圆的方程：公切线问题、公共弦问题、对称问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆的方程：公切线问题、公共弦问题、对称问题专项训练 圆的方程：公切线问题、公共弦问题、对称问题专项训练 考点目录 公切线问题 公共弦问题 对称问题 考点一 公切线问题 1．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 6．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中·多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山西运城·期末）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条. 9．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 10．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 11．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，直线，直线，. (1)探求与是否垂直； (2)若，判断与圆的位置关系； (3)若，求圆与圆公切线的条数. 12．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 13．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 14．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 考点二 公共弦问题 1．（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 3．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习·多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 6．（25-26高二上·云南·阶段练习·多选）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．公共弦所在直线方程为 C．两个圆的圆心所在直线的斜率为 D．两圆的公切线有2条 7．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 8．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 9．（24-25高二上·甘肃·期末）已知圆，圆． (1)若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； (2)若圆与直线相交于两点，且，求的值． 10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知三个顶点分别，，，记的外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)若动圆与圆相交与，两点，当最长时，求的值. 11．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 12．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）已知圆，圆. (1)若圆与圆恰有三条公切线，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求. 考点三 对称问题 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）与圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（   ） A．2 B． C．4 D． 4．（2025·江西赣州·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 8．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）与圆关于直线对称的圆的标准方程为 . 9．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为 （写出其中一条公切线方程即可）. 10．（24-25高二上·广东·阶段练习）一束光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M. (1)求光线从点P到点M经过的路程； (2)求反射光线所在直线的方程. 11．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆． (1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程； (2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆的方程：公切线问题、公共弦问题、对称问题专项训练 圆的方程：公切线问题、公共弦问题、对称问题专项训练 考点目录 公切线问题 公共弦问题 对称问题 考点一 公切线问题 1．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D 2．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由两圆的公切线恰有四条，即两圆相离， 对于，圆心，半径， 对于，圆心，半径， 所以，则，即或. 故选：D 3．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 4．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 5．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 6．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为.    故选：C. 7．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中·多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 8．（24-25高二上·山西运城·期末）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条. 【答案】 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为， 的圆心坐标为，半径为， 则圆心距为， 故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条， 故答案为：3 9．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为， ∴，半径为， 因为， ∴，半径为， 若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切， ∴， 由于，故， 解得，即的最小值为， 故答案为：. 10．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 11．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，直线，直线，. (1)探求与是否垂直； (2)若，判断与圆的位置关系； (3)若，求圆与圆公切线的条数. 【答案】(1)答案见解析 (2)相离 (3)0 【详解】（1）因为， 若，则与垂直； 若，则与不垂直. （2）当时，，圆， 则圆的圆心为，半径为， 因圆心到直线的距离为， 与圆相离. （3）当时，圆，圆， 则圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则两圆得圆心距为， 则圆与圆内含，其公切线的条数为0. 12．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的圆心坐标为，半径为. 因为圆过点和，根据圆的标准方程. 对于点有，即 ①. 对于点有，即 ②. 将②代入①可得：. 展开得. 移项化简得，即，解得. 把代入②得. 所以圆的标准方程为. （2）如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点在圆上显然满足题意的是.下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线. 圆心到切线（即）的距离（∗）， 圆心到切线（即）的距离（∗∗）， 两个式子比，得到由 .化简得到， 则或者.即或者. 当时，代入方程（∗），得到，两边平方整理得，解得或. 当时，代入方程（∗），同样得到，解得. 由于且由图知道，因此，. 故满足题意的的斜率为.    13．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 14．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1)， (2)，和 【详解】（1）圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为. 点到的距离为，所以公共弦长为. （2）结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3， 圆与圆有一条公切线为：. 直线与的交点为. 设另一条公切线的方程为，即， 则点到公切线的距离，解得. 此时满足点到直线的距离为1， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和. 考点二 公共弦问题 1．（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 2．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】圆：  ①，所以，. 圆：  ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为. 故选：A 3．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 点为直线上一动点，设， 由题意知在以PC为直径的圆上， 且圆心为，半径为， 则此圆的方程为， 化简得：， 与圆相减，得直线AB的方程：， 即，由，解得， 所以直线过定点. 故选：A. 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习·多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 6．（25-26高二上·云南·阶段练习·多选）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．公共弦所在直线方程为 C．两个圆的圆心所在直线的斜率为 D．两圆的公切线有2条 【答案】ABD 【详解】对于A，的圆心，半径， 的圆心，半径， 计算两圆心之间的距离， 比较d与，， 因为，所以两圆相交，选项A正确. 对于B，即， 即， 相减并化简得：，选项B正确. 对于C，圆心，，根据斜率公式，选项C错误. 对于D，两圆位置关系为相交，相交的两圆公切线有两条，选项D正确. 故选：ABD. 7．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 8．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【答案】9 【详解】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径， 法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9； 法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为： 到距离为，所以，即， 又， 所以，四边形的面积. 故答案为：9. 9．（24-25高二上·甘肃·期末）已知圆，圆． (1)若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； (2)若圆与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，得，解得． ，， 两式相减得． 又两圆公共弦所在直线的方程为，即， 所以，即，满足，故； （2）圆化为标准方程：．设圆的半径为． 在中，取的中点，连接，如图． 因为，所以． 又因为为圆心到直线的距离，所以， 所以，解得． 10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知三个顶点分别，，，记的外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)若动圆与圆相交与，两点，当最长时，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设圆的方程是①， 由于圆是的外接圆，故，，三个点都在圆上， 所以它们的坐标都满足①的解，把它们的坐标依次代入①的方程， 得到关于，，的一个三元一次方程组，，解得， 所求的圆的方程是，标准方程是. （2）由于两圆相交，联立两圆方程， 作差，得， 要使得最长，则此时过点，即为圆的直径， 将点代入得，，结合，得 11．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． （2）将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 12．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）已知圆，圆. (1)若圆与圆恰有三条公切线，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因圆与圆恰有条公切线，所以两圆相外切 圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 所以，得，解得或. （2）当时，圆，此时两圆的圆心距，两圆相交. 将两圆方程相减得直线的方程为. 所以圆心到直线的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 考点三 对称问题 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）与圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆有， 设圆关于直线对称的圆为， 则有， 所以圆关于直线对称的圆为， 故选：D. 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点P坐标为，点Q坐标为. 因为点P和点Q关于直线对称， 所以，整理得：，即点Q坐标为. 因为点P在圆：上，点Q在圆：上， 所以，即. 则是方程组的解， 则圆和圆的位置关系是相切或者相交. 又因为圆的圆心坐标为圆，半径为； 圆的圆心坐标为圆，半径为， 所以两圆的圆心间距离为， 则由两圆的位置关系可得：，解得：. 故选：C. 3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】 设，根据题意，点与点关于直线对称， 因此线段的中点在直线上，且与该直线垂直. 即，.化简得. 因为点Q在圆C上，所以，即. 两式结合，得，，即点坐标为. 所以直线的方程为. 设线段中点为，连接. 圆心到直线的距离. 又因为圆的半径为，所以. . 所以. 故选：C 4．（2025·江西赣州·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为， 所以与两点所在直线，与垂直，故. 故选：D 5．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆:的圆心，半径 ，当、、三点共线（点在、两点之间）时，取等号， 点关于轴的对称点为，， 当、、三点共线时，取等号.    所以的最小值为. 故选：B. 6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】圆，即， 圆心为，半径 圆，即， 圆心为，半径， 设点关于直线对称的点为 ， 则 ，解得：， 圆关于直线对称的圆为圆， 其圆心为，半径， 则其方程为， 设圆上的点与圆上点对称，则有， 原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题， 如图所示： 连接，与直线交于点， 此时点是满足最小的点， 此时， 即的最小值为， 故答案为： 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 8．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）与圆关于直线对称的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意得，圆，化简得， 所以圆心坐标为，半径， 设圆心关于直线的对称点的坐标为 得，解得，则所求圆的圆心坐标为，半径也为， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 9．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为 （写出其中一条公切线方程即可）. 【答案】或或或（写出其中一个即可） 【详解】如图：任意圆与圆关于直线对称，为圆与圆的一条公切线， ∵圆与圆关于直线对称，∴， ∵为圆与圆的公切线，∴，∴， 由圆与圆关于直线对称，∴圆与圆的半径相等，即， ∴，且到的距离为， ∵，∴，，∴， 设其中一条公切线，则，即， 故圆与圆的公切线. ∵圆心到直线的距离，∴圆与圆相离， ∴圆与圆有4条公切线，由对称性可知公切线与交于一点， 设与圆相切与点，则， ∵，，∴， ∵，∴轴，轴， ∴故圆与圆的公切线或. 故答案为：或或或（写出其中一个即可）. 10．（24-25高二上·广东·阶段练习）一束光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M. (1)求光线从点P到点M经过的路程； (2)求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)4 (2)或 【详解】（1）设点关于直线的对称点为， 则，解得，即. 又圆心，所以， 则光线从点P到点M经过的路程为. （2）由题可知反射光线经过点，易知反射光线的斜率存在， 故设反射光线为，即. 又圆心，所以，解得或. 故反射光线所在直线的方程为或. 11．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆． (1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程； (2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 设点关于直线对称点，则， 解得，而圆的半径为2， 所以圆的标准方程为. （2）由直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，得分成的劣弧所对圆心角为， 圆心到直线的距离， 直线过点，且点到该直线距离为1，则直线可以为； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $