21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系课件 2026-2027学年华东师大版初中数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习配方法和公式法搭建学习支架，引导学生从具体方程计算两根和积入手，逐步归纳出二次项系数为1及一般形式下的关系，形成完整知识脉络。 其亮点在于以“做一做”“想一想”活动培养数学眼光，通过公式推导发展推理能力，结合典例和变形练习强化应用意识。学生能提升抽象与运算能力，教师可借助层次分明的结构高效开展教学。

21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 32100 1.理解一元二次方程根与系数的关系. 2.会应用一元二次方程根与系数的关系解决有关问题. 学习目标 32100 配方法 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 求根 公式 注意 步骤 1. 变形 2. 定数 3. 判定 4. 计算： a ≠ 0 Δ = b2 − 4ac≥0 公式法 复习导入 32100 一、一元二次方程的根与系数的关系 1. 求出一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根 x1 和 x2，并计算 x1 + x2 和x1·x2 的值． 做一做： 解：方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根为 x1 = 1，x2 = -4， 于是 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -4. 2. 观察两根之和、两根之积与方程的系数a，b，c有什么关系？你能进行描述吗？ 新知讲解 32100 解：方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根为 x1 = 1，x2 = -4， 于是 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -4. 想一想：对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢? 发现：这个方程的二次项系数为 1，它的两根之和 -3 等于一次项系数 3 的相反数，两根之积等于常数项 -4. 32100 我们来考察方程 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0 )． 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 所以 32100 二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为 x1、x2，那么 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q. 归纳总结 32100 例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1) x2 + 3x - 5 = 0； (2)2x2 - 3x - 5 = 0. 解： (1) 设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -5. 解：(2) 方程两边同除以 2，得 设两根为 x1、x2，可得 它的根与系数之间是否也 存在相应的关系式呢？ 典例分析 32100 例2 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 ) 的根与系数的关系． 解：方程两边同除以 a，得 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系． 特例：x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0 )（二次项系数为1） x1 + x2 = -p， x1·x2 = q. (2)2x2 - 3x - 5 = 0 32100 对于任意方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 ) ，它的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系： 注意：前提条件 b2 - 4ac ≥ 0. 文字语言：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比． 归纳总结 32100 1. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： (1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2. 解：(1) x1 + x2 = -( -6 ) = 6，x1x2 = -15. (3) 方程化为 4x2 - 5x + 1 = 0， 针对练习 32100 2. 已知 x1，x2 是一元二次方程 x2 - 2x = 0 的两个实数根，则下列结论错误的是 (　　) A. x1 ≠ x2 B. x12 - 2x1 = 0 C. x1 + x2 = 2 D. x1• x2 = 2 D 针对练习 32100 二、一元二次方程根与系数的关系的应用 例3 已知关于 x 的一元二次方程 x² + ax + a - 5 = 0，若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一个根. 解：将 x = 1 代入方程得，1 + a + a - 5 = 0， 解得 a = 2. ∴原方程为x² + 2x - 3 = 0. 由根与系数的关系可知， 该方程的另一个根为 -3. 你准备如何求解？说说你的想法. 题型1：求方程中待定字母的值 32100 已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略： 方法1：已知方程的一根求另一根，可以直接将一根代入方程中求出待定字母的值，然后再解方程求另一根． 方法2：可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值． 归纳总结 32100 3.关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是_________. m＞ 针对练习 32100 题型2：两根之和、两根之积的常用变形： 二、一元二次方程根与系数的关系的应用 32100 例4 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x²＋4x - 3 = 0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. (1) (2) (3) (4) (5) 解：根据根与系数的关系得： (1) (2) 32100 (3) (4) (5) 32100 4.方程已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12＋x22＝4，则m的值___________． －1或－3 解：根据题意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1， ∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2， ∴(－m－3)2－2(m＋1)＝4， 解得m1＝－1，m2＝－3， 并且当m＝－1或m＝－3时方程都有解， ∴m的值为－1或－3. 针对练习 32100 一元二次方程 的根与系数 的关系 内容 应用 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 1.求方程中待定字母的值. 2.两根之积、两根之和的变形求值. 课堂总结 32100 $