精品解析：吉林长春市实验中学2025-2026学年下学期第二学程考试高一数学试卷

长春市实验中学 2025-2026学年下学期第二学程考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则，则. 2. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题. 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件； ，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得， 又， 所以向量在向量上的投影向量为． 4. 如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， ， 又， 则由平面向量基本定理可知，，得， 则. 5. 如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解. 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 6. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥， 则圆锥的高为 （ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设扇形半径为，根据题意，得到，求得圆锥的母线长，结合圆锥的几何性质，即可求解. 【详解】由题意知，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，因为扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得， 即，解得，所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的高为. 故选：B. 7. 在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求，结合三角形面积公式求出面积即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得：， 因此， 则， 而，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以． 8. 如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 因为在正方体中，， 所以 ， 所以， 即的最小值是 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A. 直线与为异面直线 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对 A，利用异面直线的判定定理，通过判断直线与平面的位置关系判定；对 B，利用线面平行的判定定理，结合正方体中证明；对 C，先计算底面的面积，再根据三棱锥体积公式计算的体积并判断正误；对 D，通过确定截面为等边三角形，计算其边长和周长判断. 【详解】对于A，因为平面，平面，，所以直线与为异面直线，A正确； 对于B，因为在正方体中，，平面，平面，所以平面，B正确； 对于C，则由正方体的性质可得为等腰直角三角形，所以的面积为2，故三棱锥的体积为，C错误； 对于D，连接,则平面即为平面，截面图形为等边三角形，所以平面截正方体所得截面的图形的周长为，D正确. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若为斜三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由，利用正弦定理得到，再利用二倍角的正弦公式化简判断；B.由，利用大角对大边得到，再利用正弦定理判断；C.由为锐角三角形，得到，，得到，再利用正弦函数的单调性判断；D.在中，由，得到，两边取正切，再利用两角和的正切公式化简判断. 【详解】A. 若，则，即， 则 或，即或， 所以一定是等腰三角形或直角三角形，错误； B.若，则，由正弦定理得， 所以，则，即，正确； C. 若为锐角三角形，则，因为，所以， 则，因为在上递增，所以， 即，正确； D.在中，，则，所以， 因为为斜三角形，所以都有意义，所以， 因为，所以， 即， 即，正确. 11. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 侧棱与底面夹角的正切值为 C. 若为的中点，则平面BDE D. 该四棱台的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出正四棱台体积判断A；求出侧棱与底面夹角正切判断B；利用线面平行判定推理判断C；求出外接球半径求解判断D. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为， 对于A选项，因为正方形ABCD的边长为，正方形的边长为， 所以 ，台体的高为， 由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A正确； 对于B选项，侧棱与底面夹角的正切值为，B错误； 对于C选项，当点为的中点时，易知为AC的中点，则， 因为平面平面BDE，故平面，C正确； 对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 解得，故， 因此，该四棱台的外接球表面积为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义，令复数的实部为0且虚部不为0，联立方程与不等式求解即可. 【详解】根据纯虚数的定义：对于复数，当且仅当且时，该复数为纯虚数， 因为复数为纯虚数，m为实数， 所以，即，解得. 13. 某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 【答案】120 【解析】 【分析】由频率和为1，列式先求出的值，再求对应区间的频数即可． 【详解】因为，解得， 所以此次考试的数学成绩位于区间的人数约为． 故答案为：120． 14. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理，结合三角恒等变换化简计算即可求解. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以， 即， 整理得，即. 因为，，均为锐角，所以，即， 又，所以. 因为，，均为锐角，所以，即，解得. 由正弦定理得， 因为，所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因 则 可得； 【小问2详解】 因， ， 设向量与的夹角为， 则. 16. 如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥体积之间的关系及体积公式求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 17. 已知，，． （1）求函数的解析式； （2）求在上的最大值和最小值． （3）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）最大值，最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算规则计算得到展开式，再利用二倍角公式、辅助角公式化简整理，即可得到的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦函数的性质，即可计算出的最大、最小值； （3）先由​结合B的范围求出角B，再利用余弦定理得到边的关系，结合基本不等式求最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）由， 则. （2）当时，. 则当（即）时，取得的最大值为1； 当（即）时，取得的最小值为. 故的最大值为，最小值为. （3），即， 为的内角，. 故. . 则. 又，由余弦定理， 得，即. 由均值不等式得：， 即，从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：. 18. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理计算可得，可求； （2）由三角形面积公式以及向量表示，利用向量数量积的运算律可得的最小值为. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 由余弦定理可得， 因为， 所以. 【小问2详解】 由已知，所以. 因为，所以， 可得， 所以 ， 又， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. 19. 如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面. （2）若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i），理由见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）先利用梯形性质得出为等边三角形，翻折后仍为等边三角形，再通过勾股定理证明，结合，证明 平面，从而推出平面平面. （2）（i）利用面面平行的性质，结合中位线定理，通过线线平行推导线面平行，再由面面平行的判定定理得出； （ii）由（i）知为的中点，先证 ，算出、，再由得 ，得出 ，用等面积法得到棱的距离，通过三棱锥体积转换 ，算出到平面的距离，通过计算即可求得结果. 【小问1详解】 证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. 【小问2详解】 （ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 2025-2026学年下学期第二学程考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥， 则圆锥的高为 （ ） A. B. C. 4 D. 7. 在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 8. 如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A. 直线与为异面直线 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若为斜三角形，则 11. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 侧棱与底面夹角的正切值为 C. 若为的中点，则平面BDE D. 该四棱台的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 13. 某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 14. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 16. 如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 17. 已知，，． （1）求函数的解析式； （2）求在上的最大值和最小值． （3）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 18. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 19. 如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面. （2）若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $