精品解析：第二章 特殊三角形（1）期末复习　 2022—2023学年浙教版数学八年级上册

特殊三角形复习（1）——等腰三角形分类 学习目标 1、在等腰三角形中腰与底边不明确或者顶角与底角不明确时，要体会分类讨论思想； 2、在动态背景下初步解决等腰三角形存在性问题． 课前演练 1. 结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）等腰三角形一边等于6，另一边等于4， 则它的周长为 ． （2）等腰三角形一边等于6，另一边等于3， 则它的周长为 ． 【答案】（1）14或16 （2）15 【解析】 【分析】（1）分两种情况，根据等腰三角形的定义并结合三角形三边关系计算即可得出结果； （2）分两种情况，根据等腰三角形的定义并结合三角形三边关系计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 综上所述，它的周长为14或16； 【小问2详解】 解：当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上所述，它的周长为15． 2. 已知等腰三角形周长为25． （1）若一边长为9，则另两边长分别为 ． （2）若一边长为1，则另两边长分别为 ． 【答案】（1），或， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系计算即可得出结果； （2）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：当腰长为时，底边长为，此时三边分别为，，，符合三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，若一边长为9，则另两边长分别为，或，； 【小问2详解】 解：当腰长为1时，底边长为，此时三边分别为，，，不符合三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，若一边长为1，则另两边长分别为，． 3. 结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （2）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （3）中，当 时，是等腰三角形． 【答案】（1），或， （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）分两种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）分两种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）分三种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； 【小问1详解】 解：∵等腰三角形的一个角是， ∴当的角是顶角时，则底角为，此时另外两角为，； 当的角是底角时，则顶角为，此时另外两角为，； 综上所述，等腰三角形的一个角是，则另外两角为，或，； 【小问2详解】 解：∵等腰三角形的一个角是， ∴当的角是顶角时，则底角为，此时另外两角为，； 当的角是底角时，此时，故不符合题意； 综上所述，等腰三角形的一个角是，则另外两角为，； 【小问3详解】 解：当时，此时是等腰三角形； 当，此时是等腰三角形，则； 当时，此时是等腰三角形，则； 综上所述，中，当或或时，是等腰三角形． 4. 结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，求这个等腰三角形的顶角的度数． （2）在等腰中，，，则边上的高的长是 ． （3）为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长． 【答案】（1）或 （2）或或 （3）另两边长为、或、或、 【解析】 【分析】（1）分两种情况，分别计算即可得出结果； （2）分三种情况，由直角三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果； （3）分三种情况，根据等腰三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图： 由题意得，， ∴，即此时顶角的度数为； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图： 由题意得，， ∴， ∴，即此时顶角的度数为； 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为或； 【小问2详解】 解：当时， ∵，， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，边上的高的长是或或； 【小问3详解】 解：设，过点作于点，则， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当为底边时，如图： 则， ∴， 此时这个等腰三角形绿地的另两边长为、； 当为腰且三角形为锐角三角形时，如图： 则， ∴， ∴， ∴， 此时这个等腰三角形绿地的另两边长为、； 当为腰且三角形为钝角三角形时，如图： 则， ∴， ∴， ∴； 此时这个等腰三角形绿地的另两边长为、； 综上所述，另两边长为、或、或、． 5. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，分分两种情况：当为锐角三角形时和当为钝角三角形时，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①当为锐角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当为钝角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴.， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，底角为或， 故答案为：或． 学后反思 等腰三角形中出现的分类讨论思想一般有：角的分类讨论、边的分类讨论、点的分类讨论等．总结一下： （1）边的问题在什么条件下需分类讨论？ （2）角的问题在什么情况下需分类讨论？ （3）已知等腰三角形两个顶点，找第三个点的问题可以怎么分类讨论？ 课堂演练 例题． 6. 如图，线段的一个端点O在直线a上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ 【答案】这样的等腰三角形能画4个，如下： 【解析】 【分析】当时，以点O为圆心，以为半径作弧交直线a于；当时，以点A为圆心，以为半径作弧交直线a于；当时，作出的垂直平分线交直线a于． 【详解】略 变练1 7. 在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 变练2 8. 在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，利用格点，分以和为腰时；以和为腰时；以和为腰时，三种情况进行讨论，即可解决． 【详解】解：以和为腰时，符合条件的等腰有6个， 以和为腰时，符合条件的等腰有5个， 以和为腰时，此时顶点P在格点上的情况不存在， ∴符合条件的等腰有11个． 变练3 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】分为三种情况：①AP=OP，②AP=OA，③OA=OP，分别画出即可． 【详解】如图， 分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论． ∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解． 变练4 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，你能求出所有P点坐标吗？ 【答案】点坐标为 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，如图， 此时， ∴在轴正半轴：；在轴负半轴：； 当时，如图，过点A作轴， 轴，且，， ， ，即； 当时，如图，作的垂直平分线，交轴于点， 此时点与点H重合，则； 综上所述，点坐标为． 变练5 11. 将直角三角板直角顶点置于点A，坐标为，设一直角边与x轴交于点P，另一直角边与y轴交于点Q．在三角板绕点A旋转的过程中，使得成为等腰三角形．请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】点P的坐标为，， 【解析】 【分析】根据点坐标的特点，可以判断出，然后分别从，，去分析求解即可求出答案． 【详解】解：点坐标为， ， 当时，如图， 则， ，即轴， 点P的坐标为； 当时，如图，过点A作轴于点I， 则， ， 又∵轴且， ∴， 点P的坐标为； 当时，如图， ∵， ∴， ∴点P的坐标为； 综上可得，点P的坐标为，，． 变练6 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，你能求出所有P点坐标吗？ 【答案】点坐标为 【解析】 【分析】先求出的长度，再分为、、三种情况并结合图形进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，如图， 此时， ∴在轴正半轴：；在轴负半轴：； 当时，如图，过点A作轴， 轴，且，， ， ，即； 当时，如图，作的垂直平分线，交轴于点， 设，则，， 在中， ， 解得， ∴； 综上所述，点坐标为． 变练7 13. 若直线过点，在该直线上有一动点P，请求出使为等腰三角形的所有点P的坐标． 【答案】点坐标为 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义分为或或三种情况并结合图形进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 点在直线上， ∴设的横坐标为，则点坐标为， 当时，如图，过点作轴于点， 则，， 在中，， ， ∴ 解得，， 当时，，此时与点重合，无法构成三角形，舍去； 当时，，得点； 当时，过点A作轴，过点作，交于点，如图， 则，， 在中，， ， ∴， ∴ 解得， ∴当时，，得； 当时，，得； 当时，如图， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴， ∴点； 综上所述，点坐标为． 特殊三角形章节复习A卷 14. 如果等腰三角形一个底角是，那么顶角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，一个底角为， ∴另一个底角也为， ∵三角形内角和为， ∴顶角． 15. 已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质求出等腰三角形的腰长，再结合等腰三角形的周长计算底边长，最后验证三角形三边关系即可得到结果． 【详解】解：∵等边三角形周长为，且等边三角形三边相等， ∴等边三角形的边长为，即等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形周长为， ∴等腰三角形的底边长为， 又∵，满足三角形三边关系， 因此等腰三角形底边长为． 16. 若的三边，，满足那么的形状一定是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵（a-b）（b-c）（c-a）=0， ∴（a-b）=0或（b-c）=0或（c-a）=0， 即a=b或b=c或c=a，因而三角形一定是等腰三角形． 故选A． 17. 在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ） A. 20 B. 16 C. 16或20 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：①若AB为等腰三角形的腰，则BC即为底边， 由题意：AB=2BC， ∴2AB+BC=40，即：5BC=40， 解得：BC=8， ∴AB=16， 此时，等腰三角形三边为：16、16、8，满足三角形的三边关系，符合题意； ②若AB为等腰三角形的底边，则BC即为腰， 由题意：AB=2BC， ∴2BC+AB=40，即：2AB=40， 解得：AB=20， ∴BC=10， 此时，等腰三角形三边为：10、10、20， 但是10+10=20，不满足三角形的三边关系，不符合题意，舍去； ∴AB的长为16， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，理解等腰三角形的性质并能准确进行分类讨论是解题关键． 18. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，然后分别根据直角三角形两锐角互余即可得． 【详解】解：依题意，分以下两种情况： （1）如图1，等腰为锐角三角形，顶角为， ， ， （2）如图2，等腰为钝角三角形，顶角为， 综上，顶角的度数为或 故选：C． 19. 等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质和直角三角形两锐角互余的性质，通过计算三角形内角度数判断三角形形状． 【详解】解：在等腰，，是腰上的高，即， 由题意得，一腰上的高与底边夹角， ， ， 在中，， 又， ， ， 因此该三角形是有一个直角的等腰三角形，即等腰直角三角形． 20. 两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求出第三根木棒的取值范围，再根据第三边长度为偶数的条件，找出符合条件的取值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得， ∴， 又∵第三根木棒的长为偶数， ∴满足条件的为，，，，共4种取值． 21. 已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（　　） A. a≤45° B. 0° ＜ α ＜ 90° C. α＝90° D. 90° ＜ α ＜ 180° 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件结合等腰三角形的性质及三角形内角和为180°，可得两个角之和小于180°，进而可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α， ∴∠B=∠C＝α， ∵三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B+∠C＜180°， 即：2α＜180°， ∴α＜90°， 又由题意可知，α＞0° ， ∴0°＜α＜90°， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键． 22. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ） A. 顶角 B. 顶角的2倍 C. 顶角的一半 D. 底角的一半 【答案】C 【解析】 【分析】作出图象根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余列式求解． 【详解】解：如图， △ABC中， ∵AB=AC，BD是高， ∴∠ABC=∠C=， 在Rt△ADC中， ∠CBD=90°-∠C=90°-， 故选C. 23. 如图，是直角三角形，，图中与互余的角有(　 　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据互余的两个角的和等于90°写出与的和等于90°的角即可． 【详解】解: ∵是直角三角形，， ∴， ∴与互余的角有和，共2个． 故选B． 【点睛】本题考查了余角的定义，直角三角形的性质，熟练掌握互余的两个角的和等于90°是解答本题的关键. 24. 若一个等腰三角形有一个角为，则另两个角为_______________． 【答案】， 【解析】 【分析】需分情况讨论已知角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理与等腰三角形性质判断情况是否成立，再计算未知角度． 【详解】解：若为底角，则两个底角的和为，不符合三角形内角和定理，故该情况不成立； 若为顶角，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和定理，得另两个底角的度数和为，因此每个底角的度数为． 25. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 26. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为_______，底边长为_______． 【答案】 ①. 8或6 ②. 5或9 【解析】 【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是12，哪个是9，因此，有两种情况，需要分类讨论. 【详解】解：根据题意，画出图形，如图所示 设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y ∵BD是腰上的中线 ∴AD=DC=x ①若AB+AD的长为12，则2x+x=12 解得 x=4 则x+y=9，即4+y=9 解得 y=5 ②若AB+AD的长为9，则2x+x=9 解得 x=3 则x+y=12，即3+y=12 解得 y=9 ∴等腰三角形的底边长为5时，腰长为8； 等腰三角形的底边长为9时，腰长为6. 故答案为8或6；5或9. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质. 由于等腰所具有的特殊性质，因此要进行分类讨论，要考虑全面各种情况的存在，不要漏解. 27. 如果等腰三角形的三边长均为整数且它的周长为，那么它的三边为_________． 【答案】，，或，， 【解析】 【分析】设等腰三角形的腰长为，可得底边长为，根据边长为正和三角形三边关系列出不等式组，求出的取值范围，结合三边长为整数得到的取值，即可得到三角形的三边长． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，则底边长为， 根据题意可得不等式组， 解得， ∵等腰三角形的三边长均为整数， ∴或， 当时，底边长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 当时，底边长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，它的三边为，，或，，． 28. 如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 108° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和为180°逐步算出答案． 【详解】解：∵AB=BC， ∴∠ACB=∠A=18°， ∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°， ∵BC=CD， ∴∠CDB=∠CBD=36°， ∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°， ∵CD=DE， ∴∠CED=∠DCE=54°， ∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°， ∵DE=EF， ∴∠EFD=∠EDF=72°， ∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°． 【点睛】熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 29. 已知，D是上一点，于E，的延长线交的延长线于F，试说明是等腰三角形的理由． 【答案】解：， ， ， ， 在中，； 在中，， 又， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，再由，可得，即可判定是等腰三角形． 【详解】略 30. 如图，在中，已知，，D是上一点，，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余得到，由垂线的定义得到，则，据此利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三线合一定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 31. 在中，． （1）是上的高，． ①如图1，如果，则______°； ②如图2，如果，则______°． （2）思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：______． （3）如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 【答案】（1）①15；②20； （2） （3） 解：仍有上述关系，理由如下： ， ， ， 又， ， ，即． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”和等边对等角的性质是解题的关键． （1）①等腰三角形三线合一，所以，又因为，所以，所以． ②同理，证明，所以． （2）利用等腰三角形 “三线合一”的性质得，再根据，得，再根据，从而可得出结论． （3）由于，所以，根据已知，证明，而，所以． 【小问1详解】 解：①在中，，是上的高， ， ， ， ， ， 是上的高， ． 故答案为：15； ②在中，，是上的高， ， ， ， ， ， ． 故答案为：20； 【小问2详解】 解：在中，，是上的高， ， ∵ ∴， ∵是上的高， ∴ ∴ ∴． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 特殊三角形复习（1）——等腰三角形分类 学习目标 1、在等腰三角形中腰与底边不明确或者顶角与底角不明确时，要体会分类讨论思想； 2、在动态背景下初步解决等腰三角形存在性问题． 课前演练 1. 结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）等腰三角形一边等于6，另一边等于4， 则它的周长为 ． （2）等腰三角形一边等于6，另一边等于3， 则它的周长为 ． 2. 已知等腰三角形周长为25． （1）若一边长为9，则另两边长分别为 ． （2）若一边长为1，则另两边长分别为 ． 3. 结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （2）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （3）中，当 时，是等腰三角形． 4. 结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，求这个等腰三角形的顶角的度数． （2）在等腰中，，，则边上的高的长是 ． （3）为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长． 5. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为______． 学后反思 等腰三角形中出现的分类讨论思想一般有：角的分类讨论、边的分类讨论、点的分类讨论等．总结一下： （1）边的问题在什么条件下需分类讨论？ （2）角的问题在什么情况下需分类讨论？ （3）已知等腰三角形两个顶点，找第三个点的问题可以怎么分类讨论？ 课堂演练 例题． 6. 如图，线段的一个端点O在直线a上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ 变练1 7. 在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 变练2 8. 在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 变练3 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 变练4 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，你能求出所有P点坐标吗？ 变练5 11. 将直角三角板直角顶点置于点A，坐标为，设一直角边与x轴交于点P，另一直角边与y轴交于点Q．在三角板绕点A旋转的过程中，使得成为等腰三角形．请求出所有满足条件的点P的坐标． 变练6 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，你能求出所有P点坐标吗？ 变练7 13. 若直线过点，在该直线上有一动点P，请求出使为等腰三角形的所有点P的坐标． 特殊三角形章节复习A卷 14. 如果等腰三角形一个底角是，那么顶角是（ ） A. B. C. D. 15. 已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（ ） A. B. C. D. 16. 若的三边，，满足那么的形状一定是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 17. 在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ） A. 20 B. 16 C. 16或20 D. 以上都不对 18. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 19. 等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 20. 两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 21. 已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（　　） A. a≤45° B. 0° ＜ α ＜ 90° C. α＝90° D. 90° ＜ α ＜ 180° 22. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ） A. 顶角 B. 顶角的2倍 C. 顶角的一半 D. 底角的一半 23. 如图，是直角三角形，，图中与互余的角有(　 　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 24. 若一个等腰三角形有一个角为，则另两个角为_______________． 25. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 26. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为_______，底边长为_______． 27. 如果等腰三角形的三边长均为整数且它的周长为，那么它的三边为_________． 28. 如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 108° 29. 已知，D是上一点，于E，的延长线交的延长线于F，试说明是等腰三角形的理由． 30. 如图，在中，已知，，D是上一点，，，．求证： （1）； （2）． 31. 在中，． （1）是上的高，． ①如图1，如果，则______°； ②如图2，如果，则______°． （2）思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：______． （3）如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $