位数在之间，设中位数为x，则，得; 【小问3详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在的频率为，答卷成绩在的频率为，所以样本答卷成绩在和的人数比为3∶1，即从答卷成绩在和中分别抽取3人和1人, 记为A，B，C，，从这4人中随机抽取2名依次交流，则样本空间为： ，共有6种情形，即, 设事件“2名进行交流分享的学生成绩均在区间”，则事件，共有3种，即， 由古典概型的概率计算公式，可得， 所以2名进行交流分享的学生成绩均在区间的概率为. 18. 某联欢晚会举行抽奖活动，抽奖箱中有大小和质地相同的6个小球，其中有3个红色球（标号为1，2，3），2个黄色球（标号为4，5），1个白色球（标号为6），活动嘉宾从箱中有放回地依次随机摸出2个球． （1）设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球的标号之和为偶数”．判断事件与是否相互独立，并说明理由； （2）主办方制定了以下两种兑奖方案： 方案1：若2个球的颜色相同，则中奖； 方案2：根据2个球的标号计算得分，得分规则为：若2个球的标号之和为偶数，则得分为两球标号之和的一半；否则，得分为标号中较大的数．若得分（，），则中奖． 若方案2的中奖率高于方案1，求的最大值． 【答案】（1）与不相互独立； 设第一次摸到的小球标号记为，第二次摸到的小球标号记为， 则样本空间，， 且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型， 因为， 所以，所以． 因为 ， 所以，所以． 因为， 所以，所以， 因为，所以与不相互独立． （2）4 【解析】 【分析】（1）分别求出事件的概率及，再利用独立事件判断规则计算求解； （2）拆分方案2得分规则，计算相关概率，结合方案1的概率判断求出满足条件的最大整数． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知：方案1的中奖概率为． 方案2：由得分规则得：的可能取值为1，2，3，4，5，6，其对应的样本点分布如下表所示： 1 2 3 4 5 6 两球标号之和为偶数 两球标号之和为奇数 记事件“得分为”，两两互斥． ，，，，，， 显然越小，方案二中奖的概率（）越大， 又当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 因此整数的最大值为4． 19. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成夹角的大小； （3）点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 【答案】（1）由四边形为矩形，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及判定定理推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）令，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，则， 因此是平面的一个法向量，而是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 解得，所以平面与平面的夹角大小为. 【小问3详解】 由（2）得，由点在线段上，， 即，则点，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 而，直线与平面所成角的大小为， 因此，解得， 即点与点重合，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2025-2026学年度高一下学期第三学程考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位）的实部是（　　） A. B. 1 C. D. 2. 以下是甲、乙两名射击运动员的射击成绩频率分布条形图，分别设甲、乙的方差为、，则下列说法正确的是（ ） A. ，甲的成绩更稳定 B. ，乙的成绩更稳定 C. ，甲的成绩更稳定 D. ，乙的成绩更稳定 3. 设m是实数，已知，，若，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 某次朗诵比赛，9位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效分.7个有效分与9个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 若随机事件，满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四面体中，平面，，，，点为线段中点，则四面体外接球球心到平面距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9. 某高中学校高一年级参加“三新”联考，现从高一（1），（2），（3）班共120名学生的数学成绩中随机抽取30份，若按性别比例分层随机抽样，则男生数学成绩抽取18份，被抽取的女生平均分为100分，方差为5，男生平均分为110分，方差为10.则下列结论正确的有（ ） A. 样本容量为30 B. 120名学生的数学成绩中男生有72人 C. 估计高一年级数学平均分为106分 D. 估计高一年级数学方差为7 10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若的外心为，则 C. 若，则周长的最大值为 D. 若，且有两解，则的取值范围为 11. 如图，直四棱柱各棱长均为2，底面为菱形，且，点是棱上的动点（包含端点），记四棱柱的体积为．以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 点在运动过程中，如果记三棱锥体积的最大值为，最小值为，则 C. 当点位于时，三棱锥的外接球半径为 D. 直线与平面所成的角的正切值的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 13. 如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 14. 若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为弧上异于点，的一点，为的中点． （1）求圆柱的表面积； （2）求证：平面． 16. 如图，四边形为圆内接四边形，，，． （1）求； （2）若，求的面积． 17. 某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计所抽取的100份成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法从和两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名学生进行交流分享，求这2名交流分享的学生成绩均在区间的概率； 18. 某联欢晚会举行抽奖活动，抽奖箱中有大小和质地相同的6个小球，其中有3个红色球（标号为1，2，3），2个黄色球（标号为4，5），1个白色球（标号为6），活动嘉宾从箱中有放回地依次随机摸出2个球． （1）设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球的标号之和为偶数”．判断事件与是否相互独立，并说明理由； （2）主办方制定了以下两种兑奖方案： 方案1：若2个球的颜色相同，则中奖； 方案2：根据2个球的标号计算得分，得分规则为：若2个球的标号之和为偶数，则得分为两球标号之和的一半；否则，得分为标号中较大的数．若得分（，），则中奖． 若方案2的中奖率高于方案1，求的最大值． 19. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成夹角的大小； （3）点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $