21.3 课时1 规则图形的面积问题、平均变化率问题 课件 2026-2027学年华东师大版初中数学九年级上册

该初中数学课件聚焦规则图形面积问题与平均变化率问题，课堂导入通过复习解一元二次方程方法及列方程步骤，搭建新旧知识联系的学习支架，为新知应用奠定基础。 其亮点在于面积问题用“平移法”转化复杂图形（如矩形小道平移简化计算）培养几何直观（数学眼光），变化率问题抽象“a(1±x)ⁿ=b”模型发展模型意识（数学语言），规范解答强调解的检验培养推理意识（数学思维）。多样化练习助学生提升实际问题解决能力，结构化流程方便教师教学。

21.3 课时1 规则图形的面积问题、平均变化率问题 32100 1. 能通过实例建立一元二次方程的数学模型. 2. 能初步运用一元二次方程解决与图形面积、平均增长率有关的实际问题，并确定满足实际问题的解. 学习目标 32100 2.列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 1.解一元二次方程的常用方法： . 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 (1)分析题意，设未知数； (2)找出等量关系，列方程； (3) 解方程； (4)看方程的解是否符合题意； (5)作答. 复习导入 32100 知识点1 面积问题 问题1 学校生物小组有一块长32 m、宽20 m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540 m2，小道的宽应是多少？ 先根据题意作出图形: x x 20 32 分析： 新知讲解 32100 x x 20 32 设小道宽为x m，则两条小道的面积分别为32x m2和20x m2，其中重叠部分小正方形的面积为x2 m2，根据题意，得 32×20-32x-20x+x2=540. 有没有更简单的方法方便我们列方程并求解呢？ 可以发现小道的占地面积与位置无关. 32100 试一试：如果设想把小道平移到两边，小道所占面积是否不变？ 可以列方程(20-x)(32-x)=540. 面积不变 x x 20 32 两个方程哪个求解起来会更简单的呢？你能尝试求解吗？ 32×20-32x-20x+x2=540. 32100 设道路的宽为 x m. 则 (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取 x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 规范解答： 32100 在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意： 1.分析题意，抓住等量关系； 2.列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决； 3.求得方程的根之后，要注意检验根是否符合题意，最后得到实际问题的解答. 归纳总结 32100 1.公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为 (　　) A. (x+1)(x+2)=18 B. x2-3x+16=0 C. (x-1)(x-2)=18 D. x2+3x+16=0 C 针对练习 32100 2.如图,某小区计划在一块长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的甬道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种植花草.要使每一块花草的面积都为78 m2,那么甬道的宽应设计成多少米?若设甬道的宽为x m,将6块草地平移拼成一个长方形,其一边长为(30-2x)m,另一相邻边长为　　　m,根据长方形的面积公式可列方程　　　　　 　 ,化成一般形式为　　　　　　,解得x1=　　,x2=　　 (不合题意,舍去).  (60-x) (30-2x)(60-x)=78×6 x2-35x+66=0 2 33 注意：平移的性质——“图形经过移动，它的面积大小不会改变”. 32100 知识点2 变化率问题 问题2 某药品经过两次降价， 每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 分析：若每次降价的百分率为x， 则第一次降价后的零售价为原来的(1-x)倍，即56(1-x)元， 第二次降价后的零售价为56(1-x)元的(1-x)倍，即56(1-x)2. 这与“21.1节问题2中的图书增长率的数量关系是否相似？有什么不同？ 新知讲解 32100 设每次降价的百分率为 x，根据题意，得 56(1 − x)2 = 31.5. 解这个方程，得 x1=0.25，x2=1.75. 因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合题意.经检验，x=0.25=25%符合本题要求. 答：每次降价的百分率为25%. 规范解答： 32100 2.平均变化率问题数量关系： 变化前的量× (1±百分率)n=变化后的量 a× (1±x)n=b 1.“变化率问题”的基本特征： 注意：增长率不可为负，但可以大于1，下降率不能大于1. 平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系． 归纳总结 32100 3.（变式）某公司一月份的营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，求二、三月份平均每月的增长率是多少？如果设二、三月份的平均增长率为x，则列的正确方程为（ ） D A. 100(1+x)=331 B. 100+100x+100x2=331 C. 100(1+x)2=331 D. 100+100(1+x)+100(1+x)2=331 针对练习 32100 1.如图，要把长为 4 m、宽为 3 m的长方形花坛四周扩展相同的宽度 x m,得到面积为30 m2的新长方形花坛，则x的值为 （ ） A. 4.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 D x m 4 m 3 m (4+2x)(3+2 x) = 30. 整理得，2x2+7x-9=0， 解得x1=1，x2=-4.5（舍去）. 随堂检测 32100 解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得 (58 − 2x)x = 200， 整理得 x2 − 29x + 100 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = 4. 当 x = 25 时，58 − 2x = 8； 当 x = 4 时，58 − 2x = 50. 答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m，50 m. 2.如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？ D C B A 随堂检测 32100 围墙问题数量关系： 一般先设其中的一条边为 x，然后用含 x 的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解. 需要注意联系实际问题选择合适的解. 随堂检测 32100 3.某地2018年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年在2018年的基础上增加投入资金1 600万元.从2018年到2020年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ 解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x ， 根据题意，得 1 280(1+x)2=1 280+1 600， 解得x1=0.5=50%，x2=-2.5（舍去）， 答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%. 随堂检测 32100 图形经过移动，它的面积大小不会改变 小路问题 围墙问题 本节课我们学到了哪些知识与方法？ 利用一元二次方程解决实际问题 设其中的一条边为 x，然后用含 x 的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解 增长前的量× (1+增长率)n=增长后的量； a× (1+x)n=b 变化率 问题 课堂总结 32100 $