精品解析：第二章 特殊三角形（2）期末复习　 2022—2023学年浙教版数学八年级上册

特殊三角形复习（2） 学习目标 1、等腰三角形性质的综合运用； 2、如何判定一个三角形是等腰三角形． 课堂演练 例1 1. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 【答案】 证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°， ∴△ABC≌△BAD（HL） ∴BC=AD． （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB． ∴△OAB是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD． （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 变练1 2. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线． （1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果） 【答案】（1）作图见解析；（2）△ADF是等腰直角三角形. 【解析】 【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F． （2）由两个角平分线的性质，导出角的关系，从而求出∠FAD=×180°=90°，再得到∠CDF=∠AFD=∠ADF，进而推出AD=AF，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示： （2）△ADF的形状是等腰直角三角形， 理由是：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AF平分∠EAC， ∴∠EAF=∠FAC， ∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°， 即△ADF是直角三角形， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB， ∴∠EAF=∠B， ∴AF∥BC， ∴∠AFD=∠FDC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF=∠FDC=∠AFD， ∴AD=AF， 即直角三角形ADF是等腰直角三角形． 变练2 3. 如图，锐角的两条高、相交于点O，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）点O在的平分线上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，推出，即可证明； （2）连接，证明，得到，即点O在的角平分线上． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵锐角的两条高、相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：点O在的平分线上．理由如下： 连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点O在的平分线上． 例2 4. 如图，在等腰中，，点D是的中点，且，试判断的形状． 【答案】解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵等腰中，，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】根据等腰得到，由“三线合一”得到，，即可推出，，从而证明，得到，，因此可得，所以是等腰直角三角形． 【详解】略 反思：作等腰三角形的底边中线，构造等腰三角形“三线合一”的基本图形，是常见的辅助线的作法之一． 变练3 5. 已知：如图，D是等腰底边上一点，它到两腰的距离分别为．当D点在什么位置时，？并加以证明． 【答案】解：当点D为的中点时，，证明如下： 如图所示，连接， ∵D是等腰底边的中点， ∴平分， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】当点D为的中点时，由三线合一定理可得平分，则由角平分线的性质可得． 【详解】略 例3 6. 在中，，平分，平分． （1）你能得到什么结论呢？ （2）过点A作于D，你能得到什么结论？ 【答案】（1）是等腰三角形；是等腰三角形； （2），，，． 【解析】 【分析】（1）由等角对等边得到，则是等腰三角形；由角平分线的定义推出，则可证明，得到是等腰三角形； （2）由三线合一定理可得，，则可推出，． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵， ∴，， 又∵， ∴，． 变练4 7. 在中，，平分，平分，过O点作，使． （1）图中共有几个等腰三角形？ （2）线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【答案】（1）图中共有5个等腰三角形 （2），理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． 【小问2详解】 略 变练5 8. 在中，，平分，平分，过O点作，使，且． （1）图中有几个等边三角形？ （2）若，你能求出的周长吗？ （3）你还能求出的周长吗？ 【答案】（1）图中有2个等边三角形 （2）能，的周长为30 （3）能，的周长为45 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据“等角对等边”得到，即可证明是等边三角形．同理证明，可得出是等边三角形； （2）由，，得到．根据角平分线的定义及平行线的性质得到，得出，同理可得，即可得到．再根据是等边三角形，即可根据等边三角形的性质求出周长； （3）根据是等边三角形即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 综上所述，图中共有2个等边三角形． 【小问2详解】 解：根据（1）可得，， ∴， 即． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得． ∴． 根据（1）可得是等边三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由（1）可知是等边三角形， ∴． 变练6 9. 在中，，平分，平分，过O点作，使， （1）图中又会有几个等腰三角形？ （2）仍然成立吗？ 【答案】（1）图中有2个等腰三角形 （2）解：成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形； （2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形． 综上所述，图中有2个等腰三角形． 【小问2详解】 略 变练7 10. 若过的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示， （1）此时，图中有几个等腰三角形？ （2）线段与线段三者又有何数量关系？ 【答案】（1）图中共有2个等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可证明，得到，则可证明和都是等腰三角形； （2由（1）得，由线段的和差关系即可得到． 【小问1详解】 解：由题意得平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形，即图中共有2个等腰三角形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴． 变练8 11. 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示，则线段与线段，三者又有何数量关系？ 【答案】解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质得到，，根据等角对等边得到，，根据线段的和差即可得出． 【详解】略 变练9 12. 若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． （1）①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ （2）若连接，试判断的形状． （3）与在位置上有什么关系？ 【答案】（1）①证明：∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②； （2）为等边三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的性质得到，则可利用证明；可证明，，则可证明，同理可证明； （2）由（1）得，，则，据此可证明为等边三角形； （3）可证明，得到． 【小问1详解】 ①略； ②解：∵， ∴， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明； 【小问2详解】 解：如图所示， 由（1）得，， ∴， ∴为等边三角形； 【小问3详解】 解：由（2）得为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 变练10 13. 如图和都为等边三角形，点、、不在同一直线上，与是否相等？请说明理由． 【答案】相等，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先由等边三角形性质得、，且，再通过两角同加，推证夹角，继而证明，最后由全等三角形对应边相等得出． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 特殊三角形复习（2） 学习目标 1、等腰三角形性质的综合运用； 2、如何判定一个三角形是等腰三角形． 课堂演练 例1 1. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 变练1 2. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线． （1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果） 变练2 3. 如图，锐角的两条高、相交于点O，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 例2 4. 如图，在等腰中，，点D是的中点，且，试判断的形状． 反思：作等腰三角形的底边中线，构造等腰三角形“三线合一”的基本图形，是常见的辅助线的作法之一． 变练3 5. 已知：如图，D是等腰底边上一点，它到两腰的距离分别为．当D点在什么位置时，？并加以证明． 例3 6. 在中，，平分，平分． （1）你能得到什么结论呢？ （2）过点A作于D，你能得到什么结论？ 变练4 7. 在中，，平分，平分，过O点作，使． （1）图中共有几个等腰三角形？ （2）线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 变练5 8. 在中，，平分，平分，过O点作，使，且． （1）图中有几个等边三角形？ （2）若，你能求出的周长吗？ （3）你还能求出的周长吗？ 变练6 9. 在中，，平分，平分，过O点作，使， （1）图中又会有几个等腰三角形？ （2）仍然成立吗？ 变练7 10. 若过的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示， （1）此时，图中有几个等腰三角形？ （2）线段与线段三者又有何数量关系？ 变练8 11. 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示，则线段与线段，三者又有何数量关系？ 变练9 12. 若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． （1）①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ （2）若连接，试判断的形状． （3）与在位置上有什么关系？ 变练10 13. 如图和都为等边三角形，点、、不在同一直线上，与是否相等？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $