四川省成都市石室天府中学2025-2026学年上学期高二期末定时练习数学试题

**基本信息** 高二期末数学卷聚焦统计、数列、立体几何、解析几何核心模块，通过校史知识竞赛、晶体结构等真实情境，考查数学眼光观察现实世界，逻辑推理与数学建模能力突出。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计、双曲线、数列、空间向量|晶体结构原子半径计算（7题），融合科技前沿| |多选题|3/18|概率事件、数列综合、双曲线性质|互斥与对立事件辨析（9题），深化概念理解| |填空题|3/15|数列递推、圆与切线、立体几何最值|正方体动点距离最值（14题），发展空间观念| |解答题|5/67|统计概率、立体几何证明、轨迹方程、椭圆定点|校史竞赛频率分布（15题）、椭圆定点存在性（19题），体现数学思维与建模|

工作秘密 请勿外传 如有泄露 严肃追责 2025-2026学年度上期高二期末定时练习 数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．数据的平均数为5，则的平均数为（ ） A．15 B．13 C．11 D．9 2．双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 3．在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．288 C．156 D．312 4．已知，，，若，，，共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 5．已知 ，点F为椭圆 的右焦点. 过点作⊙O 的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则△ABF的周长为（    ） A． B．2 C． D．5 6．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， ，则线段的长为（   ） A． B．1 C．2 D． 7．如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（   ） A．如果，那么与相互对立 B．若，是互斥事件，则 C．从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D．已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 10．以下命题正确的有（    ） A．若等差数列满足，，则 B．若数列满足，，则 C．已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8 D．若数列为等比数列，为其前项和，，，则49 11．双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，若P是右支上一点（与B不重合）如图，过点P的直线与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S，T两点，则下列结论中正确的是（ ） A．P到两条渐近线的距离之积为 B．当直线l运动时，始终有 C．在中， D．内切圆半径取值范围为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知数列满足，则__________. 13．已知圆：，圆：．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为______． 14．棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为_____________． 四、解答题 15．(13分)为纪念石室天府中学建校15周年，我校举办了校史知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图． (1)估计这50名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； (2)现采用分层抽样的方式从成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率． 16．（15分）如图，三棱柱中，，，O为BC的中点. (1)证明：底面ABC； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 17．（15分）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点P (-1,0)，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 18．（17分）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． (1)求t的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积． 19．（17分）已知椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）； ②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 2 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C B A D C BD BCD 题号 11 答案 ABC 12．13．14． 15．(1)74 (2)样本空间为：， ，， （1）由频率分布直方图可得，解得， 所以. （2）不低于70分的学生中，，，中人数占比为3:2:1， 因为采用分层抽样的方式，所以，，中抽取的人数分别为3，2,1. 记中3人为，中2人为，中1人为； 从这6人中，随机抽取2人，样本空间为：， ， ，共15种； 这2人来自相同组的有：，共4种， 所以这2人来自相同组的概率为. 16．（1）在三棱柱中，，， 所以， 又因为为的中点，所以，， 因为，，O为BC的中点， 所以，， 因为，，， 所以，所以， 因为，，AO，平面ABC，， 所以底面ABC； （2）由（1）可知、、两两垂直，以点为原点，，，为，，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 因为， 所以，则， 设平面的法向量为， 则有，取，可得，， 则为平面的一个法向量， ，， 设平面的一个法向量， 则，故，取，解得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. 所以所求角的余弦值为. 17．(1) (2)① ②过定点，定点坐标为． （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为.  18．（1）因为点在抛物线上，则，解得； （2）由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线， 联立方程，消去得，解得或， 因为，故，即， 故数列是首项为2，公差为4的等差数列，所以， 又，所以， 所以，所以， 又是关于的递增函数，故，的取值范围是； （3）由（2）知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为， ， 所以的面积为． 19．（1）由题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①设直线的方程为， 且，，即， 联立，得， 则，即， 且， 则 ， 即点横坐标为. 由①知，，， 则，即， 设，与①同理可得， 则 ， 则， 设直线， 则， 则， 又，则， 则直线， 所以直线过定点， 则为中点时，则， ，则， 因此，存在定点，使得为定值. 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $