精品解析：重庆市渝北区数据谷八中2025-2026学年人教版六年级下学期小升初自主招生数学卷

小升初自主招生数学卷 A卷 重庆市渝北区数据谷八中 2026.5.1 一、计算题。（本大题7个小题，每小题3分，共21分）写出必要的解答过程，能简算的要简算。 1. 基础计算。 （1） （2） 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】（1）算式中有相同的数字重复出现，可以运用提取公因数或整体代换简化计算。观察发现分母是，分子有，其中，恰与分子相等，可直接约分。 （2）同样观察算式结构，分子和分母都有相同数字模式。分母。分子。分子分母恰好相等。 【详解】（1） （2） 2. 进阶计算。 （1）＋＋＋……＋＋ （2）[（1－0.8）＋1＋2]× （3）＋＋＋……＋ （4） （5） 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）2.1；（5）12 【解析】 【分析】（1）这道题是分数数列求和。观察每项的分母：第一项的分母是，第二项是，第三项是，最后一项是。分子分别是1，2，3，…，9，最后一项分子是1。这些分数并不是常见的裂项形式，但可以尝试通分或用递推关系。注意到每一项都是前面所有项累加后达到某个值。我们先写出通项：第项为，最后一项为。求和，利用简算； （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的加法，最后乘。注意把带分数化假分数，小数化分数，统一计算。 （3）这是一道分数裂项求和题。分母分别为2，6，12，…，56，分别是。每一项，求和时中间项抵消； （4）分子分母分别计算。分子先算乘除再相减，带分数化假分数。分母通分相加，最后用分子除以分母。 （5）分子分母都有连乘，观察到分子9.1刚好是分母18.2的一半，根据乘法结合律从24里分出因数2，与9.1凑成18.2先约分再计算。然后再分别计算分子和分母的乘积，可先化分数统一约分简便。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 二、填空题。（本大题9个小题，每小题4分，共36分） 3. 已知ABCD是平行四边形，BC∶CE＝3∶2，三角形DOE的面积为6平方厘米。则阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】21 【解析】 【分析】连接AC，根据ABCD是平行四边形、BC∶CE＝3∶2、蝴蝶定理可知梯形ACED中△COE、△AOC、△DOE、△AOD的面积比，联系△DOE的面积是6平方厘米，可算出△AOC、△AOD的面积，进而可算得△ABC的面积，阴影部分面积是△ABC与△AOC的面积和。 【详解】连接AC ABCD是平行四边形、BC∶CE＝3∶2，所以CE ∶AD＝2∶3，在梯形ACED中，根据蝴蝶定理可知：S△COE∶S△AOC∶S△DOE∶S△AOD ＝22∶（2×3）∶（2×3）∶32＝4∶6∶6∶9， △DOE面积是6平方厘米， （平方厘米）所以△AOC的面积是6平方厘米， （平方厘米）所以△AOD的面积是9平方厘米， （平方厘米） S△ACD＝S△ABC，所以△ABC的面积是15平方厘米， 阴影部分面积是△ABC与△AOC的面积和： （平方厘米） 所以阴影部分面积是21平方厘米。 4. 一根竹笋，从发芽到长大，如果每天长高一倍，经过10天长到40分米。那么长到2.5分米时，需要经过（ ）天。 【答案】6 【解析】 【分析】已知每天长高一倍，就是每天高度变成前一天的2倍。经过10天长到40分米，要求长到2.5分米时是第几天。解决这类问题可以用逆推法，从最后一天的高度往前一天推，每次除以2，推到目标高度为止，看推了几天。 【详解】第10天：40分米 第9天：40÷2＝20（分米） 第8天：20÷2＝10（分米） 第7天：10÷2＝5（分米） 第6天：5÷2＝2.5（分米） 即经过6天达到2.5分米。 5. 如果规定a※b＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是（ ）。 【答案】218 【解析】 【分析】规定，只要把和分别代入和的位置并进行计算就行了。 【详解】因为 的最后结果是。 6. 对于非零自然数a和b，规定符号⊗的含义是：a⊗b＝（m×a＋b）÷2ab（m是一个确定的整数）。如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】已知条件“1⊗4＝2⊗3”，先分别把两组数代入公式“a⊗b＝（m×a＋b）÷2ab”，建立方程求出m；再将a＝3、b＝4与求出的m代入公式，算出3⊗4的结果。 【详解】代入a＝1，b＝4计算左边 1⊗4＝（m×1＋4）÷（2×1×4） ＝（m＋4）÷8 代入a＝2，b＝3计算右边 2⊗3＝（m×2＋3）÷（2×2×3） ＝（2m＋3）÷12 左边等于右边，则 （m＋4）÷8＝（2m＋3）÷12 解：（m＋4）÷8×8×12＝（2m＋3）÷12×8×12 （m＋4）×12＝（2m＋3）×8 12m＋48＝16m＋24 16m＋24＝12m＋48 16m＋24－12m ＝12m＋48－12m 4m＋24＝48 4m＋24－24＝48－24 4m＝24 4m÷4＝24÷4 m＝6 将a＝3、b＝4、m＝6代入a⊗b＝（m×a＋b）÷2ab，得： 3⊗4＝（6×3＋4）÷（2×3×4） ＝22÷24 ＝ 7. 甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工20个，丙加工零件数是乙加工零件数的，甲加工零件数是乙、丙加工零件总数的，则甲、丙加工的零件数分别为（ ）个、（ ）个。 【答案】 ①. 60 ②. 32 【解析】 【分析】把乙加工的零件数看作1，则丙加工的零件数为，甲加工的零件数为，由于甲比乙多加工20个，所以乙加工了20÷（－1）＝40个，据此解答。 【详解】丙加工的零件数分别为：40×＝60（个）、40×＝32（个）。 答：甲、丙加工的零件数分别为60个和32个。 【点睛】本题考查了分数乘法应用题，求一个数的几分之几用乘法计算。 8. 在1991，1992，1993，1994，1995，1996，1997这七个数中，不能写成两个自然数的平方差的数是（ ）。 【答案】1994 【解析】 【分析】因为只有当自然数是奇数或4的倍数时，才能将此自然数写成两个自然数的平方差，据此解答。 【详解】1994不是奇数，1994÷4＝498……2，1994不是4的倍数，所以1994不能写成两个自然数的平方差。 其它的数可写成两个自然数的平方差， 9. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步。如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是（ ）米。 【答案】150或300 【解析】 【分析】提高25%，即变为原来的1.25倍；减少20%即变为原来的0.8倍。 这是一道环形跑道上的变速追及问题。两人同时同地同向出发，乙速度比甲快，所以乙会追上甲。每次追上意味着乙比甲多跑一整圈。题目有两个阶段：第一次追上之前，两人速度恒定；第一次追上那一刻，两人同时改变速度，之后乙再次追上甲。已知两次追上地点之间的距离，求跑道周长。可利用追及时间与路程关系，设甲初始速度为，则乙初始速度为，第一次追上时间可求，路程也可表示。变速后再求第二次追上的时间和路程，利用相遇地点差列方程。 【详解】设周长为，甲初始速度为，则乙初始速度为。 第一次追上： 速度差，时间。 甲路程，即第一次追上点距起点。 变速： 甲速度变为，乙速度变为。 第二次追上： 速度差，时间。 甲从第一次追上点出发走。 新位置距起点：，折合为。 两次追上点距离： 两点位置与，环形距离为或。 若相距指较短弧长：（米） 若相距指较长弧长：（米） 10. 在边长为1的正三角形中任意放入122个点，必有2个点的距离不大于为大于0的整数，则的最大值为（ ）。 【答案】11 【解析】 【分析】把大正三角形分割成若干个边长为的小正三角形（相当于抽屉），再根据抽屉原理：如果抽屉数小于点数，那么至少有一个抽屉里存在2个点，这两个点的距离就不会超过小正三角形的边长。需要找到最大的整数n，使得分割出的小正三角形数量小于122，这样放入122个点时，必然有2个点在同一个小正三角形内，距离不大于。 【详解】1．分割大正三角形 把边长为1的正三角形的每条边n等分，然后连接各边的等分点，作平行于各边的线段，就能把大正三角形分成若干个边长为的小正三角形。小正三角形的总数为：1＋3＋5＋＋（2n－1）＝（这是首项为1、末项为2n－1的等差数列求和）。 2． 应用抽屉原理 要保证放入122个点后，必有2个点的距离不大于，就需要让小正三角形的个数小于122。 即：。 3．求n的最大值 因为，，所以满足条件的最大整数n是11。 则的最大值为11。 11. 为了传承中华文化，激发爱国情怀，提高文学素养，某中学七（3）班举办了“古诗词”大赛，现有小轩、小雯、小婷三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1、2、3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a、b、c（且a、b、c均为正整数）。选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，则小婷同学在这六轮中，共有______轮获得了第三。 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小轩 a a 27 小雯 a b c 11 小婷 c b 10 【答案】 2 【解析】 【分析】 本题考查逻辑推理与整数性质的综合运用。解题思路如下： 求单轮总分：根据三位选手的最后得分之和，计算出六轮比赛的总分，进而求出每一轮三个名次得分之和（）。 确定分值：结合且均为正整数的条件，列举可能的取值组合。利用小轩的高分排除不可能的组合，确定、、的具体数值。 分析小婷得分：根据小婷的总分和已知的轮次得分情况，利用假设法或列简单方程，推算出她获得第三名的轮数。 【详解】第一步：计算每轮得分之和，三位选手最后得分总和为：（分） ，因为比赛共分为六轮，每轮三个名次的得分之和为，所以：   第二步：确定、、的值，已知、、均为正整数，且。 和为的三个不同正整数组合只有两种情况： （即） （即） 分析小轩的得分：小轩总分为分。如果，即使小轩六轮全部获得第一名，总分最高也只有（分），小于分，不符合题意。 因此，只能为，对应的，。 第三步：推算小婷获得第三名的轮数，已知小婷总分为分，且。 查看表格可知，小婷在第二轮得分（分），第四轮得分（分）。 假设小婷在六轮比赛中获得第一名（分）的轮数为轮。 若，则剩余轮得分之和为（分）。因为最低分（分），剩余轮必须全部得分（即全部为第三名）。此时小婷的得分构成为：轮第一名，轮第二名，轮第三名。但这与表格中已知小婷在第四轮获得第二名（分）矛盾，所以小婷获得第一名的轮数为。 既然小婷没有获得过第一名，她的得分只由第二名（分）和第三名（分）组成。 设小婷获得第三名（分）的轮数为轮，则获得第二名（分）的轮数为轮。 根据总分列式：       ，经检验，当时，第二名轮数为轮，总分分，符合题意且包含已知的第二轮第三名和第四轮第二名。所以，小婷共有轮获得了第三。 B卷 三、解答题。（本大题共6个小题，1－3题每题6分，4题8分，5题15分，共43分） 12. 计算：。 【答案】1 【解析】 【分析】复杂的繁分数计算，我们要做到两点：一是分子分母分开来看，二是整体约分。将分子分母的每个括号通分，把乘法写成假分数连乘形式，然后约分。分子从乘到，共（项）；分母从乘到，共41项。分子每个括号通分后为，从7到47，即。 分母类似为。仔细观察分子和分母的分子部分：分子是79到119连乘，分母也是79到119连乘，可以完全抵消。最后分子剩，分母剩，再乘后面的数直接整体约分。 【详解】分子： 分母： 分子除以分母： 再乘： 13. 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排，甲、乙、丙、丁、戊五个人猜各包里的珠子的颜色。 甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二包蓝色，第四包红色。” 丙猜：“第一包红色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第四包白色 戊猜：“第二包黄色，第五包紫色 结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？ 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 【答案】 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 红色 蓝色 黄色 白色 紫色 【解析】 【分析】假设甲猜的第二包紫色是对的，则第三包黄色是错的，戊猜的第五包紫色是错的，戊猜的第二包黄色是对的，与假设矛盾， 则甲猜的第二包紫色是错的，所以第三包黄色是对的； 则丁猜的第三包蓝色是错的，所以第四包白色是对的。 所以乙猜第四包红色是错的，第二包蓝色是对的； 则戊猜第二包黄色是错误，第五包紫色是对的，所以丙猜第五包白色错的，第一包红色是对的。 【详解】根据分析可知，第一包是红色，第二包是蓝色，第三包是黄色，第四包是白色，第五包是紫色。 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 红色 蓝色 黄色 白色 紫色 14. 一副扑克包括大小王在内共54张，其中，红桃、黑桃、梅花、方块4种花色的牌各13张，点数分别从1到13（A＝1，J＝11，Q＝12，K＝13）。明明在一副扑克中任意抽取2张牌（若抽到大小王，大小王牌可以变身从1到13的任意点数），恰好抽到点数之和为8的倍数的概率（可能性）为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】先计算从54张牌中抽取2张的总情况数，再分两张都是普通牌、一张普通牌一张王（任意点数的普通牌都可通过王的变身，使点数和为8的倍数）、两张都是王三类，分别计算满足点数和为8的倍数的情况数，最后用符合条件的总情况数除以总情况数得到结果。 【详解】（1）总抽取情况数：从54张牌中任意抽2张（不考虑顺序），先第一张有54种选择，第二张剩53种，这是分先后、有顺序的抽法；而题目不考虑两张牌抽出的先后，比如先抽红桃A再抽黑桃5，和先抽黑桃5再抽红桃A算同一种，所以每一组牌被重复算了2次，要除以2；总情况数为：（种） （2）两张都是普通牌的符合条件的情况数：普通牌点数分别从1到13，则普通牌点数和的范围是2到26，其中8的倍数有8、16、24。 ①和为8的组合：1＋7、2＋6、3＋5、4＋4 前3组中，每张牌都有不同的花色4张，配对则每组有（种），共（种） 4＋4一共有4张不同的花色牌，不分顺序的情况有（种） 合计：（种） ②和为16的组合：3＋13、4＋12、5＋11、6＋10、7＋9、8＋8 前5组每组有（种），共（种） 8＋8的情况有（种） 合计：（种） ③和为24的组合：11＋13、12＋12 11＋13有（种） 12＋12有（种） 合计：（种） 两张普通牌符合条件的总情况数：（种） （3）抽1张普通牌和1张王，从52张普通牌抽一张有52种，从2张王抽一张有2种，共有（种）选法 （4）两张都是王的符合条件的情况数：两张王只有1种选法，可通过变身凑出和为8的倍数，因此符合条件的有1种。 （5）总符合条件的情况数：（种） （6）概率： 15. 将1，2，3，4……，n，这些数按顺序排成一个圆圈，然后将1后面的两个数（2，3）划去，4后面的两个数（5，6）划去，7后面的两个数（8，9）划去……，一直划到只剩下1个数。 （1）当n＝3，9，27时，最后这个数是几？ （2）猜想：当n＝3k（k为非零自然数）时，最后这个数是几？ （3）当n＝1001时，最后这个数是几？试说明理由。 【答案】（1）1 （2）1 （3）409；当n＝3k＋m（0＜m＜3k），先划去前m个数后，剩余3k个数，此时新序列第一个数字为3m÷2＋1；由（2）结论，3k个数最后剩序列首位，即3m÷2＋1，代入m＝272，得409。 【解析】 【分析】从简单的3的幂次的n入手，通过枚举操作过程发现结果均为1，进而猜想一般规律。对于任意n，先划去多余的数，使剩余数的个数为3的幂，此时的起点数即为最终结果。 【小问1详解】 当时：将1，2，3排成圆圈，划去1后面的2和3，仅剩1。 当时：第一轮划去2，3，5，6，8，9，，剩余1，4，7三个数；第二轮从1开始，划去4和7，仅剩1。 当时：第一轮划去18个数，剩余9个数；第二轮剩余3个数；第三轮剩余1个数，最终为。 【小问2详解】 观察、、的结果均为，因此猜想当（为非零自然数）时，最后这个数是。 【小问3详解】 第一步：计算小于的最大的的幂： ，，，，，，，故最大为。 第二步：计算需要划掉的数的数量： （个） 第三步：计算操作次数： 每次操作划掉个数，（次） 第四步：计算次操作后的下一个起点数： 初始起点为，每操作1次起点增加，因此下一个起点为： 第五步：剩余个数，是的幂，根据已验证的规律，最后剩下的数就是此时的起点。 16. 一个三阶矩阵A＝，可记作，是对矩阵进行计算，其规律如下。 ①＝1； ②当矩阵两行互换时，结果互为相反数，表示为：； ③*； ④两个矩阵只有一行或者一列不同，其它都相同，则可以相加，比如。 ＋ 根据以上规律计算下列各题。 （1）； （2）； （3）； （4）＋； （5）＋。 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题给出了三阶行列式的4条基础运算规则，将待求行列式通过规则变形，转化为已知结果的单位矩阵行列式，再计算最终结果，各类型问题的处理方法： （1）对角矩阵：逐行提取公因子，直接转化为单位矩阵计算； （2）行错位矩阵：通过行交换变为对角矩阵，每交换一次行，结果乘以−1，根据交换次数确定符号后计算； （3）含两行相同的行列式：交换相同两行后行列式与原行列式相等，又满足变号规则，可推导出结果为0； （4）可相加行列式：先按规则合并为一个行列式，再拆分化简计算； （5）一般行列式：按列、行拆分为多个简单行列式，分别计算后求和。 【详解】（1）根据规则③（提取公因子），分别从第二行提取公因子2，第三行提取公因子3， （2）通过行交换转化为第1题的对角矩阵，根据规则②（交换行变号）：第一次交换第1行和第2行，结果变号，第二次交换第2行和第3行，结果再变号。 （3）交换第1行和第2行，交换后矩阵与原矩阵完全相同，根据规则②得： （4）两个行列式仅第二行不同，符合规则④的相加规则： （5）先分别计算两个行列式的值再相加。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初自主招生数学卷 A卷 重庆市渝北区数据谷八中 2026.5.1 一、计算题。（本大题7个小题，每小题3分，共21分）写出必要的解答过程，能简算的要简算。 1. 基础计算。 （1） （2） 2. 进阶计算。 （1）＋＋＋……＋＋ （2）[（1－0.8）＋1＋2]× （3）＋＋＋……＋ （4） （5） 二、填空题。（本大题9个小题，每小题4分，共36分） 3. 已知ABCD是平行四边形，BC∶CE＝3∶2，三角形DOE的面积为6平方厘米。则阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 4. 一根竹笋，从发芽到长大，如果每天长高一倍，经过10天长到40分米。那么长到2.5分米时，需要经过（ ）天。 5. 如果规定a※b＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是（ ）。 6. 对于非零自然数a和b，规定符号⊗的含义是：a⊗b＝（m×a＋b）÷2ab（m是一个确定的整数）。如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于（ ）。 7. 甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工20个，丙加工零件数是乙加工零件数的，甲加工零件数是乙、丙加工零件总数的，则甲、丙加工的零件数分别为（ ）个、（ ）个。 8. 在1991，1992，1993，1994，1995，1996，1997这七个数中，不能写成两个自然数的平方差的数是（ ）。 9. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步。如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是（ ）米。 10. 在边长为1的正三角形中任意放入122个点，必有2个点的距离不大于为大于0的整数，则的最大值为（ ）。 11. 为了传承中华文化，激发爱国情怀，提高文学素养，某中学七（3）班举办了“古诗词”大赛，现有小轩、小雯、小婷三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1、2、3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a、b、c（且a、b、c均为正整数）。选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，则小婷同学在这六轮中，共有______轮获得了第三。 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小轩 a a 27 小雯 a b c 11 小婷 c b 10 B卷 三、解答题。（本大题共6个小题，1－3题每题6分，4题8分，5题15分，共43分） 12. 计算：。 13. 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排，甲、乙、丙、丁、戊五个人猜各包里的珠子的颜色。 甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二包蓝色，第四包红色。” 丙猜：“第一包红色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第四包白色 戊猜：“第二包黄色，第五包紫色 结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？ 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 14. 一副扑克包括大小王在内共54张，其中，红桃、黑桃、梅花、方块4种花色的牌各13张，点数分别从1到13（A＝1，J＝11，Q＝12，K＝13）。明明在一副扑克中任意抽取2张牌（若抽到大小王，大小王牌可以变身从1到13的任意点数），恰好抽到点数之和为8的倍数的概率（可能性）为多少？ 15. 将1，2，3，4……，n，这些数按顺序排成一个圆圈，然后将1后面的两个数（2，3）划去，4后面的两个数（5，6）划去，7后面的两个数（8，9）划去……，一直划到只剩下1个数。 （1）当n＝3，9，27时，最后这个数是几？ （2）猜想：当n＝3k（k为非零自然数）时，最后这个数是几？ （3）当n＝1001时，最后这个数是几？试说明理由。 16. 一个三阶矩阵A＝，可记作，是对矩阵进行计算，其规律如下。 ①＝1； ②当矩阵两行互换时，结果互为相反数，表示为：； ③*； ④两个矩阵只有一行或者一列不同，其它都相同，则可以相加，比如。 ＋ 根据以上规律计算下列各题。 （1）； （2）； （3）； （4）＋； （5）＋。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $