精品解析：黑龙江齐齐哈尔市实验中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

齐齐哈尔市实验中学高二下学期期末考试 数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3. 若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 4. 已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 求导得，直线斜率为， 当直线与曲线的切线平行时，最小，此时，解得， 故切点为， 则的最小值为切点到直线的距离， 即． 5. 已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. 6. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数与的对称中心，根据两函数图象交点的对称性计算即可. 【详解】由可得，，所以函数关于点对称. 函数的定义域为. 因为， 所以函数关于点对称. 因此函数与函数的图象的交点也关于点对称. 若是两函数图象的交点，则一定是两函数图象的交点， 那么，. 所以. 7. 已知，，，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a、b、c的形式，构造函数，利用导数研究单调性，即可比较大小. 【详解】因为，，， 构造函数，其导函数， 令，解得：，列表得： + 0 - 极大值 所以在上单增. 因为，所以，即 故选:D. 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的极大值点是 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 是的一个对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】先对三次函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次函数对称中心需满足的条件、区间最小值判定，依次验证四个选项是否正确. 【详解】对函数求导，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，所以选项A，B正确； 当时，单调递减，当时，单调递增， 故是上的最小值，故选项C正确； 若是的一个对称中心，则需满足， 而 ， 知不是的对称中心，故D选项错误. 11. 英国著名物理学家牛顿用“切线法”求函数零点.如图，在横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为，用代替重复上面的过程得到，一直下去，得到数列，叫做牛顿数列.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 若，则 C. D. 若，则数列是递增数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由导数可得函数的两个极值点，再根据零点存在性定理判断零点个数，从而判断A；由牛顿数列的定义及导数的几何意义可得，进而可判断BC；根据函数的单调性可得及，从而可判断D选项. 【详解】对A：由，， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以在，上递增，在上递减， ，. 且当时，；当时，， 所以由零点存在性定理及函数的单调性可得： 函数在各有一个零点，共3个零点，故A正确； 对于C，因为横坐标为的点处作曲线的切线为， 令，得，即，故C正确； 对于B，若，则，所以，故B错误； 对于D，若，则， 所以，显然. 又因为当时，，且，所以. 所以，即，所以数列是递增数列，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________ 【答案】5 【解析】 【分析】先由函数的奇偶性与对称性推出周期，再计算一个周期内的函数值之和，最后利用周期性对所求求和式进行化简计算. 【详解】由为奇函数，得. 由，得， 故，即的周期为. ，，，. 因此，一个周期内的和为. ，故. 代入得. 13. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式. 【详解】设，则. 因为， 所以，即在上单调递减. 又， 则， 即不等式的解集. 14. 已知对于，都有，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】原不等式等价于，然后通过研究，，，单调性可得答案. 【详解】因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又， 所以，即，整理得， 设，函数定义域为，， 当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值，即. 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分） 15. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用特殊值求出，再根据奇函数定义验证即可； (2)先分别求出的最小值，通过转化得到，求解即可. 【小问1详解】 ∵是奇函数，且定义域为，∴，即， 解得，将代入函数得， ，符合奇函数定义，∴. 【小问2详解】 ∵，单调递增， ∴在定义域上单调递增，又， ，∴， ∵， ∴令，则， 又，，函数对称轴为， 开口向上，∴， ∵对任意的，总存在， 使得成立，即， 即，∴. 所以实数的取值范围为. 16. 对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. （1）求的值； （2）证明：函数为R上的增函数； （3）若，求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 设，且， 有 又即又， ， ∴函数在R上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，结合已知等式进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合已知等式进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，结合已知等式进行求解即可. 【小问1详解】 ， 或（舍），即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ， 又， 令，由（2）知在R上也为增函数， 又， ，由函数单调性可知， ∴不等式的解集为. 17. 已知正项数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，若，证明：． 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以， 所以． 因为，所以， 因为数列单调递增，所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用与已知建立等式，得出是等差数列，进而求出，再根据与的关系求通项； （2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再结合数列单调性证明即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以． 当时，， 也满足上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）证明：对于任意正整数，都有． 【答案】（1）当时，的递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2） （3）由（1）得，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，即. 当时，，即，得； 令，则； . 当时，显然成立， 当时，； ，； 综合可知. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域为，再对求导，分和两种情况讨论导数正负，进而得到单调区间； （2）对恒成立，等价于在恒成立；构造函数，求的最大值，即可得到的取值范围； （3）利用（1）中时函数的单调性，得到，整理得；再令，对不等式进行累加，即可证得不等式. 【小问1详解】 由，得函数的定义域为. . 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，得； 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. 综上，当时，的递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 由，，得； ，. 对恒成立，等价于在恒成立. 令，则； 令，即，解得. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，取得最大值，即； 在恒成立，，即的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，求函数的单调增区间； （3）若，函数有两个极值点，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）当时，的单调增区间为 和； 当时，的单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】(1)原函数求导，算出单调区间，即可求函数极值 (2)原函数求导，参数进行分类讨论，求出单调区间 (3)把代入原式，分离参数，构造新函数，求单调区间和最值，即可求解 【小问1详解】 当时，，， 则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数只有极小值，为； 【小问2详解】 因为，， 的判别式， ①当时，，在上单调递增； ②当时， 令，得 ， ， 此时， 所以当时，， 所以当时，的单调增区间为 和； 当时，的单调增区间为； 【小问3详解】 由（2）知，当时，，， 则， 由恒成立， 即， 即， 即 ， 记 ，， 则 ， 故在上为增函数，且时，， 故， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐齐哈尔市实验中学高二下学期期末考试 数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A. 8 B. C. 12 D. 7. 已知，，，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的极大值点是 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 是的一个对称中心 11. 英国著名物理学家牛顿用“切线法”求函数零点.如图，在横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为，用代替重复上面的过程得到，一直下去，得到数列，叫做牛顿数列.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 若，则 C. D. 若，则数列是递增数列 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________ 13. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 14. 已知对于，都有，则的取值范围__________． 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分） 15. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 16. 对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. （1）求的值； （2）证明：函数为R上的增函数； （3）若，求关于的不等式的解集. 17. 已知正项数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，若，证明：． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）证明：对于任意正整数，都有． 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，求函数的单调增区间； （3）若，函数有两个极值点，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $