2.3.3 点到直线的距离公式 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦点到直线距离公式，通过基础巩固、综合应用、拓展创新三层设计，实现从公式直接运算到实际问题解决的递进，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|公式直接应用|如选择1直接代入公式求距离，夯实运算基础| |中档|综合位置关系|如选择2结合垂直直线方程，填空8综合交点与距离，提升推理意识| |提升|拓展创新应用|如选择7新定义有向距离，解答11结合面积与直线方程，发展模型观念|

2.3.3 点到直线的距离公式 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.点P（1，－1）到直线l：3y＝2的距离是（ 　） A.3 B. C.1 D. 2.（多选）与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点（－1，－1）的距离为2的直线方程为（ 　） A.4x＋3y－3＝0 B.4x＋3y＋17＝0 C.4x－3y－3＝0 D.4x－3y＋17＝0 3．若直线l平行于直线3x＋y－2＝0且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是（ ） A．3x＋y±10＝0 B．3x＋y±＝0 C．x－3y±10＝0 D．x－3y±＝0 4.已知5x＋12y＝60，则的最小值是（ 　） A.2 B. C. D. 5.已知点P为x轴上一点，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为（ 　） A.（8，0） B.（－12，0） C.（8，0）或（－12，0） D.（0，0） 6.过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程为（ 　） A.x＋2y－5＝0 B.2x＋y－4＝0 C.x＋3y－7＝0 D.3x＋y－5＝0 7.（多选）定义点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题，其中是假命题的是（ 　） A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D.若d1d2＜0，则直线P1P1与直线l相交 二、填空题 8.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为　 　. 9.已知M（x，y）是直线x＋y＋1＝0上的任意一点，则S＝的最小值为 ，此时点M的坐标为 . 三、解答题 10.已知△ABC三个顶点的坐标为A（－1，3），B（－3，0），C（1，2），求△ABC的面积. 11.已知点A（1，2），B（－3，5），C（6，2）. （1）求△ABC的面积； （2）若过点C的直线l到点A（1，2），点B（－3，5）的距离相等，求直线l的方程. 解析版 一、选择题 1.点P（1，－1）到直线l：3y＝2的距离是（　B　） A.3 B. C.1 D. 2.（多选）与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点（－1，－1）的距离为2的直线方程为（　AB　） A.4x＋3y－3＝0 B.4x＋3y＋17＝0 C.4x－3y－3＝0 D.4x－3y＋17＝0 3．若直线l平行于直线3x＋y－2＝0且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是(　A　) A．3x＋y±10＝0 B．3x＋y±＝0 C．x－3y±10＝0 D．x－3y±＝0 解析：设与直线3x＋y－2＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0(m≠－2)，由原点到直线l的距离为，得＝，则m＝±10，所以直线l的方程是3x＋y±10＝0. 4.已知5x＋12y＝60，则的最小值是（　D　） A.2 B. C. D. 解析：因为表示原点与直线5x＋12y－60＝0上的点的两点间距离，所以的最小值是原点到直线5x＋12y＝60的距离d，d＝＝.故选D. 5.已知点P为x轴上一点，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为（　C　） A.（8，0） B.（－12，0） C.（8，0）或（－12，0） D.（0，0） 解析：设P（a，0），则＝6，解得a＝8或a＝－12，故点P的坐标为（8，0）或（－12，0）. 6.过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程为（　A　） A.x＋2y－5＝0 B.2x＋y－4＝0 C.x＋3y－7＝0 D.3x＋y－5＝0 解析：由已知得，所求直线过点（1，2），且垂直于（0，0）与（1，2）两点的连线，所以所求直线的斜率k＝－，所以y－2＝－（x－1），即x＋2y－5＝0. 7.（多选）定义点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题，其中是假命题的是（　ABC　） A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D.若d1d2＜0，则直线P1P1与直线l相交 解析：设点P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则d1＝，d2＝.若d1－d2＝0，则d1＝d2，即＝，所以Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C. 若d1＋d2＝0，则d1＝d2＝0满足条件，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0，则点P1，P2都在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，故A，B，C均为假命题.若d1d2＜0，则＜0，即（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）＜0，所以P1，P2在直线l的两侧，则直线P1P2与直线l相交，故D为真命题. 二、填空题 8.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为　2　. 9.已知M（x，y）是直线x＋y＋1＝0上的任意一点，则S＝的最小值为　　，此时点M的坐标为　（－，－）　. 解析：∵x2＋y2－2x－2y＋2＝（x－1）2＋（y－1）2，∴上式可看成是一个动点M（x，y）到一个定点N（1，1）距离的平方，即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M（x，y）距离的平方，∴S＝｜MN｜的最小值应为点N到直线l的距离d，即｜MN｜min＝d＝＝. 由得x＝y＝－，即此时点M的坐标为（－，－）. 三、解答题 10.已知△ABC三个顶点的坐标为A（－1，3），B（－3，0），C（1，2），求△ABC的面积. 解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.由两点间的距离公式得｜BC｜＝＝2， 设点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高，d＝＝， 所以△ABC的面积S＝｜BC｜·d＝×2×＝4. 11.已知点A（1，2），B（－3，5），C（6，2）. （1）求△ABC的面积； （2）若过点C的直线l到点A（1，2），点B（－3，5）的距离相等，求直线l的方程. 解：（1）由点A（1，2），B（－3，5），C（6，2）可得， ｜AB｜＝＝5， ｜BC｜＝＝3， ｜AC｜＝＝5， 在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC＝ ＝＝， 所以sin∠ABC＝，所以S△ABC＝｜AB｜｜BC｜·sin∠ABC＝. （2）因为过点C的直线l到点A（1，2），点B（－3，5）的距离相等，即直线l与直线AB平行或过线段AB的中点. 当过点C的直线l与直线AB平行时，kl＝kAB＝－，则直线方程为y－2＝－（x－6），即3x＋4y－26＝0； 当过点C的直线l过线段AB的中点时，AB的中点坐标为（－1，），kl＝－，所以直线方程为y－2＝－（x－6），即3x＋14y－46＝0. 所以直线l的方程为3x＋14y－46＝0或3x＋4y－26＝0. 页 学科网（北京）股份有限公司 $