精品解析：辽宁辽阳市2025-2026学年高二下学期7月期末学情评估数学试题

辽阳市2025—2026（下）高二学情评估试题 数学 考试时间：120分钟　满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（ ） A. 35 B. 45 C. 55 D. 60 4. 下列选项中是“为单调递增函数”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 8. 已知，，若在上恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则的最大值为6 B. 若，，，则的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 是奇函数 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 已知幂函数在上单调递减，则实数______． 13. 已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 14. 已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列前项和满足，且． （1）求； （2）求数列的前项和以及数列的通项公式． 16. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在定义域内单调递增且对任意正数，都有，求实数的取值范围． 17. 已知函数在处取极小值2． （1）求的值； （2）求曲线过点的切线方程； （3）若函数，且在上有三个零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数．数列满足，数列满足， （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽阳市2025—2026（下）高二学情评估试题 数学 考试时间：120分钟　满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，使”的否定是“”. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合、，利用交集的定义即可求解. 【详解】已知集合，由，解得，所以， 集合，由，解得或，所以， 因此，即，故C正确. 3. 已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（ ） A. 35 B. 45 C. 55 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项的性质进行计算即可. 【详解】由题意知，，成等差数列， 又，， 所以，即， ． 4. 下列选项中是“为单调递增函数”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，因为为单调递增函数，所以，得； 结合选项，为单调递增函数的充分不必要条件是. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， ， ， 所以． 6. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 7. 已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的定义，得到数列为等差数列，求得，得到，结合裂项法求和，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，可得，所以 所以， 又因为，可得，解得， 因为，所以的最小值是． 8. 已知，，若在上恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，不等式可化为，通过求导证明在上单调递增，从而得到，令，求出的最小值即可求出答案. 【详解】因为在上恒成立， 即在上恒成立，即， 令，不等式可化为， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即在恒成立， 令，即， 又因为， 由可得在上单调递减， 由可得在上单调递增， 所以最小值为，即， 所以实数的最大值为． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则的最大值为6 B. 若，，，则的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及对勾函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由，且，可得， 则，即， 解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由，令， 因为在上单调递增，所以最小值为，所以C错误； 对于D，由，令，则， 因为在单调递增，所以最小值为，所以D正确． 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过为奇函数可得，那么函数图象关于点对称；对于B，若为偶函数，则，结合选项A可以推导出周期，从而；对于C，由题可得在上单调递减，从而判断；对于D，因为，，可得. 【详解】对于A，若为奇函数，则，那么函数图象关于点对称，A正确； 对于B，若为偶函数，则，那么， 由选项A可知，那么 ， 所以，，那么， 所以，，所以函数的周期，，B正确； 对于C，对任意的，，，都有，则函数在上单调递减，，C错误； 对于D，由选项AB可知，函数的周期，所以， 又函数图象关于点对称，所以， 所以，故为奇函数，D正确． 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 13. 已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由基本不等式“1”的妙用求出，进而得到不等式，求出答案 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 14. 已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据递增数列的性质知，可得到对恒成立，再根据二次函数性质求出的取值范围． 【详解】因为，， 所以，． 又因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 即对恒成立， 化简整理得，对恒成立． 由二次函数性质知，当时，有最小值4， 所以， 故实数的取值范围是． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列前项和满足，且． （1）求； （2）求数列的前项和以及数列的通项公式． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用得，由等比数列的性质可得答案； （2）在（1）的基础上，根据等比数列求和公式和得到答案 【小问1详解】 由于， 代入可得：，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，， 经检验，当时不符合上式， 因此，数列的通项公式为 16. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在定义域内单调递增且对任意正数，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，按a正负分类，根据导函数符号判断原函数增减区间。 （2）利用单调性去掉绝对值，构造新函数，转化为导数恒大于等于 0 求参数范围。 【小问1详解】 由题可知，函数的定义域为，且， 当时，在上恒成立，所以在单调递增； 当时，令，解得（负值舍掉）， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 因为函数在定义域内单调递增，所以， 不妨设，则， 那么不等式等价于，即等价于， 设，则在上单调递增， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 则当时，，， 故a的取值范围为． 17. 已知函数在处取极小值2． （1）求的值； （2）求曲线过点的切线方程； （3）若函数，且在上有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）3 （2）或者 （3） 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质建立方程组，求解参数，进而得到的取值即可. （2）合理设出切点，结合切线的性质建立方程，最后求解切线斜率，得到切线方程即可. （3）将零点问题转化为交点问题，再得到，进而求解参数取值范围即可. 【小问1详解】 ，，解得或， 当时，可得， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取极大值，不符合题意， 当时，可得， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取极小值，在处取极大值，符合题意，. 【小问2详解】 设切点为，得到， 而，， 可得， 代入点，得到， 化简得，解得或者， 切线斜率为0时，切线方程为， 在切线斜率为1时，切线方程为， 综上可得，切线方程为或者. 【小问3详解】 函数，且在上有三个零点， 方程在上有三个不等的实根， 函数与的图象在上有三个不同的交点， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取极小值2，在处取得极大值， 又，，，解得. 18. 已知函数．数列满足，数列满足， （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意构造，得到，再构造等比数列求解即可. （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 ， ，， 可得， ，， ，，又， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，. 【小问2详解】 由题意得， 可得， 得到， ， . 19. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明不等式：． 【答案】（1）， （2） （3）由（2）可知，当时，在上恒成立， 即在上恒成立，当且仅当时等号成立， 即，即， 令，因为， 所以， 所以 所以， 即， 所以，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的最值即得； （2）通过求导可得，讨论单调性求出，构造函数，讨论单调性可得，进而即得； （3）由（2）可知当时，，令，可得然后通过累加及对数的运算完成证明. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，在上单调递增． 所以，. 【小问2详解】 由题可得，令，解得， 则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，， 若在上恒成立，即的最小值恒成立， 设，则， 令，得 ，解得， 则当时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值， 故，当且仅当时等号成立， 又，故，所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $