精品解析：黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度下学期高二期末考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由解得或，可得集合； 由可得，解得或，可得集合； 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据单调性解对数不等式和指数不等式，再根据充分必要性判断，即可得到答案. 【详解】由，， 所以，即， 由，所以， 所以是的必要不充分条件. 3. 对于事件，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出 ；结合 求出交事件概率 ；再用条件概率公式计算 . 【详解】条件概率性质：, ，得，而， 由条件概率公式，得 = ，又， 由条件概率公式得=，A正确. 4. 下列说法中正确的有（ ）个 ①在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好； ②在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好； ③以模型去拟合一组数据时，设，求得经验回归方程为，则，； ④经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好，①正确； 在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧， 且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高， 表示回归效果越好，②正确； ，左右两边取对数得， 设，求得线性回归方程为， 则，，③错误； 经验回归直线可以不经过其样本数据点中所有点，但是会过，④错误， 说法中正确的有个. 5. 已知有个除了颜色外，形状大小材质等都完全一样的球，其中个白球、个红球、个黄球．现将这个球排成一排，则任意个白球不排在一起的排法总数是（ ）种． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】先排红球和黄球，然后再插空，共有 6. 函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，一次函数及二次函数的性质，结合分类讨论思想求解即可. 【详解】令， 函数的值域为，即能取到所有正数. 当时，，能取到所有正数，满足条件； 当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需，所以； 当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上，. 故实数的取值范围是. 7. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时分钟，样本方差为；骑自行车平均用时分钟，样本方差为，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性、正态分布的性质及原则判断即可. 【详解】由题意知，坐公交用时，其中，； 骑自行车用时，其中，； 对于A，，，则，A错误. 对于B，，根据正态曲线的对称性， 所以，B错误. 对于C，对于，， 根据正态分布性质，， 对于，， 根据正态分布性质，， 根据原则，， 所以，C正确. 对于D，对于，， ， 对于，， ， 根据原则，， 所以，D错误. 8. 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. 二项式系数最大的项是第六项 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用赋值法计算判断A，B，D，应用二项式系数性质判断C. 【详解】A选项，代入得，A正确； B选项，代入得，代入得， 将两式相加除以2得，B正确； C选项，二项式展开式共13项，为偶数，二项式系数最大的项为第7项，C选项表述错误； D选项，令，则， 所以， 等式两边同除以2，得，D正确， 10. 已知，，为正实数，并且，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.借助均值不等式求最值；B. 借助二次函数求最值；C. 借助导数求最值；D .先分离完成分式放缩，再对单变量求导求最小值. 【详解】，逐一验证选项： 选项 A： , 由均值不等式，，当且仅当时取等号, ，最大值 2，A 正确； 选项 B：由得， 所以， 设二次函数，开口向下，对称轴， 最大值，B 错误； 选项 C： 得，， 设，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当，取得最大值是，的最大值是，C 正确； 选项 D：得 ， 由，， 当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，令 ，令，， 当，，单调递减；当，，单调递增； 所以时，取得最小值，所以， 故的最小值是，D 正确. 11. 已知定义域为的函数，，满足，，则（ ） A. B. C. D. 点是的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】先推导递推关系求出周期，结合轴对称与关系式验证 A、B；举反例排除 C；通过变量替换证明满足中心对称条件，验证 D. 【详解】 ① 关于直线 轴对称 ② 由①替换： ③ ① +③得： , 替换：,再替换： 所以周期 选项 A：由②式：，令，， 已知，则 ，A 正确； 选项 B：对称轴，故， 取，， 由②， 故， 在递推式中令， ， 再用原式①，令： 代入，得 ，B 正确； 选项 C： 举反例：， 因为，,令，得， 所以，所以，C 错误； 选项 D：由，令得：，即关于直线轴对称， 由，替换变量得：， 由可推导出：， 将代入， 左边： 右边： 左右相等，化简得：，即是偶函数， 由，将替换为，结合偶函数 ，即， 令代入上式得 化简得 即关于点中心对称。 由，得] 根据中心对称定义,得点是的对称中心，D 正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 甲乙两个口袋，甲袋子中放有个白球和个黑球，乙袋子中放有个白球．现在从两个袋子各摸一个球并交换，这样交换次后，记甲袋子中黑球的个数为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是古典概型与分步乘法综合题，核心是分析“交换2次后甲袋黑球数仍为2”的所有可能情况.初始状态：甲袋有4白2黑，乙袋有6白，要使 X=2，有两类互斥的情况： 1.两次交换都没有改变甲袋黑球数：每次都是甲摸到白球、乙摸到白球，黑球数始终保持2； 2.第一次交换让黑球数减为1，第二次交换再恢复为2；第一次甲摸到黑球、乙摸到白球；第二次甲摸到白球、乙摸到黑球（此时乙袋已有1个黑球）.解题时需要按分步乘法计算每类情况的概率，再用分类加法合并结果。 【详解】要让说明两次交换后甲袋的黑球数量和初始相同，分两种情况讨论： 情况1，两次交换都没有改变甲袋的黑球数： 第一次交换：甲摸白球、乙摸白球，交换后甲袋黑球数不变（仍为2），概率：， 第二次交换：甲摸白球、乙摸白球，交换后甲袋黑球数不变（仍为2），概率：， 第一种情况的概率为：； 情况2：第一次交换让甲袋黑球数减1，第二次交换让黑球数加1（恢复为2）， 第一次交换：甲摸黑球、乙摸白球，交换后甲袋黑球数变为1，概率：， 第二次交换：甲袋此时有5白1黑，乙袋此时有5白1黑，要让甲袋黑球数恢复为2，需要甲摸白球、乙摸黑球，概率：， 第二种情况的概率为：，故. 【点睛】方法归纳：解决交换型概率问题，关键是按“黑球数变化路径”分类，先找出所有能达到目标状态的操作序列，再分步计算每一步的概率，最后汇总. 易错点：容易遗漏“先减后增”这类恢复型路径，或忽略第一次交换后乙袋的黑球数变化，导致第二次交换的概率计算错误. 14. 定义在上的函数，则不等式的解集为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】构造新函数后得出关于点对称，再判断在定义域里的单调性，根据函数单调性求解不等式. 【详解】令，则， 则， 因为，所以是奇函数，故关于点对称， 因为，所以在上单调递增， 又， 故， 又关于点对称，所以， 即不等式等价于，因为在上单调递增， 所以，解得. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知（且）． （1）若，求方程的解集； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或. 【小问2详解】 由，且， 若，对数函数单调递减，则，， 若，对数函数单调递增，则，， 综上，的取值范围是． 16. 某校有A、B两家餐厅，王同学第一天午餐随机选择一家，如果第一天去A餐厅，第二天去A餐厅的概率为，若第一天去B餐厅，第二天去A餐厅的概率为，第天去A餐厅概率为． （1）求； （2）求； （3）若，都是离散型随机变量，则，若王同学该月（天）累计去A餐厅的次数为，求（保留到小数点后一位）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 应用全概率公式计算求解； （2）应用全概率公式，再构造等比数列计算求解； （3）应用数学期望公式性质结合等比数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由题意知，， ，所以， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， ； 【小问3详解】 记为第天王同学去A餐厅，为第天王同学去B餐厅， 则，则, 又， 所以 ． 17. 设是等比数列的前项和，已知，． （1）求和； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1) 利用等比数列通项公式及前项和公式计算基本量； (2) 使用裂项求和方法求解的前项和. 【小问1详解】 设的公比为，则，而，得， 已知，所以，， 所以，则． 【小问2详解】 ， . 18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取件产品重新做参数调试，再从这件产品中随机抽取件作对比分析，记抽取的件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）参数调试与产品质量无关联 （2） 0 1 2 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验的思想计算； （2）根据超几何分布列分布列，再求期望即可； （3）由题意可得，然后通过计算可求出的最大值. 【小问1详解】 提出假设：认为参数调试与产品质量无关联， 根据列联表中的数据，计算得到， 故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 因此原假设成立，即认为参数调试与产品质量无关联． 【小问2详解】 由题意知，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的件产品中， 合格产品有件，则不合格产品有件， 的所有可能取值为，，， 则，，， 故的分布列为： 0 1 2 则． 【小问3详解】 由题可知，随机抽取调试后的产品的合格率为，故， 则，， 由， 故由可得， 又，则当时，． 由可得，即当时，， 故当事件“”的概率最大时，或． 19. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）在上单调递增，没有单调递减区间 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域及导函数，利用导数证明，由此确定函数的单调区间； （2）结合关系，，得出在上恒成立的必要条件为，再证明时，在恒成立，时不满足条件，可得结论； （3）由（2）可建立关系式，令可得，取累加得证． 【小问1详解】 当时，的定义域为， 则， 令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在时取最小值，即，所以， 所以在上单调递增，没有单调递减区间． 【小问2详解】 因为，， 所以要使当时，， 必须满足，即． 下面证明满足题意： ①当时，由，． 令，， 由（1）知，在上单调递增， 所以， 所以当时，，即； ②当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 所以当时，，即在上单调递减， 所以当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 由（2）知，当，时，， 即，所以． 令， 则， ， 所以 令，则 ， 所以， 即． 【点睛】关键点点睛：第三小问解决的关键在于找到不等式与函数在结构上的联系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度下学期高二期末考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对于事件，，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的有（ ）个 ①在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好； ②在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好； ③以模型去拟合一组数据时，设，求得经验回归方程为，则，； ④经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点． A. B. C. D. 5. 已知有个除了颜色外，形状大小材质等都完全一样的球，其中个白球、个红球、个黄球．现将这个球排成一排，则任意个白球不排在一起的排法总数是（ ）种． A. B. C. D. 6. 函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时分钟，样本方差为；骑自行车平均用时分钟，样本方差为，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. 二项式系数最大的项是第六项 D. 10. 已知，，为正实数，并且，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知定义域为的函数，，满足，，则（ ） A. B. C. D. 点是的对称中心 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 13. 甲乙两个口袋，甲袋子中放有个白球和个黑球，乙袋子中放有个白球．现在从两个袋子各摸一个球并交换，这样交换次后，记甲袋子中黑球的个数为，则___________． 14. 定义在上的函数，则不等式的解集为____________________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知（且）． （1）若，求方程的解集； （2）若，求的取值范围． 16. 某校有A、B两家餐厅，王同学第一天午餐随机选择一家，如果第一天去A餐厅，第二天去A餐厅的概率为，若第一天去B餐厅，第二天去A餐厅的概率为，第天去A餐厅概率为． （1）求； （2）求； （3）若，都是离散型随机变量，则，若王同学该月（天）累计去A餐厅的次数为，求（保留到小数点后一位）． 17. 设是等比数列的前项和，已知，． （1）求和； （2）设，求数列的前项和． 18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取件产品重新做参数调试，再从这件产品中随机抽取件作对比分析，记抽取的件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $