精品解析：辽宁朝阳市部分重点高中联考2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度下学期期末高二数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 3. 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为 A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】设切点，则，又 ，故答案选B． 4. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法： 第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验； 第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异， 第4步，计算．计算得到， 第5步：判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 B. 根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 C. 有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关 D. 学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 【答案】C 【解析】 【分析】列出新的列联表，计算后比较即可. 【详解】由题，列出新的列联表如下： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 330 100 430 乙校 380 70 450 合计 710 170 880 代入卡方公式： ，其中， 所以， ， 所以认为 “学生的数学成绩是否优秀与学校有关”，且有的把握， 故AB错误. 且推断犯错误的概率不超过0.01，不是0.001，故错误. 故选：C. 5. 已知函数，且，则（ ） A. -26 B. -18 C. -10 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】构造奇函数进行求解或者通过建立方程组进行求解. 【详解】方法一：令，知是上的奇函数，从而 又因为，所以，所以，所以 所以. 方法二：由已知条件，得， 两式相加得，又因为，所以. 故选：A. 6. 记数列前项和为，且数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推式得到为下标周期为4的数列，并求得，进而求. 【详解】由题设，，，，，… 所以是下标周期为4的数列，且， 则. 故选：D 7. 国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限M约为，而五子棋棋盘上有225个交叉点，这些交叉点是对弈时的落子点.每个交叉点可以处于以下三种状态中的一种：空白、黑子、白子，所以其状态空间的上限N为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. 10 B. 34 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用已知指数式结合指对数转化，再应用对数运算律计算求解． 【详解】根据题意， 则 所以，即最接近， 故选：C． 8. 已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同构变形得到，构造函数，， 结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值. 【详解】因为， 所以， 即， 构造函数， 所以 ， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时 因为当时，单调递减， 故， 两边取对数得： ， 令，则， 令得：，令得：， 所以在单调递增，在单调递减， 所以 故a的最小值是． 故选：C 【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 不等式的解集是 B. ，都有 C. 是R上的递减函数 D. 的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判断A；利用奇偶函数的定义计算即可判断B；举例说明即可判断C；根据指数型函数的值域的求法计算即可判断D. 【详解】A：，由，得，即， 得，解得，即原不等式的解集为，故A正确； B：，故B错误； C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误； D：由知，即函数的值域为，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有4个零点 B. 对于实数，不等式恒成立 C. 关于的方程有个不同的解 D. 当时，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出的图象，根据图象再逐项计算可得正确的选项. 【详解】当时，，当时，， 结合可得的图像如图所示： 对于A，考虑函数的图像与直线的交点个数， 如下图所示，直线过，结合图像可得两图像交点个数为5个，故A错误； 对于B，结合函数的图象可得在上， 的图象在图象上或在下方，故即恒成立， 故B正确； 对于C，当时，，故时，， 而为奇函数，故时，， 故在上无解， 当，则， 且此时在上为减函数，在上为增函数， 而，结合图像可得： 当时，在均有两个不同解， 在上，仅有一个解， 而当时，，故此时无解 综上，共有个不同的解，故C正确； 对于D，即为或， 结合图像可得仅有一个解， 故有6个不同的解，且与2相异， 结合图像可得，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：分段函数的零点问题，应该根据函数的图像来处理，而对于具有性质的函数，注意利用平移和伸缩来处理对应的图像. 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用构造法求出数列的解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题. 【详解】由题可得，可构造为， 又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列. ，得. 对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误； 对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确； 对于C：，其前项和.故C正确； 对于D：设. 又注意到，. 因此 因此的前项和 .故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围. 考点：对数函数的性质及函数的值域. 【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围. 13. 下列命题中正确的命题有_________．（填序号） ①线性回归直线必过样本数据的中心点； ②当相关性系数时，两个变量正相关； ③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 【答案】①② 【解析】 【详解】根据线性回归的性质，线性回归直线一定过样本中心点，故①正确； 相关系数的符号表示相关方向，时两个变量正相关，时两个变量负相关，故②正确； 变量相关性越强，是相关系数的绝对值越接近1，正相关时接近1，负相关时接近，故③错误； 在残差图中，残差点所在带状区域越窄，说明残差波动越小，回归预报精确度越高； 带状区域越宽，说明残差波动越大，预报精确度越低，故④错误． 14. 已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是______ 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的导数，再求，得到和的解析式，根据导数判断函数在的单调性，由函数的图象关于直线对称，可知关于轴对称，最后根据自变量的大小比较的大小. 【详解】，， ，， 当时，； 当时，， 即在上递增， 的图象关于对称， 向右平移2个单位得到的图象关于轴对称， 即为偶函数，， ， ， 即， ， 即. 【点睛】本题考查了利用函数的性质，比较函数值的大小，属于中档题型. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时） （1）应收集多少位女生样本数据？ （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率. （3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由分层抽样性质，得到；（2）由频率分布直方图得；（3）利用2×2列联表求. 试题解析： （1）由，所以应收集90位女生的样本数据． （2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75. （3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下： 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得 有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关” 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，按照、、分类，求得、的解集后即可得解； （2）按照、、分类，由函数的单调性确定函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，， ①若，则，在上单调递增； ②若，则由得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ③若，则由得， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）①若，则，所以，符合题意； ②若， 则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为， 从而当且仅当，即时，； ③若，则由（1）得，当时，取得最小值， 最小值为， 从而当且仅当，即时，； 综上，的取值范围为. 【点睛】本题考查了利用导数确定函数的单调性及最值，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题. 17. 对于变量x和变量y，设获得的成对数据为，，…，，其中，．在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据： 表1： x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 40 47 56 61 66 72 74 78 83 86 对表1中数据作变换，得到了如下表2： 表2： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 v -30 -23 -14 -9 -4 2 4 8 13 16 -37 150 92 42 18 4 0 4 16 39 64 429 设样本相关系数为r，当时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两个变量的线性相关程度很强． 参考公式：；，． 参考数据：，，，，，，，，． （1）证明： （2）分别求表1中的两个变量x，y的样本相关系数r，并推断相关程度； （3）设y关于x的经验回归方程为，反之，x关于y的经验回归方程为．由实验数据，利用参考数据求经验回归方程和（计算结果精确到0.01）； 【答案】（1）证明：， 而因为，，所以 （2）0.9876，相关程度很强 （3）和 【解析】 【分析】（1）利用多项式乘法和加法结合律即可得到证明； （2）利用公式代入数据，即可得到相关系数； （3）利用公式求解回归方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以，， ， 又因为，，所以，， 即， ， ， 则， 所以相关程度很强； 【小问3详解】 因为， ， 所以， 因为， ， 所以， 故所求的经验回归方程为：和. 18. 已知数列的前项和为，且边长为的正方形的面积为． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）若数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 当时，， 所以， 当时，， 故对任意的，. 【解析】 【分析】（1）求出，根据可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得的表达式； （3）分析可知当时，，验证，当时，利用放缩法结合裂项求和法可证明出，即可证得所求不等式成立. 【小问1详解】 由题意得． 当时，． 当时，，满足. 故对任意的，． 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 两式相减得 ， 所以． 【小问3详解】 略 19. 设函数在处取得极值． （1）设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程； （2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围； （3）设曲线在点、处的切线都过点，证明：． 【答案】（1）证明见解析，切线方程为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可得，可得出，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，即可得出结论； （2）将原点的坐标代入切线方程可得，设，分析可知函数有三个零点，利用导数分析函数的单调性与极值，可得出关于实数的不等式，结合零点存在定理可得出结果； （3）利用反证法，假设，可得出，由（2）可得出，作差变形可得出，可得出，利用韦达定理与基本不等式推出矛盾，即可出结论. 【小问1详解】 证明：由，得：， 由题意可得，所以，． 此时，， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，函数在处取得极大值． 设切点为，则切线方程为， 即， 即为， 将点的坐标代入方程可得， 即，所以，即点为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条． 所以切线方程为. 【小问2详解】 解：因为切线方程为， 把点的坐标代入切线方程可得， 因为有三条切线，故方程得有三个不同的实根． 设， ，令，可得和． 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，函数在处取得极大值，且， 函数在处取得极小值，且， 因为方程有三个根，则，解得， 因为，， 由零点存在定理可知，函数有三个零点， 综上所述，． 【小问3详解】 证明：假设，则，则， 因为，所以． 由（2）可得，两式相减可得． 因为，故． 把代入上式可得，， 所以，，所以． 又由，这与矛盾． 所以假设不成立，即证得． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末高二数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为 A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 4. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法： 第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验； 第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异， 第4步，计算．计算得到， 第5步：判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 B. 根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 C. 有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关 D. 学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 5. 已知函数，且，则（ ） A. -26 B. -18 C. -10 D. 10 6. 记数列前项和为，且数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限M约为，而五子棋棋盘上有225个交叉点，这些交叉点是对弈时的落子点.每个交叉点可以处于以下三种状态中的一种：空白、黑子、白子，所以其状态空间的上限N为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. 10 B. 34 C. D. 8. 已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 不等式的解集是 B. ，都有 C. 是R上的递减函数 D. 的值域为 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有4个零点 B. 对于实数，不等式恒成立 C. 关于的方程有个不同的解 D. 当时，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的前项和 D. 的前项和 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是__________． 13. 下列命题中正确的命题有_________．（填序号） ①线性回归直线必过样本数据的中心点； ②当相关性系数时，两个变量正相关； ③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 14. 已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时） （1）应收集多少位女生样本数据？ （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率. （3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 17. 对于变量x和变量y，设获得的成对数据为，，…，，其中，．在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据： 表1： x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 40 47 56 61 66 72 74 78 83 86 对表1中数据作变换，得到了如下表2： 表2： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 v -30 -23 -14 -9 -4 2 4 8 13 16 -37 150 92 42 18 4 0 4 16 39 64 429 设样本相关系数为r，当时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两个变量的线性相关程度很强． 参考公式：；，． 参考数据：，，，，，，，，． （1）证明： （2）分别求表1中的两个变量x，y的样本相关系数r，并推断相关程度； （3）设y关于x的经验回归方程为，反之，x关于y的经验回归方程为．由实验数据，利用参考数据求经验回归方程和（计算结果精确到0.01）； 18. 已知数列的前项和为，且边长为的正方形的面积为． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）若数列的前项和为，证明：． 19. 设函数在处取得极值． （1）设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程； （2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围； （3）设曲线在点、处的切线都过点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $