精品解析：辽宁省辽阳市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试卷

高二考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册，必修第二册第四章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】由有意义可得， 所以，又， 所以， 故选：B 2. 若命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题，则为. 故选：A 3. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 24 C. 12 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式及性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 根据等差数列下标和性质， 所以． 故选：C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数的运算，根据对数函数的单调性得，又，即可比较大小. 【详解】因为，且在定义域上单调递增， 所以，所以， 因为，所以，故． 故选：D 5. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列定义逐一分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式得到，解不等式，求出答案. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，则，解得或． 因为，所以（取等号）． 故的取值范围是． 故选：A 7. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【详解】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为． 故选：B 8. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得． 综上，． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得方程有两个不同的根，再根据求出的范围，即得答案. 【详解】解：因为有两个极值点， 所以方程有两个不同的根． 又因为， 所以， 解得． 故选：BCD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，利用作差法判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 故选：AC 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 图象的一个对称中心为点 B. C. 的一个周期为12 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由为奇函数关于对称，则可得关于对称，则可对A、B判断；结合，可化简得到，可对C判断；利用周期可得，可对D判断. 【详解】A、B：因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称，且，故A正确，B不正确； C:因为，所以，所以，所以，故C正确； D：因为当时，，所以，故D不正确． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据包含关系分，，三种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，所以．当，即时，有相同元素，不符合； 当，即时，，，符合； 当，即时，有相同元素，不符合． 综上所述：. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合指数函数及二次函数，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为在上单调递增， 所以得． 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 设等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】31 【解析】 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最小整数． 【答案】（1） 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）1000 【解析】 【分析】（1）取倒数法得到，证明出结论； （2）在（1）基础上，得到通项公式，分组求和得到，令，单调递增，由特殊点函数值，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 令，易知单调递增． 因为，， 所以满足条件的最小整数为1000． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）若有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及导数函数值列方程求解即可； （2）将问题转化为曲线与直线有三个交点，令， 利用导数法研究其单调性，结合函数的极值数形结合即可求解. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，，所以， 解得； 【小问2详解】 因为有三个零点，且， 所以关于的方程有三个不同的根， 即曲线与直线有三个交点． 令， 则． 因为， 所以在，上单调递减，在上单调递增． 因为，所以当时，直线与曲线有三个交点， 故实数的取值范围是． 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 【小问2详解】 因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 19. 已知函数，. （1）判断的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 【答案】（1） 当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2） （3） 设，由（2）得，， 当时，，此时. 因为，，当时，， 所以有两个不同的根，即有两个不同的根，，且. 由得，， 因为函数在上单调递增，且，所以， 所以，故. 又，所以. 令，则. 要证，只要证，即证. 方法一：要证，即证. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 所以，即成立，故. 方法二：要证，即证. 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，故. 【解析】 【分析】（1）求出，讨论的取值范围可得的单调性. （2）根据条件可得恒成立，分离参数，构造函数，通过导数求函数的最值可得结果. （3）分析条件可得，通过构造函数、分析函数单调性可证明结论. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，，所以在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. 【小问2详解】 （方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则.令，则在上单调递增. 因为，所以，即. 由，得. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. ， ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不恒成立. ②当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 因为函数在上单调递增，且， 所以当时，恒成立. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册，必修第二册第四章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 24 C. 12 D. 32 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 图象的一个对称中心为点 B. C. 的一个周期为12 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，若，则_____． 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____． 14. 设等比数列的前项和为，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最小整数． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）若有三个零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，. （1）判断的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $