21.2 .5 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，新课导入通过求解具体方程\(x^2 + 3x - 4 = 0\)的根，计算和与积并观察与系数的联系，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接后续一般形式的推导。 其亮点是以问题驱动探究，通过求根公式严谨推导韦达定理，培养学生推理能力（数学思维），例题和训练题强调化为一般形式及判别式应用，体现模型意识（数学语言），课堂小结明确使用条件，助力学生构建知识体系，教师可借此提升教学效率，学生能深化对定理的理解与应用。

一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 1 1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和 进行有关的推理论证； 2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母 系数的取值范围. 学习目标 求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0 的两根 x1 和 x2， 计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数有什么关系？ (x + 1)(x－ 4)= 0 x1 = 1，x2 = －4. x1 + x2 =－3，x1x2 = －4. x2 + 3x －4 = 0 二次项系数为 1 一次项系数为 3 常数项为 －4 等于一次项系数的相反数 等于常数项 因式分解 对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？ 新课导入 我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2－4q ≥ 0） 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 ＝ ， ＝ . ＝ + = p. ＝ · = = q. 探索新知 概 括 二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为 x1、x2，那么 ＝ －p. ＝ q. 例 8 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： （1）x2 + 3x－5 = 0； （2）2x2 － 3x －5 = 0. 解 （1）设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = －3，x1x2 = －5. （2）方程两边同除以 2 ，得 x2 － x－ = 0. 设两根为 x1、x2 ，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = － . 例 9 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0， b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数的关系. 解 方程两边同除以 a ，得 x2 + x + = 0. 由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = . 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系. （2）2x2 － 3x －5 = 0. 你会直接写出答案吗？ 例 8 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： x1 + x2 = – = ， x1x2 = . 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7. 已知方程 一般形式 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） x1 + x2 = －，x1x2 = 没有实数根 整理 代值计算 Δ ≥ 0 Δ < 0 判断 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7. 解:（1）方程化为一般形式为 3x2 + 5x + 1＝0， 则 Δ ＝ 52－4×3×1 ＝13 > 0. 设两根为 x1、x2，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = . 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7. （2）方程化为一般形式为 x2 － 4x － 7＝0， 则 Δ ＝ (－4)2－4×1×(－7) ＝44 > 0. 设两根为 x1、x2，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = . 1. 试由一元二次方程的求根公式，直接推导方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与系数的关系. 【选自教材第36页 练习 第1题】 解: 因为 x = ， 所以 x1 + x2 = + ， x1 · x2 = · . 2. 不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根 的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： 【选自教材第36页 练习 第2题】 （1）x2 + 4x － 3 = 0； （2）3x2 － 4x = 0； 解: （1）因为Δ ＝ 42 －4×1×(－3)＝ 28 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1、x2 ， 则 x1 + x2 ＝－4，x1 · x2 ＝－3. 2. 不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根 的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： 【选自教材第36页 练习 第2题】 （1）x2 + 4x － 3 = 0； （2）3x2 － 4x = 0； （2）因为 Δ ＝(－4)2 －4×3×0 ＝ 16 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1 、x2 ， 则 x1 + x2 ＝－，x1 · x2 ＝ 0. （3）2= x； （4） = . （3）原方程可变形为 x2 + 4 ＝ 0. 因为 Δ ＝02 －4×1×4 ＝－16 < 0，所以方程没有实数根. （4）原方程可变形为 3x2 + 9x－2 ＝ 0. 因为Δ ＝92 －4×3×(－2)＝ 105 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1、x2， 则 x1 + x2 ＝－，x1 · x2 ＝－. 3. 试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法: 【选自教材第37页 练习 第3题】 （1）已知关于 x 的方程 x2 + mx + 2n = 0 的两个根是 1 和 －3， 求 m 和 n 的值； 解:（1）解法一: 将 x＝ 1 和 x ＝ －3 分别代入方程， 得 1 + m + 2n = 0， 9－3m + 2n = 0， 解得 m = 2， n = － . 解法二: 根据根与系数的关系，得 1 + (－3)＝ －m， 1×(－3)＝ 2n，所以 m = 2，n = －. （2）已知关于 x 的方程 x2 + mx－20 = 0 的一个根是 －4， 求它的另一个根和 m 的值. （2）解法一: 将 x ＝－4 代入方程，得 16－4m－20 ＝ 0， 解得 m ＝－1. 将 m ＝－1 代回原方程，得 x2－x－20＝0，解得 x1 ＝ 5， x2 ＝－4，所以另一个根是 5. 解法二: 根据根与系数的关系，设另一个根为 a， 则有－4 + a ＝－m，－4×a ＝－20，所以 a ＝ 5，m ＝－1， 即另一个根为 5，m 的值为 －1. 一元二次方 程根与系数 的关系 使用 条件 设二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q ＝ 0 的 两根为 x1 、x2，那么 x1 + x2 ＝－p，x1x2 ＝ q ①方程是一元二次方程，且要化为一般形式； ②方程有实数根，即 Δ ≥ 0 对于一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 ( a ≠ 0)， 当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根 分别为x1 、x2 ，这两个根与系数的关系是 x1 + x2 ＝－，x1 x2 ＝ . 课堂小结 $