14.3 角的平分线 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

课 题

角的平分线的性质

课 型

新授课

教学内容

教材第48-50页的内容

教学目标

1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性.

2.探索并证明角的平分线的性质定理.

3.能用角的平分线的性质解决简单问题.

教学重难点

教学重点：用尺规作一个角的平分线，角的平分线的性质.

教学难点：探索并证明角的平分线的性质.

教  学  过  程

备  注

1.回顾旧知，引入新课

前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等.本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性.

2.发现探究，学习新知

【问题1】如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？

【师生活动】教师引导学生进行思考，通过上节所学全等三角形的性质和判定来证明△OPM≌△OPN，得到当OM=ON时，PM=PN.

【问题2】由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？

【师生活动】学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题.

【追问1】你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？

【师生活动】学生分析并回答利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了.

【追问2】用平分角的仪器可以平分一个角，你能说明它的道理吗？

图1是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗？

让学生们根据所学知识，自主探究角的平分线的点具有什么特性.

让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从

图1

【师生活动】教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分仪器的工作原理.

【问题3】从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作角的平分线？

【师生活动】师生分别在黑板和练习本上画出∠AOB，学生尝试利用直尺和圆规作∠AOB的平分线.教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具体方法（图2）.

图2

如果学生没有思路，教师可作如下提示:

（1）在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=AD)，怎样在作图中体现这个过程呢?

（2)在平分角的仪器中，BC=DC,怎样在作图中体现这个过程呢？

【追问】你能说明为什么射线OC是∠A0B的平分线吗?

【师生活动】学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据.

【问题4】利用尺规我们可以作一个角的平分钱，那么角的平分线有什么性质呢？首先思考下面的问题:

如图3，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？

图3

【师生活动】学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现，学生

中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能，最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性.

让学生通过实验发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路.

互相补充，教师指导，一起概括出角的平分线的性质:

角的平分线上的点到角两边的距离相等.

【追问1】通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？

【师生活动】教师首先引导学生分析命题的条件和结论，如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件(垂直).最后让学生用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程.

已知：如图，OC是∠AOB的平分线,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.

证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC.

∵ PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.

在△OPD和△OPE中，

∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.

【追问2】由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？

【师生活动】师生共同概括证明几何命题的一般步骤：

(1)明确命题中的已知和求证；

(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；

(3)经过分析，找出由己知推出要证的结论的途径，写出证明过程.

【追问3】角的平分线的性质的作用是什么？

【师生活动】学生回答，角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等.

3.学以致用，应用新知

例1 依据如图的尺规作图判断下列结论不一定成立的是（  ）

A.OC＝OD B.PC＝PD      C.OC＝PC     D.∠POC＝∠POD

答案：C

以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步骤，发展他们的归纳概括能力，也为后面的几何证明的学习奠定基础.

通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.