精品解析：湖北恩施土家族苗族自治州恩施市2025-2026学年义务教育期末调研测试八年级数学试题卷

2026年义务教育调研测试八年级数学试题卷 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，需满足两个条件：根指数为2且被开方数非负，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，根指数为2，但被开方数的正负未知，若，则为二次根式，但题目未限定的范围，无法确保其恒成立，故此选项不符合题意； B、，根指数为2，被开方数2是正数，完全符合二次根式的定义，故此选项符合题意； C、，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故此选项不符合题意； D、，根指数为3，属于三次根式，非二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B ． 2. 某班体育老师调查学生对乒乓球、羽毛球、篮球、足球等4项球类运动的喜欢程度，收集整理后得到下图，则喜欢人数最多的项目与喜欢人数最少的项目的人数差是（ ） A. 2 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形统计图读出喜欢人数最多和最少的项目及人数，相减即可求解． 【详解】解：据图可知，喜欢人数最多的项目为足球，人数为人， 喜欢人数最少的项目为羽毛球，人数为人， 故喜欢人数最多的项目与喜欢人数最少的项目的人数差是． 3. “吊脚楼”是土家族传统建筑，其木质窗格常设计成多边形．若某窗格设计为正五边形，则这个正五边形的一个外角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形外角和恒为，正多边形的所有外角都相等，用外角和除以边数即可得到单个外角的度数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正五边形的5个外角大小相等， ∴正五边形一个外角度数为 ． 4. 正比例函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象性质：图象必过原点，当时经过第一、三象限，并结合特殊点坐标进行判断． 【详解】解：函数是正比例函数， 其图象是一条经过原点的直线，故排除D， ， 图象经过第一、三象限，故排除A， 又当时，， 图象必经过点， 观察选项可知，B选项经过点，C选项经过点， C选项符合题意． 5. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，先确定斜边，再代入公式计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是斜边，和是直角边， 由勾股定理得， 代入，， 可得， 解得． 6. 下列计算结果为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项结果，即可得到正确答案． 【详解】解：对选项A，∵ ，结果不等于，∴ 选项A错误，不符合题意； 对选项B，∵ 与不是同类项，无法合并，结果不等于，∴选项 B错误，不符合题意； 对选项C，∵ ，结果不等于，∴ 选项C错误，不符合题意； 对选项D，∵ ，结果等于，∴选项 D正确，符合题意． 综上，故选D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（，为常数，且）的图像交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握“两直线的交点坐标是对应的二元一次方程组的解”是解题的关键．先根据直线的解析式求出点的纵坐标，再利用两直线交点坐标与方程组解的关系得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， ∴ 点的坐标为， ∴ 方程组的解为， 故选：B． 8. 某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A. 红花，白花种植面积一定相等 B. 红花，蓝花种植面积一定相等 C. 蓝花，黄花种植面积一定相等 D. 紫花，橙花种植面积一定相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，，，，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ，，， ， A、C、D正确，B不正确； 故选：B． 9. 已知的三边分别为，，，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：、设，，， ， ， 解得， ∴最大的角， ∴不是直角三角形，该选项符合题意； 、设， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，该选项不符合题意； 、，， ， ∴， ∴为直角三角形，该选项不符合题意； 、∵， ∴为直角三角形，该选项不符合题意． 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小米的速度为 B. 小华提速后的速度为 C. 小米比小华先出发 D. 小华比小米提前到达客人位置 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的应用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解． 【详解】解：由图像可知，小米的图像从开始，小华的图像从开始， 所以小米比小华先出发，故C选项错误，不符合题意； ∵当时，，当时，， ∴小华提速前的速度是， ∵小华出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小华提速后的速度为，故B选项错误，不符合题意； ∴提速后小华行走所用时间为， ∴， ∴， ∴小米的速度为，故A选项正确，符合题意； ∵，， ∴小华比小米提前到达客人位置，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个能与合并的二次根式_____． 【答案】2 【解析】 【详解】试题解析：2是的同类二次根式． 故答案为：2． 12. 一个平行四边形的底边长为5，高可以任意改变，面积为．其中变量是_________． 【答案】 和 【解析】 【分析】根据变量与常量的定义，即在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，由此定义判断变化过程中数值发生改变的量即可得到结果． 【详解】解：本题中，平行四边形的面积公式为， 底边长保持不变，是常量，高可以任意改变，面积随的变化而变化， 因此和的数值都会发生改变，故变量是和． 13. 某地招录教师要进行笔试和面试，其中笔试占，面试占．莫小贝也参与了这次教师招录考试，她的笔试成绩80分，面试成绩90分，莫小贝的最后成绩是_________分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式计算最终成绩即可． 【详解】解：由题意得，笔试权重为，面试权重为，则最后成绩为：． 14. 如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 【答案】 25 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，同理可得正方形H的面积是9，则此题可解． 【详解】解：如图所示，令正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为c， 根据勾股定理，得， 即， ∴正方形G的面积是16，同理可得正方形H的面积是9， 所以正方形E的面积是． 15. 如图是由三个全等的三角形（，，）与中间的小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若满足，且，则长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，设，则，利用线段的和差关系表示出和，过点作交的延长线于点，构造含角的直角三角形，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴，， ∴， 如图，过点作交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式乘法法则和零指数幂的性质计算即可． （2）利用单项式乘多项式法则展开后由二次根式的性质化简即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. A，B，C三地的两两距离如图所示，已知A地在B地的正东方向，通过计算说明C地在B地的正北方向． 【答案】解：在中，，，， ∴，， 则有， ∴，即， ∵A地在B地的正东方向， ∴C地在B地的正北方向． 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理得到，由此判断即可． 【详解】略 18. 如图，在中，，，平分交于点，连接，点，分别是，的中点，连接．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质推出，长度，结合平行线的性质推出，利用角平分线的定义通过等量代换求出，从而判断为等腰三角形，求出长度，即可求出长度，最后利用中位线定理即可求出长度． 【详解】解：为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ． 点，分别是，的中点， 是的中位线， ． 19. 2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，将钧天一号卫星，东坡、、卫星，驭星三号、星，微瞳一号01星，西光壹号06星等8颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）： 七年级：； 八年级：． 七、八年级抽取的学生的成绩分析表 年级 平均数 上四分位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 （1）上述表中， ， ， ， ． （2）补全七年级的箱线图． （3）请结合七、八年级成绩分析，为学校提出进一步培养学生科学精神与理性思维的合理建议． 【答案】（1）96，93，93，87 （2）解：如图所示： （3）解：由箱线图可知， 七年级成绩的中位数和八年级成绩的中位数相同，均为90； 七年级特点：极差较大，箱线图更长，说明七年级学生大部分学生成绩离散，波动强，成绩两极分化明显； 八年级特点：极差更小，箱线图更短，成绩集中度更高，低分学生更少，基础底线优于七年级；但顶尖高分人数少于七年级，高分突破能力偏弱； 故对七年级分层教学缩小成绩差距，同时保持对尖子生的培养； 八年级在夯实基础的同时，增设拓展探究项目拔高上限，借助实践活动整体培育学生理性思维与科学精神． 【解析】 【分析】（1）根据平均数，四分位数，以及众数的概念求解即可． （2）七年级成绩的中位数为90，根据箱线图的画法作图即可； （3）根据箱线图分析七八年级的成绩特点，进而给出意见即可． 【小问1详解】 解：八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 平均数，即； 八年级成绩中，93出现2次，故众数为93，即； （解法一）七年级成绩从小到大排序：，共12个数据， 中位数为， 上四分位数是后半部分的中位数，，即； （解法二）七年级成绩从小到大排序：，共12个数据， 由，可知上四分位数为第9个数据与第10个数据的平均数， 上四分位数为，即； （解法一）八年级成绩从小到大排序：，共12个数据， 中位数为， 上四分位数是后半部分的中位数，，即； （解法二）八年级成绩从小到大排序：，共12个数据， 由，可知上四分位数为第9个数据与第10个数据的平均数， 上四分位数为，即； 综上，，，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 某数学兴趣小组在综合实践课上，探究了“一次性纸杯叠放”的规律．在实验过程中，他们将纸杯叠放成一摞（如图），测得叠放纸杯的个数（个）与叠放后的总高度的数据如下表： 纸杯个数（个） 1 6 11 16 21 … 叠放总高度 7 17 27 37 47 … 探究得到，叠放的总高度与纸杯个数成一次函数关系．请根据表中的信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式． （2）该兴趣小组按照上述叠放纸杯的方式测量教室课桌高度，用了34个纸杯，求课桌高度约为多少． 【答案】（1）（为正整数） （2） 【解析】 【分析】（1）设出关于的函数解析式，选取两组数据使用待定系数法求解即可． （2）将代入函数解析式中求解即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 根据图表可知，当时，；时，； ∴，解得， ∴关于的函数解析式为（为正整数）． 【小问2详解】 解：当时，， 则用了34个纸杯，课桌高度约为． 21. 如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若菱形的面积为48，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，求得，得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的面积公式得，根据菱形的性质得，，再根据矩形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形的面积为48， ∴，，， ∴， 矩形的面积． 22. 在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于，若，则．如：，，． 根据小明发现的规律，完成下列问题： （1） ， ． （2）若，则 ． （3）求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接套用题目中的规律计算即可； （2）根据规律列等式求解； （3）先拆分每一项，再利用裂项相消法计算求和，中间项相互抵消后得到最终结果． 【小问1详解】 解：对于，，可得， 根据题目规律得， 对于，，可得， 根据题目规律得； 【小问2详解】 已知，根据规律可得， 整理得，解得， 由二次根式的非负性可知， ∴； 【小问3详解】 根据题意可知，原式中每一项满足分子， 因此可得， ∴原式 ． 23. 在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 1.【探究发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF．通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为 （直接写出结果）． 2.【验证猜想】同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）： 思路一：过点A作，交CD的延长线于点G． 思路二：过点A作，并截取，连接DG． 思路三：延长CD至点G，使，连接AG． 请选择你喜欢的一种思路证明【探究发现】中的结论． 3.【迁移应用】如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且，，设，试用含的代数式表示DF的长． 【答案】【探究发现】；【验证猜想】见解析；【迁移应用】 【解析】 【分析】1.【探究发现】； 2.【验证猜想】过点A作，交CD的延长线于点G．根据ASA证明，得到，，再根据SAS证明即可得到结论； 3.【迁移应用】根据【验证猜想】的结论，利用勾股定理求解即可． 【详解】1.【探究发现】． 2.【验证猜想】过点A作，交CD的延长线于点G． 在正方形ABCD中，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 3.【迁移应用】连接EF，设DF的长为， ∵BE=a， ∴， ∴， 根据【验证猜想】可得， 在中，根据勾股定理得， ， ∴，即DF的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，且的面积是． （1）求出和的值． （2）以为边在第一象限内作正方形．在轴上找一点，使得的周长最小，并求出点的坐标． （3）点是第一象限内的动点，且满足，试探究：是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）先根据点坐标和的面积求出点坐标，将和坐标代入直线解析式，即可求出和的值． （2）先利用正方形的面积和垂直的性质推出从而推出点坐标，根据勾股定理确定定值，结合周长最小，确定最小，利用轴对称的性质，知道最小，即三点共线，根据和坐标求出直线解析式，最后求出点坐标． （3）利用面积相等求出的面积，再根据的长度求出到的距离为定值，从而知道所在的直线解析式与平行，结合的距离和从而知道点所在的直线解析式就是直线解析式，根据平移的性质代入点坐标，求出点所在的直线解析式，设，根据等腰三角形的性质分情况讨论①②③，利用线段相等，结合点的坐标和勾股定理，列关于的方程，解出即可求出点坐标． 【小问1详解】 解：， ． 的面积是， ， ， ． ，在直线上， 解得， 【小问2详解】 解： 过点作轴于点，如图所示， 为正方形， ，， ，， ， ，， ， ，，， ，， 在中，，， ，， 的周长最小，为固定值， 为最小时，的周长最小， 作点关于轴的对称点，则， 连接交于点，此时点即是满足最小值的点， ， ， 设直线的解析式为则，解得， ． 在轴上， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）可知，，连接，如图所示， ， ， ， 设到直线的距离为， 即， ， 点在过点与直线平行的直线上，即直线． 由（1）可知，直线解析式中，， 直线解析式为， 设点所在的直线解析式为， ， ， ， 点所在的直线解析式为， 则， ①当时，则， 此时和点重合， ， . ②当时，过点作轴于点，如图所示， 则， 在中，， ，， ，即， ， ， ． ③当时，过点作轴于点，过点作轴于点如图所示， ，，，则，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数和几何综合，涉及到正方形的性质，最短路径，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数的解析式，解题的关键是利用轴对称找出最小值，利用等腰三角形两腰相等分情况讨论，将点的坐标转化为线段相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年义务教育调研测试八年级数学试题卷 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 某班体育老师调查学生对乒乓球、羽毛球、篮球、足球等4项球类运动的喜欢程度，收集整理后得到下图，则喜欢人数最多的项目与喜欢人数最少的项目的人数差是（ ） A. 2 B. 7 C. 9 D. 11 3. “吊脚楼”是土家族传统建筑，其木质窗格常设计成多边形．若某窗格设计为正五边形，则这个正五边形的一个外角度数是（ ） A. B. C. D. 4. 正比例函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 或 6. 下列计算结果为4的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（，为常数，且）的图像交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 8. 某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A. 红花，白花种植面积一定相等 B. 红花，蓝花种植面积一定相等 C. 蓝花，黄花种植面积一定相等 D. 紫花，橙花种植面积一定相等 9. 已知的三边分别为，，，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小米的速度为 B. 小华提速后的速度为 C. 小米比小华先出发 D. 小华比小米提前到达客人位置 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个能与合并的二次根式_____． 12. 一个平行四边形的底边长为5，高可以任意改变，面积为．其中变量是_________． 13. 某地招录教师要进行笔试和面试，其中笔试占，面试占．莫小贝也参与了这次教师招录考试，她的笔试成绩80分，面试成绩90分，莫小贝的最后成绩是_________分． 14. 如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 15. 如图是由三个全等的三角形（，，）与中间的小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若满足，且，则长是______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 17. A，B，C三地的两两距离如图所示，已知A地在B地的正东方向，通过计算说明C地在B地的正北方向． 18. 如图，在中，，，平分交于点，连接，点，分别是，的中点，连接．求的长． 19. 2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，将钧天一号卫星，东坡、、卫星，驭星三号、星，微瞳一号01星，西光壹号06星等8颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）： 七年级：； 八年级：． 七、八年级抽取的学生的成绩分析表 年级 平均数 上四分位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 （1）上述表中， ， ， ， ． （2）补全七年级的箱线图． （3）请结合七、八年级成绩分析，为学校提出进一步培养学生科学精神与理性思维的合理建议． 20. 某数学兴趣小组在综合实践课上，探究了“一次性纸杯叠放”的规律．在实验过程中，他们将纸杯叠放成一摞（如图），测得叠放纸杯的个数（个）与叠放后的总高度的数据如下表： 纸杯个数（个） 1 6 11 16 21 … 叠放总高度 7 17 27 37 47 … 探究得到，叠放的总高度与纸杯个数成一次函数关系．请根据表中的信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式． （2）该兴趣小组按照上述叠放纸杯的方式测量教室课桌高度，用了34个纸杯，求课桌高度约为多少． 21. 如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若菱形的面积为48，求矩形的面积． 22. 在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于，若，则．如：，，． 根据小明发现的规律，完成下列问题： （1） ， ． （2）若，则 ． （3）求的值． 23. 在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 1.【探究发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF．通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为 （直接写出结果）． 2.【验证猜想】同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）： 思路一：过点A作，交CD的延长线于点G． 思路二：过点A作，并截取，连接DG． 思路三：延长CD至点G，使，连接AG． 请选择你喜欢的一种思路证明【探究发现】中的结论． 3.【迁移应用】如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且，，设，试用含的代数式表示DF的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，且的面积是． （1）求出和的值． （2）以为边在第一象限内作正方形．在轴上找一点，使得的周长最小，并求出点的坐标． （3）点是第一象限内的动点，且满足，试探究：是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $