2.2.4 有理数的加减混合运算 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数加减混合运算，通过“温故而知新”回顾有理数、数轴、相反数、绝对值等旧知，为减法转化为加法、代数和形式等新知识搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以转化思想为核心，将减法统一为加法培养运算能力，结合飞机高度变化、汽油价格调整等实际情境让学生用数学语言表达问题，提供“按部就班法”“魔法变身法”及口诀辅助理解，帮助学生发展抽象能力，既提升学生运算与应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

2.2.4 有理数的加减混合运算 第二章 有理数及其运算 学 习 目 标 1 2 3 理解有理数减法转化为加法的法则，能将加减混合运算统一化为代数和，掌握省略括号与加号的书写形式。 熟练进行有理数加减混合计算，会合理运用加法交换律、结合律分组简算，减少运算失误。 能从实际情境中列出加减混合算式，运用运算知识解决简单实际问题，感受有理数运算的生活价值。 导入新课 温故而知新 知识回顾 新知学习的起点，是唤醒旧知的记忆！这些熟悉的数学概念是我们解题的钥匙，快看看下面的内容，是否还能清晰回忆起它们的定义与用法？ 思考：你能快速说出它们的核心要点吗？ 01 有理数与数轴 • 有理数：整数和分数的统称，包含正有理数、负有理数和0。 • 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，是“数形结合”的基础工具。 • 关键：任何有理数都能在数轴上找到唯一对应的点。 02 相反数与绝对值 • 相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数（0的相反数是0）。 • 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|，结果非负。 • 法则：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数。 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下之前学过的一些重要知识。这些知识就像是我们的老朋友，它们将是我们今天学习新内容的重要基础。让我们一起来唤醒记忆，看看大家是否还记得它们。准备好了吗？ ‹#› 探究点1：有理数的加减混合运算 分析： 加法 有理数混合运算 减法 加法法则 减法法则 拆分 计算结果 问题1：计算：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7) 探索解决： (1) 将 (－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7) 转化为加法： . (2) 这个算式我们可以看作是 、 、 、 这四个数的和. (3) 为书写简单，省略算式中的括号和加号 写为 . (4) 我们可以读作 的和， 或读作 加 加 减 . (－20)＋3＋5＋(－7) －20 3 5 －7 －20＋3＋5－7 －20，3，5，－7 －20 3 5 7 探究点1：有理数的加减混合运算 新知探究 活动一 有理数的加减混合运算 例1 计算： （1） 解：原式= = = 解：原式= = = = = （2） 新知探究 知识回顾 问题1：有理数的加法法则是什么？ 1. 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 2. 异号相加：取绝对值较大的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。 3. 相反数和：互为相反数的两个数相加，和为0。 4. 加零法则：一个数同0相加，仍得这个数。 趣味口诀 · 轻松记忆法则 ✨ 同号：好朋友手拉手 口诀：符号不变，绝对值相加走！ 例：(+3)+(+5)=+8 ； (-3)+(-5)=-8 ⚔️ 异号：看谁力量大 口诀：符号随大的，大减小来算！ 例：(+3)+(-5)=-2 ； (-3)+(+5)=+2 特殊情况速记 ① 相反数相加：“冤家见面，和为0” → (+3)+(-3)=0 ② 与0相加：“我就是我，加0不变” → (-3)+0=-3 1.7.2013 第一个老朋友就是有理数的加法法则。大家还记得吗？我们可以用一些有趣的口诀来帮助记忆。同号相加，就像好朋友手拉手，符号不变，绝对值相加。异号相加，就要看谁的力量大，结果的符号就跟谁，然后用大的绝对值减小的绝对值。互为相反数相加得零，任何数和零相加都等于它本身。大家都记住了吗？ ‹#› 探究点2 有理数的减法法则 新知探究 减法是加法的“变身术”！ 01 核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 02 魔法公式：a - b = a + (-b) （关键：减号变加号，减数变相反数） 03 实例验证：① 5 - 3 = 5 + (-3) = 2；② 5 - (-3) = 5 + 3 = 8（减负即加正）。 1.7.2013 接下来是减法法则。减法法则其实是加法法则的变身术。大家一定要记住这句话：减去一个数，等于加上这个数的相反数。我们可以用一个魔法公式来表示：a - b = a + (-b)。比如，5减3，就等于5加上负3。特别要注意，减去一个负数，比如5减负3，就等于5加3。看到减号，我们的第一反应就应该是“变号”！ ‹#› 引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算. a＋b－c＝a＋b＋(－c ) . 【归纳】 上面计算过程可以再简化吗？ 探究点1：有理数的加减混合运算 (5) 运算过程也可以简单地写为 (－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7) ＝－19. ＝－12－7 ＝－17＋5－7 ＝－20＋3＋5－7 →写成省略加号的和的形式 在符号简写这个环节，有什么小窍门吗？ ＝(－20)＋3＋5＋(－7) 探究点1：有理数的加减混合运算 思考●交流 此时飞机比起飞点高了多少千米？ 高度变化 记作 上升4.5km +4.5km 下降3.2km -3.2km 上升1.1km +1.1km 下降1.4km -1.4km 比较以上两种算法，你发现了什么？ 4.5-3.2+1.1-1.4 = 1.3+1.1-1.4=2.4-1.4 = 1（km）. 4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4) = 1.3+1.1+(-1.4) = 2.4 +(-1.4) = 1（km）. 下面有两种算法： 新知讲评 总结：有理数的加减混合运算可以统一成加法运算.如算式“4.5-3.2+1.1-1.4”可以看作4.5，-3.2，1.1，-1.4这4个数的和. 总结：在进行加减混合运算时可运用加法交换律和加法结合律简化运算. 探究点1 有理数的加减混合运算 新知探究 两大方法，任你选！ 01 按部就班法 — 基础稳妥型 📝 操作：严格遵循“从左到右”的运算顺序，如同走路般一步一个脚印，逐次计算。 ⚖️ 特点：计算规则简单，思维门槛低，非常适合初学者上手，不易出错；但遇到复杂数字时步骤繁琐，耗时较长。 02 魔法变身法 — 高效简便型（推荐） ✨ 两步走：① 统一加法（利用法则将所有减法转化为加法，减去一个数等于加上它的相反数）；② 巧凑组合（运用加法交换律与结合律，将能凑成整数、互为相反数的数优先结合计算）。 🚀 优势：化繁为简，大幅减少笔算量，计算速度提升显著，是解决复杂混合运算的“最优解”！ 1.7.2013 解决加减混合运算，我们有两种方法。第一种是“按部就班法”，就是从左到右依次计算，这种方法很稳妥，但有时不够快。第二种是我们推荐的“魔法变身法”，也就是先把所有减法统一成加法，然后运用运算律进行简便计算。这种方法更快速、更简便，能大大减少我们的计算量。 ‹#› 探究点1 有理数的加减混合运算 典例分析 例1：计算(-20) + (+3) - (-5) - (+7) 01. “变身”：减法统一变加法 原式 = -20 + 3 + 5 - 7（减去一个数，等于加上它的相反数） 02. “分组”：巧用运算律 = (-20 - 7) + (3 + 5)（同号结合，简化计算） 03. “计算”：分别求值 = -27 + 8 04. “合并”：得出最终结果 = -19 💡 核心解题锦囊 1. 符号化简优先：先把所有减法转化为加法，去掉括号，写成“代数和”的形式，即只有加法运算的式子。 2. 灵活分组凑整：利用加法交换律和结合律，将正数与正数结合，负数与负数结合，或凑成整数、相反数，简化计算量。 3. 细心计算结果：同号相加取相同符号，异号相加取绝对值较大数的符号，再用大绝对值减小绝对值。 ✨ 口诀速记：减变加，改符号；正归正，负归负；算完同号算异号，结果轻松就得到！ 技巧 1.7.2013 下面我们通过一个例子来实际操作一下。请看例1，第一步，我们先进行“变身”，把减法都变成加法。第二步，进行“分组”，利用加法交换律和结合律，把负数和正数分别组合在一起。第三步，分别计算每组的结果。最后一步，把两个结果合并起来，就得到了最终答案-19。大家看，是不是比一步步计算要快很多？ ‹#› 【练一练】1. 观察下列式子，你能发现简化符号的规律吗？ (1) (－40)－(＋27)＋19－24－(－32) ＝－40－27＋19－24＋32 (2) (－9)－(－2)＋(－3)－4 ＝－9＋2－3－4 规律： 数字前“－”号是奇数个取“－”， 数字前“－”号是偶数个取“＋”. 探究点1：有理数的加减混合运算 例1 计算 解： 探究点1：有理数的加减混合运算 方法总结 有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）写成省略加号和的形式； （3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加； （4）按有理数加法法则计算。 探究点2 生活中的有理数运算 思考•交流 情境引入：一架飞机做特技表演，高度变化记录如下： 高度变化 记作 上升4.5千米 +4.5千米 下降3.2千米 -3.2千米 上升1.1千米 +1.1千米 下降1.4千米 -1.4千米 议一议 飞机表演结束后，最终在起点上方还是下方？高度变化了多少千米？ 观察与思考 1.7.2013 接下来，我们进入第二个探究点，看看有理数运算在生活中有什么应用。想象一下，一架飞机正在做特技表演，它的高度一会儿上升，一会儿下降。根据屏幕上的记录，你能算出飞机最终的高度变化吗？它是比起点高了还是低了？变化了多少呢？ ‹#› 方法一：纯加法视角 思路：规定上升为正，下降为负，统一列加法算式。 (+4.5) + (-3.2) + (+1.1) + (-1.4) = 1.3 + 1.1 - 1.4 = 2.4 - 1.4 = 1 (km) 实际变化 代数表示 上升 4.5 km + 4.5 下降 3.2 km - 3.2 上升 1.1 km + 1.1 下降 1.4 km - 1.4 方法二：加减混合视角 思路：直接按“上升、下降”顺序列式计算。 4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 = 1.3 + 1.1 - 1.4 = 1 (km) 为何算式不同，结果却完全一致？ 探究点 2 灵活进行有理数加减混合运算 思考•交流 议一议 本质揭秘：加减混合运算可统一为加法运算！ 方法二是方法一省略括号和加号的简便形式。两种方法结果一致，印证了“减去一个数，等于加上这个数的相反数”这一法则的普适性。 1.7.2013 对于这个问题，我们可以有两种思路。第一种，我们把上升记为正数，下降记为负数，列出一个纯加法的算式。第二种，我们直接按照“上升”、“下降”的顺序，列出一个加减混合的算式。大家看，虽然两个算式看起来不同，但最终的计算结果都是1千米。这再次证明了我们刚才学的“减法可以转化为加法”是完全正确的。 ‹#› 【归纳总结】 有理数加减混合运算的步骤： (1) 将减法转化为加法运算； (2) 写成省略加号和括号的和的形式； (3) 按有理数加法法则计算. 探究点1：有理数的加减混合运算 一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升 4.5 km 下降 3.2 km 上升 1.1 km 下降 1.4 km 记 作 ＋4.5 km －3.2 km ＋1.1 km －1.4 km 4.5 + (-3.2) + 1.1 + (-1.4) 此时飞机比起飞点高了多少千米？ 4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 = 1.3 + 1.1 - 1.4 = 2.4 - 1.4 = 1（km） = 1.3 + 1.1 + (－1.4) = 2.4 + (－1.4) = 1（km） 探究点2：利用加法运算律进行计算 尝试思考 下表是某年某市汽油价格的调整情况（正号表示比前一次上调，负号表示比前一次下降）。 与上一年年底相比，11月9日汽油价格是上升了还是下降了？变化了多少元？ 时间 1月14日 3月25日 6月1日 6月30日 7月28日 9月1日 9月29日 11月9日 价格变化元/吨 -140 +290 +400 +600 -220 +300 -190 +480 时间 1月14日 3月25日 6月1日 6月30日 7月28日 9月1日 9月29日 11月9日 价格变化元/吨 -140 +290 +400 +600 -220 +300 -190 +480 尝试思考 答：与上一年年底相比，11月9日汽油价格是上升了，上升了1520元/吨。 解： （元/吨） 一个式子，两种读法！ 核心式子：4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 01 运算符号视角（基础读法） 读法：正4.5 减 3.2 加 1.1 减 1.4 理解：将“+、-”视为具体的计算指令，遵循我们熟悉的“从左到右”顺序进行计算，是最直观的算术运算逻辑。 02 性质符号视角（进阶读法） 读法：正4.5、负3.2、正1.1、负1.4 的和 理解：将式子看作省略了括号和加号的代数和，即 (+4.5) + (-3.2) + (+1.1) + (-1.4)。把数字和它前面的符号“打包”，这是运用运算律简化计算的关键！ 💡 核心点睛：掌握“性质符号读法”是突破有理数加减混合运算的瓶颈。它让我们不再局限于从左到右的计算，而是可以灵活地运用加法交换律和结合律，将容易计算的数（如凑整、互为相反数）结合在一起，从而实现快速、准确的计算。 1.7.2013 现在，我们来深入研究一下这个式子：4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4。它有两种读法。第一种，我们可以把减号和加号看作运算符号，读作“正4.5减3.2加1.1减1.4”。第二种，也是更重要的一种，我们可以把数字前面的符号看作性质符号，读作“正4.5、负3.2、正1.1、负1.4的和”。第二种读法能帮助我们理解，可以把数字连同它前面的符号一起“打包”，进行交换和结合！ ‹#› 探究点1 有理数的加减混合运算 新知探究 知识点睛：什么是“代数和”？ 01 概念定义：在和式中省略加法符号“+”与括号，将式子简化书写，这样的形式称为代数和，是有理数运算的简化表达。 02 实例转化：原式 (-20)+(+3)+(+5)+(-7)，其代数和形式为：-20 + 3 + 5 - 7，更直观地体现数字的正负属性。 03 运算优势：代数和形式可自由运用加法交换律与结合律，将易凑整的数结合计算，有效简化运算步骤，提升解题效率。 1.7.2013 刚才我们提到的这种省略了加号和括号的式子，有一个专门的名字，叫做“代数和”。比如，(-20)+(+3)+(+5)+(-7) 的代数和形式就是 -20 + 3 + 5 - 7。代数和的最大优势在于，它允许我们自由地运用加法交换律和结合律，来重新组合数字，从而达到简化运算的目的。 ‹#› 4.5 + (-3.2) + 1.1 + (-1.4) 4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 思考1：比较两种算法，你发现了什么？与同伴进行交流。 总结：有理数的加减混合运算可以统一成加法运算。 思考2：运用有理数的加法运算律，你还能想到什么计算方法吗？ 4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 = 4.5 + 1.1 - 3.2 - 1.4 = 5.6 - 4.6 = 1（km） 运用加法交换律、结合律使同号两数分别相加 知识点2 有理数的加减混合运算 3. 已知，， ，下列四 个算式中运算结果最大的是( ) A A. B. C. D. 4. 从中减去与 的和，所得的差是( ) D A. B. C. D. 28 知识与技能 ①标准化运算步骤：第一步，将算式中的减法全部转化为加法；第二步，写成简洁的省略加号和的形式；第三步，可从左至右依次运算，也可借助运算律简便运算；第四步，依据有理数加法法则算出最终结果。 ②简便运算技能：常用凑整技巧：互为相反数的数相加得0；同号数结合；能凑成整数、整十数的数组合；同分母或易通分的分数结合；小数、分数混合运算时，统一形式后再计算。 课堂小结 核心思想：转化 减法 ➝ 加法 四大简便技巧 同号/凑整/相反数 同分母优先结合 转化本质：减去一个数，等于加上这个数的相反数。将混合运算统一为加法运算后再计算。 两种读法：①按运算符号读（强调“加、减”动作）；②按性质符号读（强调“正、负”属性）。推荐用性质符号读法，更易发现简便运算的规律。 步骤四：计算求解 ——按照有理数加法法则，依次计算出最终结果。 步骤一：化减为加 ——将算式中的减法全部转化为加法，统一成加法算式。 步骤二：省略括号 ——省略加号和括号，写成省略加号的代数和形式。 步骤三：分组结合 ——运用加法交换律和结合律，将同号数、互为相反数、能凑整或同分母的数优先结合。 运算的两种读法 运算符号 / 性质符号 本节课收获满满！ 课堂小结 1.7.2013 好了，一节课很快就要结束了。让我们一起回顾一下今天的收获。本节课的核心思想是“转化”，即将减法转化为加法。我们学习了运算的四个关键步骤和四种常用的简便运算技巧。同时，我们还理解了代数和的两种读法，特别是性质符号的读法，对我们进行简便运算非常有帮助。 ‹#› $