14.3 第2课时 角平分线的判定 课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的判定定理”，通过风筝主题公园选址实际问题导入，将实际问题转化为几何问题，引导学生交换性质定理题设与结论得到判定命题，经证明形成互逆关系，搭建从性质到判定的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过探究证明发展逻辑推理（数学思维），用符号语言规范表达（数学语言）。如风筝公园选址应用判定定理，三角形角平分线交点证明体现转化思想，助力学生提升逆向思维和核心素养，为教师提供完整教学流程与实例。

14.3 第2课时 角平分线的判定 第十四章 全等三角形 学习目标 探索并证明角平分线性质定理的逆定理，学会运用这个新定理来解决相关的数学问题。 一 经历角平分线判定定理的探究过程，在分析与推导中培养逻辑推理能力，着重锻炼逆向思维的方式与技巧。 二 三 在定理探究与证明的过程中，发展直观想象和数学抽象的核心素养，逐步提高有条理地思考、严谨地表达数学结论的能力。 1.7.2013 在开始今天的探索之前，我们先明确一下本节课的学习目标。首先，我们要一起探索并证明一个新的定理，它是角平分线性质定理的逆定理，也就是我们今天的主角——角平分线的判定定理。其次，在探究过程中，大家要积极思考，锻炼自己的逻辑推理能力，特别是要学会从相反的方向思考问题，也就是逆向思维。最后，通过这节课的学习，希望大家能提升数学素养，学会更清晰地思考和表达。 ‹#› 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？ S 垂线段的长 实际问题 几何问题 A O B 在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？ 探究与应用 角的平分线的性质定理:角的平分线上的点到角两边的距离相等.写出该性质定理的题设与结论,并把题设与结论交换,写出你得到的新命题. 活动 　理解并能证明角的平分线的判定定理,并应用其解决实际问题 问题情境 解:性质定理的题设是:一个点在一个角的平分线上;结论是:这个点到角两边的距离相等;新命题是:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 写出的新命题是真命题吗?如果是真命题,请写出已知、求证,画出图形,并给出证明;如果不是,请说明理由. 引发思考 解:写出的新命题是真命题. 已知:如图,点P在∠AOB内,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD. 求证:OP平分∠AOB. 证明:∵PC⊥OA,PD⊥OB, ∴∠OCP=∠ODP=90°. 在Rt△POC和Rt△POD中, ∴Rt△POC≌Rt△POD(HL). ∴∠COP=∠DOP. ∴OP平分∠AOB. 新知探究 ▍ 判定定理核心解读 几何语言理解：∵ 点P在∠AOB内部，且PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE； ∴ 点P在∠AOB的平分线上。 【互逆关系对比】 性质定理是“由线推距离”（角平分线 → 距离相等）；判定定理是“由距离推线”（距离相等 → 角平分线），二者互为逆命题，构建了角平分线完整的逻辑闭环。 角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 💡 关键提醒：“角的内部”是判定定理的前提条件，若点在角的外部，即使到两边距离相等，也不在角的平分线上。该定理是证明某条射线为角平分线的重要依据。 1.7.2013 这就是角平分线的判定定理。请大家跟我一起读一遍：“角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。” 大家注意关键词“角的内部”，这很重要。这个定理和性质定理正好相反，性质是“身份决定待遇”，而判定是“待遇证明身份”。掌握了这个定理，我们就多了一个证明一条射线是角平分线的强大工具。 ‹#› 证明思路：连接OP，将证明点P在角平分线上转化为证明∠AOP=∠BOP。 ∵在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP = OP（公共斜边），PD = PE（已知） ∴Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL） ∴∠AOP = ∠BOP（全等三角形对应角相等） ∴OP平分∠AOB，即点P在∠AOB的平分线上。 合作探究 已知： 求证： 点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD = PE。 点P在∠AOB的平分线上。 1.7.2013 光说不练假把式，我们来亲手证明这个定理。请看屏幕上的已知条件和图形。我们的目标是证明点P在角平分线上。大家思考一下，怎么证明呢？对，我们可以连接OP，把问题转化为证明∠AOP和∠BOP相等。观察图形，我们发现了两个直角三角形，△PDO和△PEO。它们有一条公共斜边OP，还有一条直角边PD等于PE。根据我们学过的HL定理，这两个三角形全等！既然全等，它们对应的角自然就相等了。这样，我们就证明了OP是角平分线。 ‹#› 思考：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？ 探究点一： 角平分线的判定 新结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 思考 这个结论正确吗？ A O B P D E 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP. ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠DOP =∠EOP (全等三角形的对应角相等). 探究点一： 角平分线的判定 理解应用 证明:(1)如图,过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分别为D,E,F. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF.即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. (教材典题)如图14-3-11,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证:(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等; 例 1 图14-3-11 证明:(2)由(1)得,点P到边AB,CA的距离相等, ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点. (2)△ABC的三条角平分线交于一点. 图14-3-11 判定定理总结 角的平分线的判定： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 核心思想：在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合。 【符号语言】 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ OP平分∠AOB (或点P在∠AOB的平分线上) 1.7.2013 证明完成！现在我们来正式总结一下角平分线的判定定理。请大家记住它的文字描述和符号语言。符号语言非常重要，它是我们以后解题的“官方语言”。理解这个定理，我们可以想象，角平分线就像一条“集合线”，把所有到角两边距离相等的点都聚集在了一起。这为我们理解几何图形提供了新的视角。 ‹#› 典例分析 例题：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。 求证：(1) 点P到三边AB，BC，CA的距离相等。 分析：要证点P到三边距离相等，需用角平分线性质定理。①P在∠ABC平分线BM上，故P到AB、BC距离相等；②P在∠ACB平分线CN上，故P到BC、AC距离相等；③结合①②，通过BC这个中间量，即可推导出P到三边AB、BC、CA的距离都相等。 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F。 ∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）， ∴ PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 同理可得，PE = PF。 ∴ PD = PE = PF（等量代换）。 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等。 1.7.2013 学会了新定理，我们马上来看一个经典例题。题目告诉我们，三角形的两条角平分线BM和CN相交于点P，要证明点P到三边的距离相等。大家思考一下，这里我们需要用到哪个定理？对，是性质定理！因为点P在BM上，所以它到AB和BC的距离相等；又因为它在CN上，所以它到BC和AC的距离也相等。通过BC这个中间量，我们就能得出点P到三边的距离都相等的结论。 ‹#› 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 位置关系 数量关系 探究点一： 角平分线的判定 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求. O 探究点一： 角平分线的判定 角的平分线的性质定理与判定定理的对比 性质定理:如果点在角的平分线上,那么点到角两边的距离相等; 判定定理:如果角内部的点到角两边的距离相等,那么点在角的平分线上. 记 重点 证明:如图,过点P作PQ⊥AB,PM⊥BC,PN⊥CA,垂足分别是Q,M,N. ∵P是∠ABC的平分线BD上的一点,PM⊥BC,PQ⊥AB,∴PM=PQ. ∵P是∠ACF的平分线CE上的一点,PM⊥BC,PN⊥CA, ∴PM=PN.∴PQ=PM=PN. 即点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等. 如图14-3-12,在△ABC中,∠ABC的平分线BD与外角∠ACF的平分线CE交于点P.求证:点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等. 图14-3-12 变式 典例分析 例题：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。 求证：(2) △ABC的三条角平分线交于一点。 分析：已证点P到三边AB、BC、CA的距离相等。聚焦点P与∠A的关系，因点P到AB和CA的距离相等（PD=PF），根据角平分线判定定理，可直接推知点P在∠A的平分线上，这是证明三线共点的关键。 证明：由(1)得，点P到边AB、CA的距离相等，即PD = PF。 根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可知点P在∠A的平分线上。 即∠A的平分线经过点P，又∵点P在BM、CN上，∴△ABC的三条角平分线交于点P。 1.7.2013 例题还没完，第二问更有趣：证明三角形的三条角平分线交于一点。我们已经知道了点P到三边的距离都相等。现在，请大家把目光聚焦到AB和AC这两条边。点P到它们的距离相等，这正好符合我们今天学的判定定理的条件！所以，我们可以判定，点P一定在∠A的平分线上。既然点P既在BM上，又在CN上，还在∠A的平分线上，那不就说明三条角平分线都经过点P吗？这样，我们就证明了三角形的三条角平分线交于一点，这个点我们称之为“内心”。 ‹#› 巩固练习 1.如图，点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，垂足分别为B，C。若 PB=PC，∠MAN=46°，则∠APC的度数为（ ） A. 23° B. 44° C. 46° D. 67° 【答案】D 【解析】∵ PB⊥AN，PC⊥AM，且 PB=PC，∴ 点P在∠MAN的平分线上（角平分线的判定定理）。 因此∠PAC = 1/2 ∠MAN = 1/2 × 46° = 23°；在Rt△APC中，利用直角三角形两锐角互余，可得∠APC = 90° - ∠PAC = 90° - 23° = 67°。 解题关键：利用“到角两边距离相等的点在角平分线上”判定AP为角平分线，再结合直角三角形性质求解。 1.7.2013 好了，理论学习和例题分析结束，现在是检验大家学习成果的时候了！请看第一题。题目告诉我们PB等于PC，并且PB和PC分别垂直于角的两边。根据我们刚学的判定定理，可以直接得出什么结论？对，AP是∠MAN的平分线！这样我们就能求出∠PAC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，就能轻松算出∠APC的度数了。这道题你做对了吗？ ‹#› 例1 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线. 证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°. 在 △BDF 和 △CDE 中， ∠BFD = ∠CED， ∠BDF = ∠CDE， BD = CD， ∴△BDF≌△CDE (AAS). ∴ DF = DE. 又 DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD 是∠BAC 的平分线. 探究点一： 角平分线的判定 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 探究点一： 角平分线的判定 如果三角形内一点到三边的距离相等,那么这个点一定是三角形三条角平分线的交点. 记 重点 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 巩固练习 2.如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA，且与第一把直尺交于点P，作射线OP，已知∠POB=40°，则∠ACP的度数是（ ） A. 40°　　　B. 60° C. 80°　　　D. 100° 【思路解析】 ∵ 直尺宽度相等，∴ 点P到OA、OB的距离相等，根据角平分线判定定理，OP平分∠AOB。 ∴ ∠AOB = 2∠POB = 2×40° = 80°。 利用直尺的对边平行性质或四边形内角和，可推得∠ACP与∠AOB相等，即∠ACP = 80°。 答案：C 核心考点：角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角平分线上）、长方形的性质（对边平行、邻边垂直）。 关键技巧：将生活中的直尺宽度转化为“点到直线的距离”，是解决本题的突破口，体现了数学在生活中的实际应用。 1.7.2013 来看第二题，这是一个生活中的例子。两把直尺相交，形成了角。关键信息是“两把完全相同的长方形直尺”，这意味着什么呢？这意味着交点P到OA和OB两边的距离是相等的，因为直尺的宽度是一样的！根据判定定理，OP就是角平分线。这样我们就能求出∠AOB是80度。接下来，利用四边形内角和或者平行线的性质，就能求出∠ACP的度数。这道题巧妙地将生活工具和数学定理结合起来，是不是很有趣？ ‹#› 巩固练习 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于E，若DE=DC，则∠ADE的度数为多少？ 思路解析：由DE⊥AB、DC⊥AC且DE=DC，根据角平分线判定定理，可知AD平分∠BAC。在Rt△ABC中，∠BAC=180°−90°−60°=30°，故∠DAE=15°。在Rt△ADE中，∠ADE=90°−∠DAE=75°。 最终答案：∠ADE = 75° 1.7.2013 第三题，填空题。看到DE=DC，并且DE和DC分别垂直于AB和AC，大家是不是立刻想到了判定定理？没错！这说明AD是∠BAC的平分线。在直角三角形ABC中，我们很容易求出∠BAC是30度，那么∠DAE就是15度。最后在直角三角形ADE中，用90度减去15度，答案就出来了。这道题再次巩固了判定定理的应用。 ‹#› 变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ A B C 分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上， 则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P. P 那么这一点 P 是否到三边的距离都相等呢？ 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 例2 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 小结梳理 角的平分线 定义 将角平分的射线 画法 依据SSS作图 性质 由线推距离相等 判定 由距离推角平分线 基础认知：角平分线是将角平分为两个相等角的射线。尺规作图的核心依据是三角形全等的“SSS”判定，确保了作图的严谨性与准确性。 核心互逆：性质是“由线得距”，即平分线上的点到两边距离相等；判定是“由距得线”，即到两边距离相等的点在平分线上。二者互为逆定理，是解题的关键武器。 1.7.2013 课程接近尾声，我们来梳理一下本节课的知识体系。我们围绕“角的平分线”这个核心概念，学习了它的定义、画法、性质和判定。重点是性质和判定这对互逆的定理。性质是“由线推距离”，判定是“由距离推线”。掌握了它们，我们就有了证明线段相等和证明角平分线的双重武器。希望大家能把这张知识结构图牢牢记在心里。 ‹#› $