14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“角的平分线的性质”，通过回顾全等三角形判定（SSS、AAS），以表格梳理概念、图形、几何语言，搭建学习支架，引导学生理解尺规作图原理及性质定理。 资料知识结构化呈现，尺规作图结合全等证明培养推理能力，性质定理证明规范数学语言，分层练习提升应用意识，助力学生发展数学思维，掌握学科特色学习方法。

学案：14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 人教版八年级上册 第十四章 全等三角形 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 理解角的平分线的概念，探索并证明角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等，并能运用这个定理解决相关问题。 2. 能用尺规作图作一个角的平分线，强化分析与作图能力。 二、知识梳理 1. 角平分线的概念 项目 内容 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。 图形 如图，射线 OB 平分 ∠AOC。 几何语言 ∵ ∠AOB = ∠BOC， ∴ OB 平分∠AOC。 2. 尺规作图作角平分线 步骤 说明 第一步 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N。 第二步 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C。 第三步 作射线 OC。射线 OC 即为∠AOB 的平分线。 原理 由作法知 OM = ON，MC = NC，又 OC = OC， ∴ △OMC ≌ △ONC（SSS）， ∴ ∠MOC = ∠NOC，即 OC 平分∠AOB。 3. 角平分线的性质 项目 内容 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等。 已知 / 求证 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。 求证：PD = PE。 证明过程 ∵ OC 是∠AOB 的平分线， ∴ ∠AOC = ∠BOC。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°。 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC， ∠PDO = ∠PEO， OP = OP， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）。 ∴ PD = PE。 几何语言 ∵ OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E， ∴ PD = PE。 4. 证明几何命题的一般步骤 步骤 说明 第一步 明确命题中的已知和求证；必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式。 第二步 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证。注意可能存在不同情形。 第三步 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。 三、课堂练习 练习1（针对训练1 —— 角平分线性质基础题） 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4，则 PE = ______。             练习2（针对训练2 —— 角平分线性质应用） 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC = 8，则点 P 到 AB 的距离为______。             练习3（随堂演练1 —— 选择题） 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC = 7，DE = 2，AB = 4，则 AC 的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3                 练习4（随堂演练2 —— 填空题） 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E、F，DE = DF，∠EDB = 60°，则∠EBF =______°，BE =______。                 练习5（随堂演练3 —— 教材P50练习1） 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等。           练习6（随堂演练4 —— 教材P50练习2） 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。点 F，G 分别在 OA，OB 上，DF = EG，连接 PF，PG。求证 PF = PG。                   练习7（随堂演练5 —— 综合题） 如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E．若△ABC 的面积为 70，AB = 16，DE = 5，求 BC 的长．                     四、参考答案 练习1 答案 答案：4 解析：∵ AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC， ∴ 由角平分线的性质得 PD = PE。 ∵ PD = 4，∴ PE = 4。 练习2 答案 答案：8 解析：过点 P 作 PD⊥AB 于点 D， ∵ AP 平分∠BAC，∠C = 90°，PC⊥AC，PD⊥AB， ∴ 由角平分线的性质得 PD = PC。 ∵ PC = 8，∴ PD = 8，即点 P 到 AB 的距离为 8。 练习3 答案 答案：D 练习4 答案 答案：∠EBF = 60°，BE = BF 解析：∵ DE⊥AB，DF⊥BG，DE = DF， ∴ 点 D 在∠EBF 的平分线上，即 BD 平分∠EBF。 ∵ ∠EDB = 60°，∴ 在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° − 60° = 30°。 ∴ ∠EBF = 2∠DBE = 2 × 30° = 60°。 ∵ BD 平分∠EBF，DE⊥AB，DF⊥BG， ∴ 由角平分线的性质得 BE = BF。 练习5 答案 解：作∠AOB 的平分线，与直线 MN 交于点 P，则点 P 即为所求。 理由：角平分线上的点到角两边的距离相等。 练习6 答案 证明：∵ OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ 由角平分线的性质得 PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°。 在△DPF 和△EPG 中， PD = PE（已证）， ∠PDF = ∠PEG（已证）， DF = EG（已知）， ∴ △DPF ≌ △EPG（SAS）。 ∴ PF = PG（全等三角形的对应边相等）。 练习7 答案 解：过点 D 作 DF⊥BC 于点 F。 ∵ BD 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴ 由角平分线的性质得 DE = DF = 5。 ∵ ∵S△ABD = AB·DE =×16×5 = 40， S△ABC = 70 ∴S△BCD = S△ABC – S△ABD = 70 – 40 = 30． 又S△BCD =BC·DF =BC×5 = 30，∴ BC = 12． 学科网（北京）股份有限公司 $