第二章 再练一课(范围：§2.1～§2.3)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

再练一课(范围：§2.1～§2.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．已知A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)三点在同一直线上，则实数m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　∵A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)三点在同一直线上， ∴直线AB的斜率和直线AC的斜率相等， 即＝，∴m＝2. 2．若过点P(1，－1)且斜率为k的直线l与直线y＝－2x＋3的交点位于第一象限，则k的取值范围是(　　) A．(－4,2) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案　C 解析　由题知直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，显然k≠－2. 将其与y＝－2x＋3联立得 解得 故交点坐标为. 因其在第一象限，则 解得k<－4或k>2. 故k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 3．若直线l1：mx＋2y＋1＝0与直线l2：x－m2y＋＝0垂直，则实数m的值为(　　) A．0 B．－或0 C．0或 D. 答案　C 解析　由题意得m＋2(－m2)＝0， 解得m＝0或. 4．下列说法错误的是(　　) A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1,0) B．若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率k＝ C．若两条直线互相垂直，其中一条直线的一个方向向量为v＝(x0，y0)，则另一条直线的一个方向向量为a＝(y0，－x0) D．任何直线一定存在方向向量 答案　B 解析　直线垂直于y轴，则(1,0)是该直线的一个方向向量，故A正确； 若a＝0，直线的一个方向向量为(0,1)，则该直线的斜率不存在，故B错误； 若两条直线互相垂直，则他们的方向向量互相垂直，若v＝(x0，y0)是其中一条直线的一个方向向量，因为x0y0＋y0(－x0)＝0，所以a＝(y0，－x0)能作为另一条直线的一个方向向量，故C正确； 任何直线一定存在方向向量，从直线上任取两个不相同的点所得到的向量，都是直线的方向向量，故D正确． 5．若直线2x＋3y－k＝0和x＋ky－12＝0的交点在y轴上，则k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．±24 答案　C 解析　∵直线2x＋3y－k＝0和x＋ky－12＝0的交点在y轴上，显然k≠0， 令x＝0，可得y＝＝，解得k＝±6. 6．点(1,1)关于直线l：x＋y＋2＝0对称的点的坐标为(　　) A．(－1，－1) B．(－2，－2) C．(0,0) D．(－3，－3) 答案　D 解析　设点M(1,1)关于直线l：x＋y＋2＝0对称的点N的坐标为(x，y)， 则MN中点的坐标为， 利用对称的性质得kMN＝＝1， 且＋＋2＝0， 解得x＝－3，y＝－3， ∴点N的坐标为(－3，－3)． 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A(－3，－4)，B(6,3)，交通枢纽C(0，－1)，计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线，l的斜率为k)，则下列说法正确的是(　　) A．若A，B两个镇到马路l的距离相等，则k＝或 B．若A，B两个镇到马路l的距离相等，则k＝或 C．若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为 D．若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为∪(1，＋∞) 答案　AD 解析　若A，B两个镇到马路l的距离相等， 当l与直线AB平行时，k＝＝； 当直线AB与l相交时，直线过AB的中点， 又AB的中点为， 所以k＝＝，故k＝或. 若A，B两个镇位于马路的两侧， 则kAC＝＝1，kBC＝＝， 故k的取值范围为∪(1，＋∞)． 8．若直线l1：x－y－5＝0，l2：Ax－By＋3＝0，l3：Ax＋2y＋1＝0，且l1∥l2，l1⊥l3，则(　　) A．A＝－2 B．B＝2 C．l1，l2之间的距离为 D．l2，l3的交点坐标为 答案　BCD 解析　由l1∥l2及l1⊥l3得 解得A＝B＝2，故A错误，B正确； 则l2：2x－2y＋3＝0，l3：2x＋2y＋1＝0， 又l1：x－y－5＝0即2x－2y－10＝0， 所以l1，l2之间的距离为＝，故C正确； 由解得 所以l2，l3的交点坐标为，故D正确． 9．△ABC的三个顶点坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，C(6,7)，下列说法中正确的是(　　) A．边BC与直线3x－2y＋1＝0平行 B．边BC上的高所在的直线的方程为3x＋2y－12＝0 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y－13＝0 D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3,5) 答案　BD 解析　直线BC的斜率为＝， 而直线3x－2y＋1＝0的斜率为， 所以两直线不平行，A错误； BC边上高所在直线的斜率为－，又直线过点A(4,0)， 则所求直线的方程为y＝－(x－4)， 即3x＋2y－12＝0，B正确； 当过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时，方程为x＋y－13＝0， 当直线过原点时，方程为y＝x，即7x－6y＝0，C错误； 过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点，坐标为(3,5)，D正确． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为________． 答案　3 解析　因为一条中线所在直线的斜率为1， 所以此中线所在直线的倾斜角为45°， 可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为75°，15°，135°， 因为tan 135°＝－1，tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝＝＝2＋， tan 15°＝tan(45°－30°)＝ ＝＝2－， 即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为2＋，2－，－1， 所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3. 11．若直线l1：2x－y＋m＝0与直线l2：mx－(m－1)y－3＝0平行，则m＝________；直线l1与l2的距离为________． 答案　2　 解析　l1：2x－y＋m＝0与l2：mx－(m－1)y－3＝0平行， 故－2(m－1)＋m＝0，解得m＝2； 此时l1：2x－y＋2＝0，l2：2x－y－3＝0， 两平行线的距离为＝. 12．已知0<x<2,0<y<1，则＋＋＋的最小值是________． 答案　2 解析　设P(x，y)，O(0,0)，A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)， 因为0<x<2,0<y<1，则点P(x，y)在矩形ABCO的内部，如图所示， 可得＋＋＋ ＝|OP|＋|CP|＋|AP|＋|BP| ＝(|OP|＋|BP|)＋(|CP|＋|AP|)≥|OB|＋|AC|＝2， 当且仅当P为OB，AC的交点时，等号成立． 四、解答题(共37分) 13．(12分)已知坐标平面内M(m＋3,3m＋5)，N(2m－1,1)两点． (1)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m的取值范围；(7分) (2)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2 024)，求m的值．(5分) 解　(1)当直线MN的倾斜角为锐角时， k＝>0， 解得－<m<4； 当直线MN的倾斜角为钝角时， k＝<0， 解得m<－或m>4， 所以当直线MN的倾斜角为锐角时，－<m<4，为钝角时，m<－或m>4. (2)因为直线MN的方向向量为a＝(0，－2 024)， 所以直线的斜率不存在， 所以m＋3＝2m－1，且3m＋5≠1， 解得m＝4. 14．(12分)已知直线x－2y＋3＝0和直线x＋y－3＝0的交点为P，求过点P且与A(2,3)和B(4，－5)距离相等的直线方程． 解　联立解得 交点为P(1,2)，分两种情况： 所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点． 直线AB的斜率为＝－4， 线段AB的中点坐标为(3，－1)． ①当所求直线与直线AB平行时， 所求直线的方程为y－2＝－4(x－1)， 即4x＋y－6＝0； ②当所求直线过AB的中点时， 所求直线的斜率为＝－， 故所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 即3x＋2y－7＝0. 综上所述，所求直线的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 15．(13分)在平面直角坐标系Oxy中，O为坐标原点，已知直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0. (1)求直线l1与l2的交点坐标；(5分) (2)过点P(3,0)作直线l与直线l1，l2分别交于点A，B，且满足＝，求直线l的方程(8分)． 解　(1)由得 所以直线l1与l2的交点坐标为. (2)由＝中点， 设B(x0，－3－x0)，则A(6－x0,3＋x0)， 把点A(6－x0,3＋x0)代入l1方程2x－y－2＝0， 得2(6－x0)－(3＋x0)－2＝0，解得x0＝， 所以B， 所以kl＝＝8， 即直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $