黑龙江佳木斯市第十一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷以数列、排列组合、概率统计为核心，通过侗族大歌节活动安排、数学建模竞赛等真实情境题，考查数学抽象、运算推理及数据观念，实现基础巩固与应用能力的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列（通项公式、等差中项）、二项式系数|通过观察等式归纳规律，培养创新意识| |多选题|3/18|等差数列性质、随机变量分布|结合数列单调性判断，发展推理能力| |填空题|3/15|等比数列性质、二项式系数和、全概率公式|以生产线次品率计算，体现数据应用| |解答题|5/77|数列综合（通项与求和）、排列组合（相邻问题）、统计（分布列与均值）|侗族大歌节活动安排题融合文化传承，数学建模竞赛题强化模型意识|

《2025-2026学年度下学期期中考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C B A D AD ABC 题号 11 答案 ABC 1．A 【详解】由， 得该数列的通项公式可以为． 2．B 【分析】利用等差中项求解. 【详解】， 的等差中项为， 故选：B 3．C 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以（舍去）， 所以 4．C 【分析】由题意可得，代入中化简可求出的范围，从而可求得结果 【详解】由题意可得， 因为， 所以，化简得， 解得（舍去），或， 因为， 所以最小正整数n的值为7， 故选：C 5．C 【详解】试题分析：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期六参加活动，有种情况， 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期五、星期日参加活动，有种情况， 则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种， 故选C． 考点：排列组合及简单计数问题 点评：本题考查排列、组合的综合运用，本题解题的关键是注意优先分析特殊的元素，同时需要区分排列与 组合的意义． 6．B 【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可． 【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选三门德育校本课程， 每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况， ①三组人数为1、1、3，此时有种； ②三组人数为2、2、1，此时有种. 所以不同的报名方法共有60＋90＝150种． 故选：B． 7．A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 8．D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】因为随机变量，正态分布关于均值对称， 所以，又，则， 而，因为， 所以，解得. 9．AD 【分析】根据已知条件列出方程组，求出，进而即可判断各项. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以数列单调递减，故B错误； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，由可得，，解得. 又，所以. 所以数列的前7项均为正数，，所以前7项和最大，故D正确. 故选：AD. 10．ABC 【分析】对于A：根据阶乘的定义分析判断；对于B：根据组合数公式列式求解；对于C：根据组合数公式分析证明；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为m，且， 对于选项A：由排列与组合的含义可以推出，故A正确； 对于选项B：因为， 整理得，解得或（舍去），故B正确； 对于选项C：因为 ， 即，故C正确； 对于选项D：例如，则， 可知，故D错误； 故选：ABC. 11．ABC 【分析】结合期望和方差公式，以及期望和方差的线性公式，即可求解． 【详解】解：由分布列的性质可得，，故A正确； ，故B正确， ， ，故C正确， ，故D错误． 故选：ABC． 12．2 13． 【解析】利用二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和为，展开式中中间项的二项式系数最大． 【详解】据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为， ∴， 解得， 展开式共项， 由中间项的二项式系数最大， 故展开式中系数最大的项是第项，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和是；展开式中中间项的二项式系数最大． 14． 【详解】设“抽到的产品来自生产线”， “抽到的产品来自生产线”， “抽到的产品是次品”， 则． 15．(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式求解即可； （2）由等差数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 解得， 所以； （2）. 16．(1)120 (2)96 (3)48 【分析】（1）将5项活动进行全排列，即可求得答案； （2）先从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，其余全排列，即可求得答案； （3）利用捆绑法，即可求得答案. 【详解】（1）安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序， 共有种不同的安排方案； （2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行， 则共有种不同的安排方案； （3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动， 内部全排列，然后和其余活动全排列， 则共有种不同的安排方案. 17．（1）1；（2）243；（3） 【分析】（1）令x=1即得；（2）在中，令得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解. 【详解】∵， （1）令，可得； （2）在中，令，可得； （3） ． 【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18．(1)， (2) 【分析】（1）列式计算等差数列的公差与等比数列的公比，从而写出通项公式；（2）计算，从而表示出，利用分组求和法与裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则. 所以，. （2），则， . 19．(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期中考试 高二数学 第I卷（选择题） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．数列，，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 3．已知是等比数列的前项和，若，，则（   ） A．127 B．63 C． D． 4．观察等式：，，，.若第n个等式为，则满足不等式成立的最小正整数n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 A．120种 B．96种 C．60种 D．48种 6．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（    ） A．60种 B．150种 C．180种 D．300种 7．在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 8．已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 9．若数列为等差数列，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C．-20是数列中的项 D．数列前7项和最大 10．已知m，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则 C． D． 11．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ） 0 1 0.6 0.4 A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．在等比数列中，，则__________. 13．在的二项展开式中，若二项式系数的和为，则二项式系数的最大值为_____（结果用数字作答）. 14．某批产品来自 A、B两条生产线，A生产线占60%，次品率为4%；B生产线占40%，次品率为5%.现随机抽取一件进行检测，抽到的是次品的概率是________. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15．（本题13分）等差数列满足a5=14，a7=20，其前n项和为Sn． (1)求数列的通项公式； (2)求该数列的前10项和． 16．（本题15分）3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序. (1)共有多少种不同的安排方案? (2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案? (3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案? 17．（本题15分）设，求： （1）； （2）； （3）． 18．（本题17分）在等差数列和等比数列中，，， (1)求和的通项公式； (2)若的前项和为，，求数列的前项和. 19．（本题17分）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $