26.4 实际问题与二次函数-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

26.4实际问题与二次函数 新知解读， 对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数来刻画，那么 就可以利用二次函数的图象和性质对其进行研究： 例1在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m) 与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=-4.92+2.8t+11.运动员起跳 后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果 保留小数点后一位.)》 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问 题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取 最大值时自变量的取值问题. 解：对于二次函数h=-4.9t2+2.8t+11,当 h/m b=- 2.8 12 ≈0.3 h=-4.9t2+2.8t+11 2a2×(-4.9) 10 时，h有最大值 9以 8 4ac-b24×(-4.9)×11-2.82 =11.4. Aa 4×(-4.9) 6 5 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最 3 高点，最大高度为11.4m. 01234567is 函数h=-4.9t2+2.8t+11的图象（图26.4-1)， 图26.4-1 直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由 此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 例2如图26.4-2，利用一面墙（墙的长度不 墙 限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才 能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 菜园 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为 xm,由矩形的面积公式可得函数解析式，于是莱园 图26.4-2 的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 第二十六章 二次函数 53 解：设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(20-2x)m,矩形菜园 的面积 S=x(20-2x), 之类比列方程解应用题列二次函数解析式 即 @ S=-2x2+20x(0<x<10) 在实际问题中，函数 自变量的取值应使问题有 当x=- 20 =5时，S有最大值 2a 2×(-2) 现实意义，如菜园的边长 4ac-b2 -202 应为正数，即x>0,且 =50 4×(-2) 20-2x>0,于是自变量x 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形 的取值范围是0<x<10. 菜园的面积最大，最大面积为50m2. 练习 》平行于墙的边长不能超过8m 1.如果例2中墙的长度为8m,如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是 多少？1.根据题意，得20-2x≤8，解得x≥6 所以S=-2x2+20x=-2(x5)2+50(6≤x<10）. 因为-2<0，所以当x>5时，S随x的增大而减小 所以当x=6时，S有最大值-2×(6-52+50=48.此时20-2×6=8(m). 因此，当平行于墙的边长为8m,垂直于墙的边长为6m时，矩形菜 园的面积最大，最大面积为48m2 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时 间t(单位：s)的关系近似为h=30t-5t(0≤t≤6).小球运动的时间是 多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 2.h=30t-5t=-5(t-3)2+45(0≤t≤6). 因为-5<0，所以当仁3时，h有最大值45 因此，当小球运动3s时达到最大高度，最大高度是45m 利用二次函数的性质，可以解决生活中的一些最大值（或最小值）问题，如 例1的最大高度，例2的最大面积.下面我们再来看一个最大利润问题 Q探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映， 若调整单价（单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1 元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能 使利润最大？最大利润是多少？ 54 教材笔记数学九年级上册BJ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况， (1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定 y随x变化的函数解析式， 每件涨价x元时，每星期要少卖10x件，实际卖出(300-10x)件，销售额为 (60+x)(300-10x)元，买进商品需付40(300-10x)元.因此，所得利润 y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x), 即 y=-10x2+100x+6000, 其中，0≤x≤30，x为整数. >y=-10(x-52+6250 根据上面的函数，填空： 当x=5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价 65元时，利润最大，最大利润是6250元 (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论求解。 由（1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ (2)设每件降价x元，则每星期多卖出20x件，实你卖出(300+20x)件，每星期售 出商品的利润y=(60-40-x)300+20x),即y=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125, 其中0≤x≤20，x为整数.所以当=2或3时，y最大，也就是说，在降价的情况下， 降价2元或3元，即定价58元或57元时，利润最大，最大利润是6120元. 综合（1)(2)两种情况，可知定价65元时，利润最大，最大利润是6250元 练习 1.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元.旅行社对超 过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当 : 旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 1.当旅行团人数为45人时，旅行社可获得最大营业额，最大营业额为60750元 2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花 费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度 为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大 利润是多少？ 2.设生产x件这种商品，利润为y元，则这种商品的实际单价为(50-x)元， 8 生产总费用为（500+10x)元，生产这种商品的利润 =(50-g)x(50410)-g0x160）32700 8 当=160时，y有最大值2700. 因此，当产量为160件时，利润最大，最大利润是2700元. 第二十六章 二次函数 55 二次函数在生活中应用广泛，除了之前的最大值（或最小值）问题，我们再 来看其他一些应用二次函数来解决的实际问题， ®探究2 一座抛物线形拱桥如图26.4-3所示， 当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降 暴雨后水面上升1m,此时水面宽为多少？ 10m 图26.4-3 分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当 y/m 的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这 方4-320大支345xm 条抛物线对应的二次函数，进而解决问题.为简 单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对 -3 -4 称轴为y轴，建立平面直角坐标系（图26.4-4)： 图26.4-4 )这样建立坐标系后，这条抛物线表示的二次函数是= 的形式，如果另建立坐标系，这条抛物线表示的一次函 裁的形式要复杂一些 设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2. 由抛物线经过点（5，-4)，可得 -4=a×52 解得 4 a=- 25 4 因此，这条抛物线对应的二次函数为y= x2. 2 当水面上升1m时，水面的纵坐标为-3.请你根据上面的函数解析式求出这 时水面的宽度 当y=-3时，由函数关系y=- x,列得方程3=-4，即275 25 25 解得x=±5.因此，此时水面的宽度为55m 56 教材笔记数学九年级上册RJ 练习 1.在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=-x+3.85 的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离1. y/m 1.当y3.05时，由函数关系y= 5r+3.85, 50 列得方程3.05=-x2+3.85,解得x=2,=-2(舍 -3.2m0 去)，所以=3.2+2=5.2(m).因此，运动员到篮 筐正下方的距离1为5.2m (第1题) 2.对于探究2，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装满物资的小船准备 从桥下通过.这艘小船宽4，船舱顶部为长方形，露出水面的部分高 2m.这艘小船能从这座拱桥下通过吗？ 4 2.能.把==2代入y=- 25 25所以16 (-3)=59 25 因为船舱露出水面的部分高2m,且5 >2,所以这艘小船能从这座拱桥下通过 5 习题26.4d 复习巩固 1.刘伟在练习原地垂直起跳.某次起跳后，他的脚离开地面的距离y(单位：) 关于起跳后的时间t(单位：s)的函数解析式大致为y=-52+3.6t.求刘伟跳 )即求二次函数的最大值 到最高点时脚离开地面的距离。 1.0.648m.提示：运用页点坐标公式或将函数化为 顶点式求解 2.若汽车刹车后行驶的距离1（单位：）关于行驶的时间t(单位：s)的函数解 析式为1=15t-6t2.汽车刹车后到停下来前进了多远？2.9.375m 这期间汽车的行驶速度逐渐减小到0m/S,但距离逐渐增大到最远 3.点燃某种烟花后，其升空高度h(单位：m)关于时间t(单位： s)的函数可近似表示为h=39t-5t2(t≥0).若这种烟花在点 燃升空后到最高处引爆，烟花点燃多久后引爆？烟花升空的最 大高度是多少？3.3.9s;76.05m 第二十六章 二次函数57 )四边都围篱笆 4.用总长1（单位：m)的篱笆围成矩形场地，矩形场地的面积S(单位：m)随 矩形场地一边长a(单位：m)的变化而变化.当a是多少米时，场地的面积S 最大？最大面积是多少？此时的场地是什么形状？ 4由意意知，拒形的另一超长为}am,则短形的面积为S}小以即 S-a2+a.当a= ，=S有最大值 12 2×(-1)4 ×(-1)16 因此，当=时，场地的面积了最大，最大面积是m品，此时的场地是正方形。 16 综合运用 5.如图，用长为6m的材料做一个上部为半圆、下部为矩形的窗框.底部宽x(单 位：m)为多少时，窗户的透光面积S(单位：m)最大（结果保留小数点后一 位)？5.1.1m提示：S=-(匹+1)x2+3x P 1 6-2x- 元 2 2 CD B (第5题) (第6题) 6.一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12cm.用这块材料剪出 一个矩形CDEF,其中，点D,E,F分别在BC,AB,AC上.要使剪出的矩形 CDEF的面积最大，点E应选在何处？ 6.∠A=30°，∠C=90°，AB=12cm,.BC=二AB=6(cm,AC=V122-62=6V3(cm. 泛4E=rm,则BFxm,4r5xm,Fc-65-5m,Ssae= EF-FC-x6N5-5x-5(x-6+9V5.当-6时，S有最大值，此时E是AB的中点. 因此，要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在AB的中点处 7.某宾馆有50个房间供游客居住.当每间房定价为180元/天时，房间会全部 住满；当每间房定价每增加10元/天时，就会增加一个空闲房间.如果游客 居住房间，宾馆需对每间房支出20元/天的各种费用.房价定为多少时，宾 馆利润最大？7.每间房定价为350元时，宾馆利润最大 58 教材笔记数学九年级上册RJ 8.某商店销售一种成本为40元kg的水产品，若按50元kg销售，一个月可售 出500kg.当销售价格x(x为整数，单位：元kg)每上涨1元kg时，月销 售量就减少10kg.)月销售利润=每千克利润×月销售量 (1)写出月销售利润y(单位：元)与销售价格x之间的函数解析式. (2)当销售价格为55元kg时，计算出月销售量和销售利润， (3)商店计划使月销售利润为8000元，销售价格应定为多少？ (4)当销售价格定为多少时会获得最大利润？求出最大利润， 8.(1）月销售利润y=（x-40)(1000-10x)=-10x2+1400x-40000(x为整数，且50≤ x≤100）. (2)当x=55时，1000-10x=1000-10×55=450(kg),y(55-40)×450=6750(元).因此， 当销售价格为55元kg时，月销售量为450kg,月销售利润为6750元 (3)当y=8000时，由函数关系y=-10x2+1400x-40000,列得方程-10x2+1400x-40000= 8000,解得x1=80,x2=60.因此，销售价格应定为80元kg或60元kg, (4)对于函装y=-10x2+1400x-40000,当x- b1400 =70时，y有最大值 2a2×-10】 4ac-b24×(-10)×(-40000)-14002 =9000. Aa 4×-10】 因此，当销售价格定为70元g时会获得最大利润，最大利润是9000元 9.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、 y 大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度为20，顶点距季 水面8m,小孔顶点距水面5m.求当水位上涨刚好淹没夏 小孔时，大孔的水面宽度（结果保留小数点后一位)， (第9题) 9如图，以大孔顶点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系 设大孔所在抛物线表示的二次函最为y=ax2.由抛物线经过点(-10，-8)，可得-8=a×(-10)2, 解得a ■5·因此，大孔所在抛物线对应的二次函发为 22水位上涨后，大孔顶 2 点距水面8-5=3(m),当y=-3时，由函数关系y=- 2,列得方程-是-3，解得 2 25 =6,-36.听以，6-36=56122m 因此，当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度约为12.2m 拓广探索 10.分别用定长为1的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积更大？为什么？ 10.圆的面积更大.理由：当定长为1的线段围成矩形时，设长为a,则宽为-4，从而 4 16 对于圆，者周长为1，则半径r=,了。=心= 2元 4π 由于<卫 所以围成圆的面积更大 164π 第二十六章二次函数59 ★阅读与思考大 生活中的抛物线 生活中经常可见抛物线的“身影”，当你用数学的眼光观察时，就会发 现它们.图1中滑雪运动员起跳后在空中飞行的路线，图2中跨江大桥的造 型…它们都形似抛物线. 图1 图2 除了“形”为抛物线，生活中还有很多物品的设计“用”到了抛物线.因 为抛物线有一条重要性质：平行于抛物线对称轴的光线照射到抛物线上，光 线经反射后集中于对称轴上的一点，这一点被称为焦点（图3).太阳灶就是 利用这一性质设计的，如图4所示.太阳灶上装有一个反光镜，镜面的形状 是一个由抛物线绕它的对称轴旋转得到的曲面，这种曲面叫作抛物面.当抛 物面的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的 温度就会很高，可以用来加热食物.由于光的可逆性，也可以使从抛物线焦 点处发出的光线，经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴射出（图5）.手电 筒、探照灯等就是利用这个原理设计的， 图3 图4 图5 抛物面的光学性质也可以应用到电磁波上，人 们把射电望远镜的天线制成抛物面，将来自宇宙的 电磁波聚集在焦点处.2016年9月25日在贵州落成 启用的“中国天眼”一500m口径球面射电望远镜 (FAST工程)，当接收电磁波时，其反射面主体就会 图6 调整变形为一个抛物面（图6）.作为目前世界上最大、最灵敏的单口径射电 望远镜，“中国天眼”能够接收到100多亿光年以外的电磁信号，是中国科技 创新的一张代表性名片· 现在，请你用数学的眼光来发现生活中的抛物线，以及应用抛物线性质设 计的物品吧！ 60 教材笔记数学九年级上册RJ