辽宁朝阳市北票市高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二下学期期末考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．已知，则（ ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 5．已知等差数列，若，则（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．下列命题正确的是（ ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，，，则的最小值为9 D．若，，则的最大值为18 10．已知函数，则（ ） A．函数的最小值为 B．函数图象的一个对称中心为 C．函数在上单调递减 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11．已知双曲线：的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（ ） A． B．双曲线的离心率为 C．与双曲线有两个交点 D．的内心在轴上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则__________． 13．若正三棱锥的高为3，，二面角为，则__________． 14．已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则__________． 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）设函数， （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值点． 16．（本题满分15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17．（本题满分15分）已知，是抛物线：上的两点． （1）求抛物线的方程； （2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 18．（本题满分17分）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱上，且． （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 19．（本题满分17分）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，，求证：． 高二下学期期末考试 数学试卷答案 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．AC 10．ABC 11．BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．2 四、解答题。本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）由，切点， 由得切线方程为： （2） 由（1）可知，即时，； ，即时，． 在和上单调递增；在上单调递减 的极大值点为；极小值点为． 16．【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以； （2），，， 由余弦定理得， 故，解得， 故． 17．【详解】（1），是抛物线上的两点， ，则，整理得，解得，……3分 当时，，解得，不合题意；……4分 当时，，解得．……5分 故抛物线C方程为．……6分 （2）由（1）知C的焦点为，故直线l的方程为，……7分 联立，得，必有，……9分 设，，则，，……11分 ，当且仅当，即时，等号成立，……14分 所以的最小值为．……15分 18．（1）在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心，平面，……1分 而平面，则，又， ，平面，， 于是平面，……4分 而平面，所以．……5分 （2）连接，由（1）知，平面，而，平面，则，， 于是是二面角的平面角，……7分 令正方形边长为2，则，有， 又， 则，， 因此，，所以二面角的大小为．……10分 （3）在上取点N，使得，过N作交于点E，连， 由平面，平面，得平面，……12分 由O是的中点，得，而平面，平面，得平面，……14分 又，，平面，因此平面平面，……15分 则平面，由（2）知，，即点N是中点， 于是，所以侧棱上存在一点E， 使得平面，．……17分 19．【详解】（1）函数的定义域为 当时，函数， 所以 令，解得，所以函数的减区间是． 令，解得，所以函数的增区间是． （2）函数的定义域为， 又， ①当时，对任意的，， 当，；当 ，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，由可得，由可得或 ， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，恒成立，此时函数在上单调递增； ④当时，由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）， 因为函数有两个零点，，不妨设， 则， 所以， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则，即，即，故原不等式得证． 学科网（北京）股份有限公司 $