黑龙江佳木斯市第十一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 以《志愿军雄兵出击》观影座位、智能驾驶辅助系统等现实情境为载体，综合考查高二数学核心知识与抽象能力、推理能力、数据观念等素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、数列等基础概念|注重数学眼光下的概念辨析| |多选题|3/18|统计量、正态分布、函数极值|考查数学思维的严谨性| |填空题|3/15|命题否定、二项式定理、排列组合|强调数学语言的精准表达| |解答题|4/77|排列组合应用、数列求和、独立性检验、函数单调性与恒成立|以智能驾驶数据等真实情境考统计推理，函数综合题体现逻辑思维梯度|

《2025-2026年度第二学期期末考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B B B A C ACD ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据题意，利用集合并集和补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合，可得， 又由集合，可得. 2．C 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据复数的概念求解. 【详解】因为， 所以, 所以的实部为2. 故选：C 3．D 【详解】根据题意知，，则， ，则不成立，A错误； ，，则与不平行，B错误； ，，则不成立，C错误； ，则， 则， 又，，D正确． 4．B 【分析】根据题意，求出的范围，结合小范围可以推出大范围，而大范围推不出小范围即可得到正确选项. 【详解】由，得， 因是的真子集，所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 5．B 【分析】根据已知求出，再求出公比和首项，最后求. 【详解】因为， 所以. 因为， 所以. 所以， 所以. 故选B 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．B 【分析】根据函数乘积的导数运算法则即可求出． 【详解】因为，所以． 故选：B． 7．A 【解析】根据正态分布密度曲线的特点，结合μ＝2，可知P（X≥0）＝0.84＝P（X≤4），则P（X＞4）即可求出． 【详解】由已知得μ＝2，故P（X≥0）＝P（X≤4）＝0.84， 所以P（X＞4）＝1﹣P（X≤4）＝1﹣0.84＝0.16． 故选：A． 【点睛】本题考查正态分布密度曲线的对称性性质及其应用，以及相关概率问题的计算，属于基础题． 8．C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 9．ACD 【解析】由，的坐标，根据向量模、夹角的坐标表示及向量垂直、平行的判定即可判断各选项的正误. 【详解】∵，， ∴，， ∴，故A正确； ∵， ∴与不平行，故B错误； 又，C正确； ∵，又， ∴与的夹角为， D正确. 故选：ACD 10．ABD 【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】因为，所以第百分位数为，A正确； 若随机变量服从正态分布，且， 则， 则，B正确； 若线性相关系数越接近， 则两个变量的线性相关性越强，C错误； 对于D，样本点的中心为， 所以，， 因为此时线性回归方程为， 所以，所以，D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】对于A，当时，参数取任意实数时，都有，可得曲线过定点；对于选项B与选项C，通过求导，讨论导函数的零点分布即可判断；对于D，由函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，由，可知曲线过定点，故A正确； 对于B，C,由求导得，因, 由，可得或；由，可得, 故在和上单调递增；在上单调递减， 所以有2个极值点，故B正确，C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得，故D正确. 12. 13． 【分析】先由题设条件解得，再利用展开式的通项公式即可求解 【详解】因为的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，解得. 又的展开式的通项公式， 令，得，所以展开式中的常数项为. 故答案为： 14．62 【分析】对去社区分1个人、2个人和3个人讨论即可. 【详解】因为甲和乙都不能去A社区，对A社区去的志愿者人数进行分类讨论： 若去社区只有1个人，有3种情况，然后将剩余4人分为两组，再将这两组分配给两个社区， 此时有种不同的安排方式； 若去社区有2人，有种情况，然后将剩余3人分为两组， 再将这两组分配给两个社区，此时有种不同安排方式； 若去社区有3人，只需将甲，乙两人分配给社区即可，每个社区1个人，此时有种不同的安排方式． 由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种． 故答案为：62. 15．(1)576 (2)240 (3)3720 (4)2880 【分析】（1）根据排列中的相邻元素用捆绑法求解即可； （2）根据排列问题的特殊元素优先安排结合分步乘法计数原理求解即可； （3）根据排列问题的特殊元素优先安排分步乘法计数原理求解即可； （4）根据相邻元素捆绑，不相邻元素插空安排，结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法， 因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （3）7个人全排列，有种排法， 甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法， 所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有种排法； （4）先排4名女生，有种排法， 从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有种选法， 4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有种插法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法． 16．（1）；（2）. 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，进而可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，先得到，由裂项求和的方法，即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为（）， 因为，则，，， 因为是与的等比中项， 所以， 即， 化简得， 解得或（舍） 所以. （2）由（1）知，， 所以， 所以 . 【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，以及裂项相消法求数列的和，涉及等比中项的应用，属于常考题型. 17．(1)0.58 (2)有关 【详解】（1）设事件A为“车主驾龄不超过5年”，事件B为“车主经常使用智能驾驶辅助系统”. 由题意可知：，，根据条件概率公式得：， 所以该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率为0.58. （2）提出假设：智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄无关， 根据表中数据可得： ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.010. 18．(1) (2)分布列为 数学期望. 【分析】（1）直接根据古典概型的概率公式计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，因此由超几何分布的概率公式计算可得. 【详解】（1）从台电脑中随机挑选出台电脑共有种结果， 因为挑选出的品牌电脑的台数是品牌电脑的台数的正整数倍， 所以挑选出的品牌电脑台，品牌电脑台或品牌电脑和品牌电脑各台，共有．    所以挑选出的台电脑中品牌电脑的台数是品牌电脑的台数的正整数倍的概率为：． （2）可能的取值为，且服从超几何分布，. 所以，， ，．   可得X的分布列为： 可得． 19．(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）先求导，再分和两种情况，利用导数分析求解即可； （3）由题意得到在上恒成立，再构造函数，并利用其单调性将问题转化为在上恒成立，进而求解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以切点为， 又斜率， 故切线方程为：， 即； （2），的定义域为， 当时，，，所以在上单调递增， 当时， 时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增； （3）由题可知在上恒成立， 即在上恒成立， 则有在上恒成立， 令，由可得在上单调递增， 故可化为， 所以在上恒成立, 即，解得， 故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第二学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题 (本题共8小题每小题5分共40分) 1．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的实部为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知向量，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则= A．32 B．31 C．30 D．29 6．设,那么（    ） A． B． C． D． 7．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≥0）＝0.84，则P（X＞4）＝（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.68 8．已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 二、多选题(本题共3小题每小题6分共18分) 9．已知向量，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 10．下列说法正确的是（    ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 B．若随机变量X服从正态分布，且，则 C．两个变量的线性相关性越强，则线性相关系数r越接近1 D．对具有线性相关关系得变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 11．已知函数，，则（   ） A．曲线过定点 B．有2个极值点 C．在区间上单调递减 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题(本题共3小题每小题5分共15分) 12．命题“的否定是_________． 13．在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为__________. 14．某志愿者协会安排甲、乙等5名志愿者到A、B、C三个社区进行志愿者服务，要求每个社区都要有志愿者去，且甲和乙都不能去A社区，则不同的安排方式有__________种．（用数字作答） 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ (3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ (4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 16．（本题15分）已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 17．（本题15分）智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表： 经常使用智能驾驶辅助系统 不经常使用智能驾驶辅助系统 合计 驾龄≤5年 58 42 100 驾龄＞5年 36 64 100 合计 94 106 200 (1)从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（本题17分）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台，从中随机挑选出台电脑． (1)求挑选出的台电脑中品牌电脑的台数是品牌电脑的台数的正整数倍的概率； (2)设挑选出的台电脑中品牌电脑的台数为，求的分布列与数学期望． 19．（本题17分）已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $