2.2 直线方程（九大重点题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.2 直线方程 目录●重难点题型分布 重难点题型1 直线的点斜式方程 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 4．已知过点的直线的倾斜角为，则直线的方程为 A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）过点且斜率为2的直线方程为_____. 6．（24-25高二上·北京·期中）直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为__________. 7．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）将直线绕点逆时针旋转得到的直线的点斜式方程是_______. 8．过点且方向向量为的直线的方程为___________． 9．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 重难点题型2 直线的斜截式方程 1．（25-26高二上·广东·期中）过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东烟台·阶段检测）在x轴上的截距为1且方向向量为的直线的方程是_____________. 6．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为_________________． 7．过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______． 8．（25-26高二上·广东·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程. 重难点题型3 直线的两点式方程 1．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点和的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 5．在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 6．在中,,则边上的中线所在的直线的一般方程为_________. 7．经过点，的直线在轴上的截距为________． 重难点题型4 直线的截距式方程 1．（25-26高三下·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 2．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 4．（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 5．（24-25高二上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 6．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 7．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 9．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： (1)直线的斜率为2； (2)直线在轴、轴上的截距相等． 10．求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 重难点题型5 直线的一般式方程 1．（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下·上海·期中）直线的法向量可以是（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 5．（多选题）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 6．（多选题）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 7．（多选题）已知直线：，则下列结论正确的有（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线的倾斜角为 C．直线与直线垂直 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 8．（25-26高二上·上海·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 重难点题型6 直线过定点问题 1．（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限 C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则 3．（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 5．直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 6．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 7．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线l始终过定点______． 重难点题型7 判断直线的平行 1．（25-26高二上·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 2．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知直线，，若，则的值为________． 4．已知直线，直线，且，则的值为__________. 5．已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 6．（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 重难点题型8 判断直线的垂直 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 4．直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 5．已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 重难点题型9 直线方程综合应用 1．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆万州·阶段检测）在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴､轴的正半轴交于点.当直线的斜率为__________时，的周长最小，其最小周长是__________. 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 5．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知两条直线和相交于点，则过两点，的直线的方程为________. 6．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 7．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线方程 目录●重难点题型分布 重难点题型1 直线的点斜式方程 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 2．（24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据给定条件，利用直线方程的点斜式求出方程即得. 【详解】依题意，所求直线方程为，即. 故选：B 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析 【分析】首先求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程，从而判断直线不过第几象限. 【详解】对于直线（为斜率），直线，其斜率，设其倾斜角为，根据，可得，又因为倾斜角，所以. 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角. 直线的斜率. 因为直线过点，根据直线的点斜式方程（为直线上一点，为斜率），可得直线的方程为，即. 直线的斜率为负，截距为负，所以直线不过第一象限. 故选：D. 4．已知过点的直线的倾斜角为，则直线的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解． 【详解】∵直线的倾斜角为，∵直线的斜率， 又直线过点， 由直线方程的点斜式可得直线的方程为，即． 故选B． 【点睛】本题考查直线的点斜式方程，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题． 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）过点且斜率为2的直线方程为_____. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意得直线方程为， 化简得，即. 故答案为： 6．（24-25高二上·北京·期中）直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为__________. 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 7．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）将直线绕点逆时针旋转得到的直线的点斜式方程是_______. 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，先确定所求直线的斜率，在用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为. 将直线绕点逆时针旋转，所得直线的倾斜角为， ， 所以所求直线的点斜式方程为. 故答案为：. 8．过点且方向向量为的直线的方程为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解 【详解】因为直线过点且方向向量为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即， 故答案为： 9．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.95 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 重难点题型2 直线的斜截式方程 1．（25-26高二上·广东·期中）过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求斜率再由点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题知的斜率为，所以的方程为， 令，得. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再由给定条件列式求出斜率范围. 【详解】依题意，直线的方程为，由，得， 因此，即，解得或， 所以斜率k的取值范围是或. 故选：D 3．若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先得出直线的点斜式方程，求得直线在x轴上的截距，建立不等式可得选项． 【详解】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)， 令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则3<1－<5， 解得 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：A 4．若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】将截距范围转化为直线与线段有交点，利用斜率计算公式及其意义即可得出． 【详解】取直线与轴的交点，． ，． 直线与线段相交， 或． 故选：． 【点睛】本题考查了直线在坐标轴上截距的定义、斜率计算公式及其意义，考查了转化思想与计算能力，属于基础题． 5．（24-25高二上·山东烟台·阶段检测）在x轴上的截距为1且方向向量为的直线的方程是_____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】根据直线的方向向量得出斜率，再点斜式写出直线方程，最后转化为一般式即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，在x轴上的截距为1， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 6．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为_________________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据题意设直线方程为，求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知：直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，解得；令，解得； 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 7．过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】由题意设直线l为，从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得到关于的二次方程，解之即可. 【详解】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为， 令，得，令，得， 故所围三角形面积为，即， 当时，上式可化为，解得或； 当时，上式可化为，方程无解； 综上：直线的斜截式方程是或. 故答案为：或. 8．（25-26高二上·广东·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、直线的斜截式方程及辨析 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为. （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为， 化为斜截式方程为. 重难点题型3 直线的两点式方程 1．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点和的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】由直线的两点式即可写出直线. 【详解】根据直线的两点式方程公式可得，化简可得， 故选：D. 2．（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 4．经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】根据直线两点式方程可得答案. 【详解】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线． 故选：C． 5．在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】已知两点求斜率、直线两点式方程及辨析 【详解】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 6．在中,,则边上的中线所在的直线的一般方程为_________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】边上的中线过的中点及点,根据两点坐标,求出中点坐标,再结合点坐标,用两点式即可求出方程. 【详解】解:由题知,, 故的中点坐标为:, 因为, 所以边上的中线所在的直线为: , 即:. 故答案为: 7．经过点，的直线在轴上的截距为________． 【答案】27 【难度】0.65 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】先求得经过两点和的直线方程，然后求得横截距. 【详解】经过两点和的直线方程为， 即，令，得. 故答案为：27. 重难点题型4 直线的截距式方程 1．（25-26高三下·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 2．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 3．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】令即可求解. 【详解】由截距的概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 故选：A 4．（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【详解】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 5．（24-25高二上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】求出直线l在x轴和y轴上的截距，即可判断直线所过象限，从而得解 【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3， 所以直线l过一、三、四象限． 故选：D. 6．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【难度】0.75 【知识点】直线截距式方程及辨析 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 7．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据题意设直线的方程为，求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令，解得；令，解得， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】// 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【详解】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 9．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： (1)直线的斜率为2； (2)直线在轴、轴上的截距相等． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）利用点斜式求解即可； （2）分直线在轴、轴截距为0和不为0进行分类讨论，不为0时利用截距式求解即可. 【详解】（1）因为直线过点，直线的斜率为2， 所以所求为， 即. （2）当直线在轴、轴上的截距都为0时， 所求为， 当直线在轴、轴上的截距都为时， 设所求为， 由题意，解得符合题意， 故所求为， 综上所述，符合题意的直线方程为或. 10．求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可求解； （2）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得解出即可. 【详解】（1）所求直线过点 ，且斜率为， 直线方程为， 即． （2）设直线方程为， 令，得， 令，得， ，解得， 直线方程为， 即． （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为， 又直线过点， ，解得， 直线方程为，即； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 重难点题型5 直线的一般式方程 1．（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的一般式方程及辨析 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. 2．（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】充要条件的证明、由一般式方程判断直线的垂直 【详解】是的充要条件. 3．（24-25高二下·上海·期中）直线的法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线法向量的概念及辨析 【详解】直线的斜率为2，则该直线的方向向量为， 垂直于向量的向量为，因此直线的法向量为， 取，得是直线的法向量，C是； 不存在非零实数，使得该直线的法向量为ABD. 4．（多选题）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 【答案】BD 【难度】0.82 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线垂直、直线截距式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【详解】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 5．（多选题）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 6．（多选题）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直、求直线的方向向量（平面中） 【分析】对于A，将直线方程化成斜截式，即可判断；对于B，利用两直线平行的判定方法即可；对于C，利用直线的斜率与方向向量的数量关系即可判断；对于D，利用两直线垂直的判定方法即可. 【详解】对于A，将化成斜截式方程为，即直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，因，故直线与直线平行，即B正确； 对于C，因的斜率为，若直线的一个方向向量为，则，即，因不满足此式，故C错误； 对于D，因的斜率为，而直线的斜率为，由，可得直线与直线垂直，故D正确. 故选：BD. 7．（多选题）已知直线：，则下列结论正确的有（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线的倾斜角为 C．直线与直线垂直 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线垂直、直线过定点问题 【分析】整理直线方程后得到一个方程组，可得直线所过的定点，判断A；首先根据方程得到斜率，再求得其倾斜角，可判断B；由直线垂直的充要条件可判断C；根据直线的方程求得截距，进而判断D. 【详解】对于A，由得. 因为该方程对所有的恒成立，所以，所以直线恒过点，故A正确. 对于B，当时，直线的方程为，所以其斜率为，所以的倾斜角为，故B正确. 对于C，对于直线：与直线，当时，两条直线分别为和，满足垂直关系；当时，整理两条直线的方程得，，斜率之积为，满足垂直关系，所以C正确. 对于D，当时，直线的方程为，即，直线与坐标轴的交点为，因为，所以在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC. 8．（25-26高二上·上海·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 ，定点为 (2) 【难度】0.4 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）需将直线方程整理为关于参数的形式，令的系数及常数项为零，解方程组得定点坐标； （2）设该直线倾斜角为，用表示，，将转化为三角函数式，通过换元法求最小值，进而得直线方程. 【详解】（1）整理直线方程得 ， 由 可得 ，， 故直线恒过定点 . （2）由（1）知，如图，作轴于M，轴于N， 且直线与轴的正半轴分别交于两点，设直线倾斜角为，， 因为，所以，， ，，， ， 令 ， 由 得 ，，则 ， 在 上单调递增， 当 即 时，上式取最小值 ，此时直线方程为 化简得直线方程为 . 重难点题型6 直线过定点问题 1．（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 2．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限 C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】求出直线过定点坐标，即可判断A；求出直线所过象限，即可判断B；将直线方程化为斜截式，即可判断C；分截距均为、截距均不为两种情况讨论，求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：因为直线：，即， 令，解得，所以直线过定点，故A错误； 对于B：当时直线：，即， 所以直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故B正确； 对于C：直线：，即，所以直线的斜率为，即直线的斜率一定存在，故C错误； 对于D：若直线在坐标轴上的截距相等， 若截距均为，则，解得； 若截距均不为，显然，对于，令可得， 令，则，所以，解得（舍去）或； 综上可得或，故D错误. 故选：B 3．（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】把直线方程整理为，根据题意，列出方程组，求解即可. 【详解】根据题意，把直线方程整理，得， 令，解得，所以当变动时，所有直线恒过定点. 故选：C 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线方程化为，进而分析定点. 【详解】直线可化为， 令，解得，所以直线过定点． 故选：B． 5．直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线过定点问题 【分析】将直线方程化为，由求定点；直线方程化为，从而斜率为，再利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线方程可以化为， 由得， 直线方程化为， 则直线的斜率为， 因为，所以，则 ， 即， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以倾斜角的最小值是. 故答案为： 6．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】利用参数分离法即可解决直线恒过定点问题. 【详解】直线的方程可变形为， 由题意可知，解得. 故直线恒过定点. 故答案为： 7．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线l始终过定点______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线方程中a进行合并，令a的系数为零即可求出定点． 【详解】， 令，则， ∴直线l始终过定点， 故答案为：． 重难点题型7 判断直线的平行 1．（25-26高二上·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据两直线平行的性质进行求解即可. 【详解】∵直线与平行， 解得或， 经检验均满足直线不重合的条件. 故选：D 2．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行 【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【详解】与直线平行的直线方程可设为，且， 将代入直线可得. 所以过点且与直线平行的直线方程为，即， 故选：A 3．已知直线，，若，则的值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】先讨论y的系数为零的情况是否满足题意，再讨论y的系数不为零时的情况，根据直线在一般方程形式时平行所满足的系数关系即可求解． 【详解】当或时两直线不平行， 当且时，∵，∴， 故答案为：． 4．已知直线，直线，且，则的值为__________. 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据两直线平行，列式计算，经验证即可确定答案. 【详解】由，可得，即， 故或， 当时，直线和直线平行，符合题意； 当时，直线和直线重合，不合题意， 故， 故答案为：0 5．已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可列式子求解， （2）分别求解轴上的截距，根据相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得， （2）由题意可知，故， 令，则， 令，则， 故，解得或 6．（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 重难点题型8 判断直线的垂直 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用两直线垂直可得出，解该方程即可. 【详解】因为直线垂直于直线， 所以，解得. 故选：A. 2．（25-26高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】根据一般式方程下直线垂直的关系列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D 3．直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用直线垂直，得到斜率的积为，即可求解. 【详解】由题意可知，直线斜率都存在.因为，则有，解得. 故选：A 4．直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：B. 5．已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】（1）由，得到，即可求解； （2）由，求得，再结合两平行线间的距离公式，求得的值即可求解. 【详解】（1）由题意，直线，， 因为，可得，解得. （2）由直线，， 因为，可得，可得， 此时直线， 又由间的距离为， 根据两平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以直线的斜截式方程为或. 重难点题型9 直线方程综合应用 1．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由函数（且）的图象恒过定点可知函数恒过定点，代入直线可得，由于，，再利用均值不等式求出的最小值. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 3．（25-26高二上·重庆万州·阶段检测）在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴､轴的正半轴交于点.当直线的斜率为__________时，的周长最小，其最小周长是__________. 【答案】 20 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、直线截距式方程及辨析 【分析】方法一：，分别用三角函数表示出三角形的三条边长，化简可得，,结合基本不等式即可求解； 方法二：，，，结合基本不等式求解即可. 【详解】方法一： ， ， , ， 方法二： ， 当且仅当时，等号成立.解得, 故答案为：； 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【详解】 已知，设中点为，则， 由斜率公式可得， 设中垂线所在直线斜率为，则，解得， 故中垂线所在直线的方程为，一般式为． 5．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知两条直线和相交于点，则过两点，的直线的方程为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线的方程的概念 【分析】结合直线方程的定义及两点确定一条直线可得所求直线方程. 【详解】因为直线，均过点， 所以. 所以，都在直线上. 所以过，两点的直线方程为：. 故答案为： 6．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)当时，直线与重合；当时，直线与相交 (2)的最小值为，此时直线的方程为。 【难度】0.64 【知识点】基本不等式求和的最小值、由斜率判断两条直线平行、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可； （2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 7．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线综合、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）由直线垂直求解过点直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. （2）由直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，可得直线斜率存在，设直线，令，分别求解、两点，再根据求解直线斜率，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）已知直线的斜率，垂直直线斜率为，所以，所以， 所以过点的直线方程为，即. （2）由题意可得，直线斜率存在，所以设直线：，所以当时，，所以， 当时，，，因为直线分别交轴、轴的正半轴于、两点， 所以，，又因为， 所以，且，即，所以，即， 解得，所以，， 所以，所以的面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $