2.1.1 直线的倾斜角与斜率专项训练（七大题型）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线倾斜角与斜率的概念辨析、定量计算及应用，通过七类题型系统覆盖从基础概念到综合应用的逻辑链条，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线的倾斜角|4题|概念辨析与大小比较|从倾斜角定义出发，建立与直线位置关系的直观认知| |直线斜率的定义|4题|定义理解与辨析|衔接倾斜角与斜率的概念，明确斜率存在条件| |斜率与倾斜角的变化关系|4题|动态变化与范围求解|通过正切函数性质揭示两者定量关系| |已知两点求斜率|4题|坐标计算与几何意义|应用两点斜率公式，强化代数运算能力| |已知斜率求参数|4题|参数方程与逆向求解|深化斜率公式的灵活应用，培养推理意识| |斜率公式的应用|4题|实际情境与模型构建|结合古代建筑等实例，体现数学应用价值| |直线与线段的相交关系|4题|临界分析与范围确定|综合倾斜角、斜率知识解决几何位置问题|

2.1.1 直线的倾斜角与斜率 题型一 直线的倾斜角 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2．如图，若直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项． 【详解】由图像可知， 则， 故选：AD． 3．直线的倾斜角为__________. 【答案】/ 【分析】求出直线的斜率可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为， 由题意得，直线的斜率， 又因为，故. 故答案为：. 4．已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    题型二 直线斜率的定义 5．直线的斜率为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据直线的斜截式方程 （， 为常数），其中 就是直线的斜率，所以要确定直线 的斜率，只需根据斜截式方程的形式，找出对应的 值即可. 【详解】因为（， 为常数），其中 为直线的斜率， 为直线在 轴上的截距， 将直线 与斜截式方程 进行对比，可得 ，， 因此，直线 的斜率为 . 故选：B. 6．下列说法中，正确的有（    ） A．直线在轴的截距是 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量是，则直线的斜率是 D．点在直线上，直线方程为． 【答案】ABCD 【分析】根据直线方程的性质，逐一分析和判断各选项中关于直线方程的相关概念，包括截距、倾斜角、方向向量与斜率的关系以及点在直线上的方程表示是否正确． 【详解】选项A：直线方程为，当时，， 直线在轴的截距是，故A正确； 选项B：的斜率为，， ，故B正确； 选项C：直线的方向向量是，根据直线斜率与方向向量的关系可得直线斜率，故C正确； 选项D：点在直线上， ，即， 直线方程可表示为，即，故D正确． 故选：． 7．已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 8．（1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用斜率的坐标公式，结合几何图形求出k的范围. （2）利用直线方向向量的意义求出的斜率，再利用二倍角的正切公式求解. 【详解】（1）两点，点，则直线的斜率分别为： ，，且的斜率存在，如图， 观察图形知，当且仅当或时，直线l与线段AB有公共点， 所以直线l的斜率k的取值范围是. （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 由直线的方向向量为，得直线的斜率， 所以直线的斜率. 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 9．直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 10．已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用直线斜率与倾斜角之间关系求解即可. 【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下： 因为， 所以， 所以A不正确；B正确；C正确；D不正确； 故选：BC 11．已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【分析】分斜率存在与否两种情况进行分析，并根据斜率和倾斜角的关系确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，； 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 故答案为：. 12．已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 题型四 已知两点求斜率 13．若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 14．已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】求出极端位置的斜率即可得到答案. 【详解】如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故. 对比选项可知ABC符合题意． 故选：ABC. 15．直线经过两点、，则的斜率为_________. 【答案】 【分析】利用斜率公式求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率. 故答案为：. 16．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)等腰直角三角形； (3). 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 题型五 已知斜率求参数 17．已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【详解】依题意，得，解得， 故选：C． 18．已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意设点B的坐标为或，根据斜率公式计算即可． 【详解】当点B在轴上时，设，由，可得，解得，， 当点B在轴上时，设，由，可得，解得， ， 所以点B坐标为或. 故选：BC. 19．已知点，若直线的斜率为2，则__________. 【答案】9 【分析】根据过两点的直线的斜率公式计算即可得解. 【详解】已知点，且直线的斜率为2， 代入过两点的直线的斜率公式可得，解得. 故答案为：9 20．直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）根据直线斜率与直线倾斜角的关系，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由直线的斜率，可得，即． （2）当时，直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当时，； 当时，， 又直线的倾斜角为，则有或， 所以直线的倾斜角的取值范围是或． 故直线的倾斜角的最小值为． 题型六 斜率公式的应用 21．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】因为，所以， 不妨设，则． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 22．若直线的斜率，且过点，则直线经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线的斜率公式一一验证各选项，可得答案. 【详解】直线的斜率，且过点， 对于A,计算，故A错误； 对于B,计算，故B正确； 对于C,计算，故C正确； 对于D,计算，故D错误； 故选：BC 23．设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【答案】或 【分析】分别设出两直线的倾斜角，根据斜率公式列出方程即可求解. 【详解】依题意，设直线与直线的倾斜角分别为，则； 又，所以； 又直线与直线的夹角为， 所以当时， ，即，此时直线的斜率不存在，即； 所以当时， ，即，解得；所以，即，解得； 综上，或. 故答案为：或. 24．已知点，，点在线段上. (1)求直线的斜率； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答； （2）先确定满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率. （2）当点在两点之间时， 由点在线段上， 易知，即， 即， 当P与重合时也满足， 因此， 亦即，且， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最大值为. 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 25．已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 26．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别计算出直线过点、时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为或. 故选：ACD. 27．若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 28．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 直线的倾斜角与斜率 题型一 直线的倾斜角 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．如图，若直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角为__________. 4．已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 题型二 直线斜率的定义 5．直线的斜率为（    ） A．0 B． C． D．不存在 6．下列说法中，正确的有（    ） A．直线在轴的截距是 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量是，则直线的斜率是 D．点在直线上，直线方程为． 7．已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 8．（1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 9．直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 12．已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 题型四 已知两点求斜率 13．若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 14．已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．3 15．直线经过两点、，则的斜率为_________. 16．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 题型五 已知斜率求参数 17．已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 18．已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 19．已知点，若直线的斜率为2，则__________. 20．直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 题型六 斜率公式的应用 21．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 22．若直线的斜率，且过点，则直线经过点（    ） A． B． C． D． 23．设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 24．已知点，，点在线段上. (1)求直线的斜率； (2)求的最大值. 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 25．已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ） A． B． C． D． 27．若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 28．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $