14.3 角的平分线 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦角的平分线的性质与判定，第一课时从全等三角形旧知引入，通过平分角仪器抽象建模过渡到尺规作图，第二课时以贸易市场位置问题导入，形成性质到判定的逻辑脉络，搭建问题链与实验操作的学习支架。 特色在于以问题驱动探究，性质定理通过测量实验发现再严格证明，培养数学思维（推理能力），判定定理从实际问题抽象，体现数学眼光（抽象能力），例题结合生活情境强化数学语言表达，助力学生提升逻辑推理与应用意识，为教师提供清晰的探究式教学流程。

14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课 题 角的平分线的性质 课 型 新授课 教学内容 教材第48-50页的内容 教学目标 1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性. 2.探索并证明角的平分线的性质定理. 3.能用角的平分线的性质解决简单问题. 教学重难点 教学重点：用尺规作一个角的平分线，角的平分线的性质. 教学难点：探索并证明角的平分线的性质. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等.本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性. 2.发现探究，学习新知 【问题1】如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？ 【师生活动】教师引导学生进行思考，通过上节所学全等三角形的性质和判定来证明△OPM≌△OPN，得到当OM=ON时，PM=PN. 【问题2】由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 【师生活动】学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题. 【追问1】你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？ 【师生活动】学生分析并回答利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了. 【追问2】用平分角的仪器可以平分一个角，你能说明它的道理吗？ 图1是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗？ 图1 【师生活动】教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分仪器的工作原理. 【问题3】从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作角的平分线？ 【师生活动】师生分别在黑板和练习本上画出∠AOB，学生尝试利用直尺和圆规作∠AOB的平分线.教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具体方法（图2）. 图2 如果学生没有思路，教师可作如下提示: （1）在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=AD)，怎样在作图中体现这个过程呢? （2)在平分角的仪器中，BC=DC,怎样在作图中体现这个过程呢？ 【追问】你能说明为什么射线OC是∠A0B的平分线吗? 【师生活动】学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据. 【问题4】利用尺规我们可以作一个角的平分钱，那么角的平分线有什么性质呢？首先思考下面的问题: 如图3，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 图3 【师生活动】学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现，学生互相补充，教师指导，一起概括出角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 【追问1】通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 【师生活动】教师首先引导学生分析命题的条件和结论，如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件(垂直).最后让学生用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△OPD和△OPE中， ∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE. 【追问2】由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ 【师生活动】师生共同概括证明几何命题的一般步骤： (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； (3)经过分析，找出由己知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 【追问3】角的平分线的性质的作用是什么？ 【师生活动】学生回答，角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等. 3.学以致用，应用新知 例1 依据如图的尺规作图判断下列结论不一定成立的是（ ） A.OC＝OD B.PC＝PD C.OC＝PC D.∠POC＝∠POD 答案：C 例2 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P�到三边AB，BC，CA的距离相等． 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. （2）△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . 答案：3 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.你能描述角的平分线的性质吗？ 6.布置作业 教材P50练习1,2.教材P52习题14.3第1题. 让学生们根据所学知识，自主探究角的平分线的点具有什么特性. 让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能，最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性. 让学生通过实验发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路. 以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步骤，发展他们的归纳概括能力，也为后面的几何证明的学习奠定基础. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 1.角的平分线的性质： 例题 2.证明几何命题的一般步骤： 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 角的平分线的判定 课 题 角的平分线的判定 课 型 新授课 教学内容 教材第50-52页的内容 教学目标 1.探索并证明角的平分线的判定定理. 2.能用角的平分线的判定解决简单问题. 教学重难点 教学重点：角的平分线的判定. 教学难点：证明角的平分线的判定定理. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入新课 【问题】如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000）？ 【师生活动】教师引导学生将实际问题转化为数学问题，即在一个角内确定一点到角的两边距离相等. 2.发现探究，学习新知 【追问】我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 【师生活动】引导学生按照证明命题的步骤进行判断证明. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）. ∴∠AOP=∠BOP,∴点P在∠AOB 角的平分线上. 教师指导学生归纳出角的平分线的判定： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 根据上述结论就知道【问题】中的集贸市场应该建在何处了. 3.学以致用，应用新知 例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证： （1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）△ABC的三条角平分线交于一点. 证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE. 同理 PE=PF.∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. （2） 由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　　) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 答案：C （2）如图，已知DE⊥AE，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，BD=CD，BE=CF．求证：AD平分∠BAC. 证明：，， . 在和中，， Rt△BED≌Rt△CFD（HL），. ，， ， 平分. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.你能描述角的平分线的判定吗？ 6.布置作业 教材P51练习1,2.教材P52习题14.3. 通过实际问题引出对角的平分线的性质定理的逆定理的讨论，同时锻炼同学们解决几何证明问题的能力. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 12.3角的平分线的性质 1.角的平分线的判定： 例题 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $