精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

哈九中2024级高二下学期期末考试数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过解不等式求出集合，再利用交集的定义求得 【详解】由得，解得. ∴， 所以. 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 3. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法求解函数的解析式逐一判断即可. 【详解】令，则， 由，得. 所以. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 因为函数在上单调递增，所以，即. 又， 所以. 5. 设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造，利用单调性分析得，再结合各项的描述，根据对应函数的单调性、对数及不等式性质判断各项是否为充分不必要条件即可. 【详解】由，则， 令，而和在R上都是单调递增， 所以在 R上也是单调递增，因此等价于， 即原不等式成立的充要条件是， A：因为在R 上单调递增，所以，即是充要条件，不符合， B：显然为充要条件，不符合， C：由对数的性质，且，因此是的充分条件， 若，例如，则无意义，不能推出， 因此它是充分不必要条件，符合， D：由， 若，则， 若，则， 所以它不能推出，不符合. 6. 若且，函数满足对任意的实数都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到函数在上单调递增，然后根据分段函数单调性的判断方法求实数的取值范围即可. 【详解】因为对任意的实数都有 ， 所以函数 在 上是单调递增函数. 则根据分段函数单调性的判断方法，得，解得. 实数a的取值范围. 故选：D 7. 已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 8. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知函数的奇偶性、周期性求出对应函数值，再结合已知关系式列方程求参数值. 【详解】由题设， 又，且，， 所以，即， 所以，可得（负值舍去）. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 下列各式运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数、指数运算法则以及分数指数幂的概念逐个选项验证即可. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，将所有根式化为分数指数幂，，故C正确； 对于选项D，用换底公式计算：，D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为 C. 关于的不等式的解集为，，若，则 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用抽象函数的定义域求法判断A，应用分类讨论研究一元二次不等式恒成立求参数范围判断B，应用分类讨论求解含参一元二次不等式的解集，根据包含关系求参数值判断C，由对数复合函数的值域，结合二次函数的性质分析参数范围判断D. 【详解】A：函数的定义域为，即， 根据复合函数定义域的求法， 因此函数的定义域应为，故A错误， B：对于关于的不等式恒成立， 当时，不等式恒成立， 当时，需满足，解得， 综上所述，的取值范围为，故B正确， C：不等式可化为， 当时，易知，则成立， 当时，解集为或，不满足， 当时，解集为，也不满足， 综上可知，要使成立，必有，故C正确， D：若函数的值域为，则必须能够取遍所有正数， 当时，的值域为，能够取遍所有正数，满足题意， 当时，开口向下，有最大值，不能取到所有正数，不满足题意， 当时，开口向上，要使函数值能取遍所有正数，需满足判别式，解得， 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则（ ） A. 的解析式为 B. 若（且），则实数 的取值范围为 C. 函数的零点为1， D. 方程 有四个不同的实数根，求的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可得即可求解A，根据函数的单调性以及奇偶性即可根据求解B，求方程的根即可求解C，将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可利用一元二次方程根的分布求解D. 【详解】根据题意可得，根据的图象与无限接近，所以，故，因此，故A错误， 由于函数，故为偶函数，当时，为单调递增函数，由得，解得或，故B正确， 对于C，令，则，故，故，解得，C正确， 对于D，要使有四个不同的实数根，令，则在上有两个不相等的实数根，故，解得，故D正确， 故选：BCD 三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则f（f（﹣1））的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先求的值，再求f（f（﹣1））的值. 【详解】根据题意，， 则f（﹣1）＝3×（﹣1）2＝3， 则f（f（﹣1））＝f（3）＝2×3﹣1＝5. 故答案为5 【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围. 【详解】， 由于函数有三个单调区间， 所以有两个不相等的实数根，所以. 故答案为： 14. 已知函数，若不等式恒成立，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意构造函数，设 ，判断为奇函数，即得，进而判断 在上单调递增，令，将不等式转化为，利用单调性推得，设 ，则得，分段讨论函数的最小值即得参数范围. 【详解】， 令 设 ，记 则 ，即 （*）， 因为函数，，都是递增函数，故 在上单调递增， 令， 由（*）可得 ，则有， 又 在上单调递增，可得 即，也即， 设 ，原不等式恒成立等价于， 分三段讨论： 当时：为增函数，此时； 当时：，为常函数； 当时：，为减函数，此时. 故 在区间 上恒取到最小值 即 ，解得 ，即的取值范围是 . 四、解答题（本题共有5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，函数． （1）当时，解不等式； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，再利用函数在上单调递增求解； （2）把代入，求出的表达式为，再利用基本不等式与函数的性质求解值域. 【小问1详解】  当时，，由于函数在上单调递增， 故 解得 ， 所以，原不等式解集为. 【小问2详解】 当时，， 即，由，得， 故函数定义域为， 由于，所以(当且仅当即时取等号）， 又函数在上单调递增， 所以，， 故值域为. 16. 如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形．现将沿翻折至的位置，使得，如图2． （1）设为的中点，证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为为的中点，是边长为2的等边三角形，所以，且. 如图，连接，在等腰中，，又， 满足，所以，即. 又，且平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则 因为平面位于平面内，易知平面的一个法向量为 又. 设平面的法向量为，则， 得，令，得， 即平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为. 因为， ， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1），； （2） 函数在上单调递增. 任取，且，则 ，由，得且， 则，即，所以在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数，利用奇函数的定义及性质求解. （2）判断单调性，再利用增函数的定义推理证明. （3）利用奇函数性质及日记账性求解不等式. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得，则， 即是定义在上的奇函数，于是， 此时，，满足题意， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数为奇函数，且在上单调递增，得在上单调递增， 不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若是函数的极值点，求证：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2）； （3）证明：由， 可得， 令，可得在上恒成立， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 因为是的极值点，所以存在使得，即， 又由，所以， 则， 所以. 【解析】 【分析】（1）对函数求导后分析导数在定义域内的正负，从而得出函数的单调递增区间和单调递减区间； （2）分离参数后构造函数，将问题转化为在上恒成立，通过求导得出函数最小值即可求得的取值范围； （3）对求导，证明导函数在定义域内单调递增，从而极值点唯一，由极值点处导数为零，得到变量间的关系式，将此关系代入要证的不等式，化简后利用极值点的范围（通过端点值符号判断）即可证明结论成立． 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为， 求导得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由，其中 可得，即， 由对任意恒成立，即在恒成立， 令，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果他的学生两手空空走出麦田，因为他不知道前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗．设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为．（取） （1）若，，求； （2）若，，则在摘到最大麦穗的条件下，最大麦穗出现在第颗的概率； （3）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用4颗麦穗的全排列情况，以及满足条件的排列情况，结合古典概型求概率. （2）设事件：成功摘到最大麦穗；事件：最大麦穗出现在第个位置，得，.当时，；当时，.再利用全概率公式和条件概率公式即可. （3）由已知，令，利用求出的最大值及最大值时的值即可. 【小问1详解】 这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，全排列有种情况. 要摘到那颗最大的麦穗，分为以下两种情况： ①最大的麦穗是第3颗，其余麦穗任意排列，有种情况； ②最大的麦穗是最后1颗，且前3颗里第二大的麦穗出现在第1颗或第2颗，其余麦穗任意排列，有种情况. 所以. 【小问2详解】 设事件：成功摘到最大麦穗；事件：最大麦穗出现在第个位置. 最大麦穗出现在每个位置的概率均等，故. 由全概率公式得. 当时，最大的麦穗落在前颗麦穗之中，不会被摘到，； 当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大值的一颗在前颗麦穗中，此时. 所以当，时， 又因为， 所以，即所求概率为. 【小问3详解】 由全概率公式得. 因为，所以. 令. 所以，令，即，则. 当时，，函数在区间是单调递增； 当时，，函数在区间是单调递减； 所以. 所以的最大值为且取最大值时的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2024级高二下学期期末考试数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 5. 设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若且，函数满足对任意的实数都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 8. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 下列各式运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为 C. 关于的不等式的解集为，，若，则 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则（ ） A. 的解析式为 B. 若（且），则实数 的取值范围为 C. 函数的零点为1， D. 方程 有四个不同的实数根，求的取值范围为 三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则f（f（﹣1））的值为_____． 13. 若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 14. 已知函数，若不等式恒成立，则的取值范围是_______． 四、解答题（本题共有5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，函数． （1）当时，解不等式； （2）当时，求函数的值域． 16. 如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形．现将沿翻折至的位置，使得，如图2． （1）设为的中点，证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于x的不等式. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若是函数的极值点，求证：． 19. 有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果他的学生两手空空走出麦田，因为他不知道前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗．设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为．（取） （1）若，，求； （2）若，，则在摘到最大麦穗的条件下，最大麦穗出现在第颗的概率； （3）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $